1.5 三角函数的应用（教学设计）数学北师大版九年级下册

1.5 三角函数的应用 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版九年级下册 1.5《三角函数的应用》第一章《直角三角形的边角关系》。核心知识点包括：方位角、仰角与俯角、倾斜角在实际情境中的应用，利用三角函数公式求解直角三角形元素，以及基于方程思想构建数学模型。本节内容紧密结合实际问题，强调三角函数在测量距离、高度和角度等方面的实用价值。 2.内容解析 本节通过实际情境（如船只航行避险、观测塔高、修建大坝、调整楼梯倾角等），引导学生认识到：只要能将实际问题转化为直角三角形的边角关系，并合理选用正弦、余弦或正切函数，即可有效求解未知量。首先，要了解方位角的含义：由正北（或正南）方向线与目标方向线之间所成的锐角称为方位角；当观测目标在水平线以上时，就会涉及仰角，若在水平线以下则会出现俯角；倾斜角则是楼梯、斜坡等与水平线的夹角。其次，在解题过程中需强调“条件不足时可用方程思想”，即将公共或关联边设为未知量，通过三角函数建立等式求解。这样能培养学生的方程建模意识，帮助他们既能灵活选用三角函数，又能运用代数方法求解。最终，学生在掌握三角函数基础知识的同时，也能进一步体会其在多种实际场景中的应用价值，形成课程所倡导的“数学应用意识”和“问题解决能力”。 1.教学目标 • 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。 • 灵活地将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决。 2.目标解析 • 通过方位角、仰角、俯角与倾斜角等情境示例，使学生掌握将真实情景转化为直角三角形的思路，并能正确选用 、 或 进行求解。 • 借助方程思想，深刻理解“已知元素不足时可设置公共量，建立方程组”的一般方法，培养解题的综合分析与建模能力。 • 结合具体算例，提高学生的问题抽象思维和数学表达的规范性，激发学习兴趣。 3.重点难点 • 教学重点：运用三角函数及方程思想求解实际情境问题，准确构建直角三角形。 • 教学难点：在复杂情境下提炼合适的模型，特别是公共量的设定与方程的建立，需具备较强的数形结合和代数分析能力。 九年级学生已掌握一次方程和多项式运算，具备一定的几何识图能力，对基础三角函数概念与特殊角的值也有初步了解。针对本节内容，学生在识别方位角、仰角、俯角、倾斜角时较易上手，但将“已知不足”的现实情境转化为可解方程时存在难度。需教师通过实例演示“先设公共量，再列方程”的完整过程，帮助学生理解并熟练运用建模策略。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． ②指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角叫做方位角。 如图:点A在O的北偏东30°，点B在点O的南偏西45°(西南方向). ③当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. 2.情景引入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 【设计意图】通过回顾解直角三角形的条件，引导学生明确需用到三角函数知识帮助解决航行中的危险问题；结合泰坦尼克号“触礁”情境创设，引发学生认知冲突，激发学习兴趣并明确本节课的学习目标。 探究点1：应用三角函数解决与方位角有关的实际问题 1.议一议 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行. 问题：你认为货轮继续向东航行会有触礁的危险吗？你是怎样想的？ 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离AD是否大于 10 n mile.若AD＞ 10 n mile，则不会有触礁危险，否则有危险. 求AD，但在Rt△ACD和Rt△ABD中，都只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把两个三角形的公共边AD看成已知，用含AD的代数式表示BD和CD，由BC＝20n mile建立关于AD的方程，从而求得AD. 解：根据题意可知，∠BAD=55º，∠CAD=25º，BC= 20n mile. 过点A作AD⊥BC于点D,设AD= x , 则在Rt△ABD中，tan∠BAD=， ∴ 在Rt△ACD中，tan∠CAD=， ∵BC=BD-CD ∴x·tan55°-x·25°=20 解得 ∴这船继续向东航行没有触礁的危险. 2.练一练 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________. 解：2km 【设计意图】通过探究方位角实际问题，让学生体会到建立直角三角形模型的必要性。教师可引导学生将未知边 设为 ，并利用函数关系列方程求解，使学生感受到“方程思想”与三角函数应用的有机融合。 探究点2：应用三角函数解决与仰角俯角有关的实际问题 1.想一想 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m） 分析：求CD，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△BCD中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以仍要用方程思想，先把CD看成已知，用含CD的代数式表示AC和BC，由AB＝50m建立关于CD的方程，从而求得CD. 解:如图,根据题意可知,∠A=30º, ∠DBC=60º,AB=50m. 设CD=x, 则在Rt△ACD中，tanA=， ∴AC===x, 在Rt△BCD中，tan∠DBC= ∴BC===x， ∵AB=AC-BC ∴x−x=50，解得x=25≈43(m) 所以，该塔约有43m高. 2.练一练 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米. 解：100 【设计意图】通过高低视角的测量情境，将仰角、俯角应用到数学模型中，使学生在具体问题中灵活运用三角函数，体会“仰角—俯角”与三角函数的建立与求解。 探究点3：应用三角函数解决与倾斜角有关的实际问题 1.做一做 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). → 分析：如图，①求调整后的楼梯会加长多少，即求AB-BD； ②求楼梯多占多长一段地面，即求AD . 在Rt△BCD中，已知一边和一角，可以求出BC、CD的长，进而在Rt△ABC中求出AB、AC，进而求出AB-BD和AD. 解:①如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m. 在Rt△BCD中，sin∠BDC=， ∴BC=BDsin40°=4sin40°， 在Rt△ABC中，sinA=, ∴AB==≈≈4.48（m）, ∴AB-BD≈4.48-4=0.48（m） ∴调整后的楼梯会加长约0.48m. ②在Rt△BCD中，cos∠BDC=, ∴CD=BDcos40°=4cos40°， 在Rt△ABC中，tanA=, ∴AC==， ∴AD=AC-CD=−4cos40°≈0.61(m). ∴楼梯多占约0.61m长的一段地面. 2.知识归纳 利用三角函数解决实际问题的步骤： 3.典例分析 例1 某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 解：(1)作CD⊥AB于D点，设BC＝x， 在Rt△BCD中，∠CBD＝60°， ∴BD＝x，CD＝x. 在Rt△ACD中,∠CAD＝30°,tan∠CAD＝＝， ∴＝,∴解得 x＝18. ∵18>16， ∴点B是在暗礁区域外； (2)∵CD＝x＝9，9＜16， ∴若继续向东航行船有触礁的危险． 例2 如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，坝顶AD＝4 m,高度为2 m,tanB＝，∠ADC＝135°. （1）求BC的长是多少米. （2）如果坝长100 m，那么修建这个大坝共需多少土石方？ 解：（1）如图，分别过A，D点作AE⊥BC，DF⊥BC， 则AE＝DF＝2，EF＝AD＝4， ∵ tan B＝，AE＝2，∴ BE＝10. ∵ ∠ADC＝135°，∴ ∠CDF＝45°， ∴ CF＝2，∴ BC＝BE+EF+CF＝16（m）. （2）=×10×2+4×2+×2×2＝20（）， V大坝＝20×100＝2 000（）. 【设计意图】结合日常生活改造楼梯的情境，一方面让学生巩固三角函数的应用方法，另一方面关注倾斜角这一新情境，激发其分析和解决实际问题的综合能力。 1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）． A．25海里 B．25海里 C．50海里 D．50海里 解：D． 2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. 解：20． 3.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是__________． 解：1000m. 4.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于__________（根号保留）． 解：100（1+）米． 5. 如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m) 解：由题意得，BD＝5，∠CDB=40°，CE=2m， 在Rt△CBD中， tan∠CDB＝， ∴ BC＝ BD·tan∠CDB=5tan 40°≈4.195 5≈4.20. ∴BE＝BC+CE＝4.20+2=6.20， ∴ 在Rt△BED中，DE＝＝＝≈7.96. 答：钢缆ED的长度约为7.96 m. 6.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？ 解： ∵AD＋BD＝AB， ∴在Rt△BCD中， 在Rt△ACD中， ∴AC＋BC＝ 750－600≈150(km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km. 【设计意图】以上例题围绕三角函数在倾斜角、俯仰角、方位角等情境下的综合应用展开，既有选择题也有计算与综合求解，能够多维度训练学生的应用与推理能力。 主板书 1.5 三角函数的应用 探究点1 应用三角函数解决与方位角有关的实际问题 探究点 2 应用三角函数解决与仰角俯角有关的实际问题 探究点3 应用三角函数解决与倾斜角有关的实际问题 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题1.5第1-3题。 2. 探究性作业：习题1.5第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $