1.4 解直角三角形（教学设计）数学北师大版九年级下册

1.4 解直角三角形 教学设计 1.教学内容 本节选自北师大版九年级下册第1章“直角三角形的边角关系”之1.4“解直角三角形”。核心知识点包括勾股定理、两锐角互余及锐角三角函数，着重探讨“已知两边”与“已知一边和一个锐角”两种典型解直角三角形的方法。 2.内容解析 通过回顾直角三角形边角关系，学生可运用、及的定义，掌握解直角三角形所需条件：已知至少一条边及另一元素（边或角），从而求出所有未知量。 1.教学目标 •了解解直角三角形的概念，明确除直角外需两个已知条件（至少含一条边），并能运用锐角三角函数求解。 •经历解直角三角形过程，掌握运用勾股定理、锐角互余及三角函数的综合方法。 2.目标解析 • 通过公式与函数定义，强化对直角三角形边角对应关系的理解。 • 借助典型例题与应用场景，训练解题思路与方法，培养灵活运用三角函数的能力。 3.重点难点 • 教学重点：运用勾股定理、锐角互余及三角函数解直角三角形。 • 教学难点：已知“边与角”或“两边”时的多种思路转换与计算方法灵活运用。 学生已初步掌握因式分解、方程求解及三角函数概念，能处理简单几何问题。对“解直角三角形”中几何与代数方法的综合运用，可能在思路转化及函数求解上存在困难，需要示范多角度的解题技巧和练习。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°。它的边、角以及边角之间都有什么关系呢？ （1）三边之间的关系:=_____； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； （3）边角之间的关系： sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____. 解：；；，， 2.情景引入 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角. 直角三角形中除了直角外，还有5个元素，分别是三条边和2个角.那么至少知道几个元素就可以求出其他的元素呢？ 利用边、角以及边角之间的关系，至少知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． 【设计意图】通过情境引入与回顾勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数等基础知识，帮助学生迅速聚焦本节核心：在直角三角形中，如何运用已有边角关系来求解未知元素，激发学生继续探索的兴趣。 探究点1：已知两边解直角三角形 1.做一做 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例1:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=，求这个直角三角形的其他元素. 分析：直角三角形中已知两边可以利用勾股定理求出第三条边；直角三角形中，已知两边可以利用锐角三角函数求∠A(或∠B)的度数；再利用两锐角互余求∠B(或∠A)的度数． 解：在Rt△ABC中，，a＝，b=， ∴c===2. 在Rt△ABC中，sin B＝==， ∴ ∠B＝30° ∴ ∠A＝90°-∠B=60°． 教师提问：还有没有其他解题思路? 2.议一议 分组探究，思考下面的问题： .由两个已知条件a=，b=，能不能求出其中的一个锐角？ ②.如何再求出另外一个锐角的度数？ ③.如何求出第三条边的长？ 分析：已知a=，b=→tanA=（或tanB=）→A=60°(或B=30°)→sinA=(或sinB=)→边c 解：在Rt△ABC中，a=，b=， ∴tanA===. ∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30° 在Rt△ABC中，sin A＝==， ∴ c=2. 3.知识归纳 解直角三角形 由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 已知两边解直角三角形 方法1：已知两条边的长度，可以先利用勾股定理求出第三条边，然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角． 方法2：已知两条边的长度，可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角，然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角，再利用锐角三角函数求出第三条边． 4.练一练 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=，则cosA=_____ . 解： 【设计意图】通过计算与讨论两种求角思路，让学生体会解直角三角形的多种方法，提高思维灵活性和计算准确性。 探究点2：已知一边和一个锐角解直角三角形 1.想一想 在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,且b=30,∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）. 分析：直角三角形中已知一边和一个锐角，可以利用两锐角互余求∠A的度数．再利用锐角三角函数求出另两条边. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°， ∴∠A=90°-∠B=65°. 2.知识归纳 已知一边和一个锐角解直角三角形 已知一个锐角，先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角． 知道一条边的长，根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长； 也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长，再利用勾股定理求出第三条边的长． 3.练一练 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，AC=2，则BC=（　　） A．2 B．2 C．4 D．6 解：B 4.议一议 (1)除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外，还有其他的情况解直角三角形吗？ (2)在Rt△ABC中，如果已知两个锐角，可以解直角三角形吗？先独立判断，再分组讨论． 解：只知道角度是无法求出直角三角形的边长的． (3)只给出一条边长这一个条件，可以解直角三角形吗？ 解：不能. 5.知识归纳 解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来． 注意：解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”． 6.典例分析 例1 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a = 30 , b = 20 ，解这个直角三角形. 解：根据勾股定理得 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线AD=，解这个直角三角形. 解： ∵AD平分∠BAC， 【设计意图】让学生初步体会：面对同一几何条件，既可先用三角函数求另一边，再用勾股定理补充求第三条边，也可直接利用不同函数关系一次性求得所有元素。借此培养学生综合运用多种方法的能力。 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　） A. B.4 C.8 D.4 解：D． 2.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，BC＝3，则AC=(　　) A.3sin 50° B.3sin 40° C.3tan 50° D.3tan 40° 解：D． 3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（　　） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 解：B. 4.如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(　　)米. A.m·sin α B.m·tan α C.m·cos α D. 解：B． 5. 在△ABC中，已知AB＝3，AC=6，∠B＝45°，则BC=__________. 解：3+3或3−3 6.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________. 解： 7.在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2，则AC＝________. 解: 3 8.在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形． 解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，∠B＝30°， ∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°． ∵cos B＝， ∴a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×＝5． ∵sin B＝， ∴b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×＝5． 【设计意图】以上练习题难易结合，既涵盖了已知两边求第三边及角度，也涵盖了已知一边和一个锐角或已有条件综合运用的情形，帮助学生巩固所学并形成系统解题思路。 主板书 1.4 解直角三角形 探究点1 已知两边解直角三角形 探究点 2 已知一边和一个锐角解直角三角形 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题1.4第1-3题。 2. 探究性作业：习题1.4第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $