精品解析： 山东省菏泽市单县2025-2026学年 上学期九年级数学11月段考试题

2025-2026学年度上学期山东省菏泽市单县九年级数学11月段考试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A. 30°＜α＜45° B. 45°＜α＜60° C. 60°＜α＜90° D. 30°＜α＜60° 2. 如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（ ） A. 5cm B. 4cm C. 6cm D. 4.5cm 3. 如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 下图1是某地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，对角线与交于点O，在延长线上取一点E，连接交于F．已知，则的长等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DEAC交AB于点E，则DE为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，在边长为 的正方形中，，连接，，， 分别是，的中点，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于__． 12. 如图，在中，，D 为 中点，以为直径作，分别交 ， 于点 E，F． 若，，则的长为______． 13. 在中，，已知，则的值为______． 14. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 15. 等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是________________． 16. 如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，要写在答题卡的相应区域或内） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到千米）； （2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 20. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F． （1）如果AB=AD，求证：EF∥BD （2）如果EF∥BD，求证：AB=AD． 23. 如图，在中，，点为上一点，且，过三点作是的直径，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 24. 阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”． （1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____） （2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____） 问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程． 证明：分别过点，作于点，于点，得到图， ，又， （_____），． ， ， 即． 延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：． 结论应用： （1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是 ． （2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期山东省菏泽市单县九年级数学11月段考试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A. 30°＜α＜45° B. 45°＜α＜60° C. 60°＜α＜90° D. 30°＜α＜60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴45°﹤α﹤90° ∵，且 ∴0°＜α＜60° ∴45°＜α＜60°． 故选：B． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 2. 如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（ ） A. 5cm B. 4cm C. 6cm D. 4.5cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∴ ， ∴， ∴ 故选：C． 3. 如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长． 【详解】解：∵为的直径，， ∴∠ACB=90°，， 连接OD， ∵， ∴∠DOB=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD为等边三角形， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形． 4. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 5. 下图1是某地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则 中，， ∴， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 6. 在中，对角线与交于点O，在延长线上取一点E，连接交于F．已知，则的长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过O作交于M，根据平行四边形的性质得到，，根据三角形的中位线的定理得到，，证明，根据相似三角形的性质计算即可得到结论． 【详解】解：如图，在中，对角线与交于点O，过O作交于M， ∵在中，， ∴， ∴是的中位线， ， ∵， ， ， ， ，即 ． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题． 7. 如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DEAC交AB于点E，则DE为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过D作DF//BC，利用角平分线和平行线可证AE=DE，DF=BF，可证△DEF∽△CAB，利用相似三角形的比例关系和勾股定理可得DE的长度． 【详解】解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°， ∴AB=10， 过D作DF//BC， ∵DF//BC， ∴∠DFA=∠ABC，∠FDB=∠CBD， ∵BD为∠ABC的角平分线， ∴∠DBF=∠CBD， ∴∠FDB=∠DBF， ∴DF=BF， 同理可证AE=DE，∠CAB=∠DEF， ∴△DEF∽△CAB， ∴∠EDF=∠C=90°，，即， ∴设AE=DE=3x，则BF=DF=4x，根据勾股定理EF=5x， ∵AE+EF+BF=AB=10， ∴3x+4x+5x=10,解得3x=，即DE=． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键． 8. 如图，在边长为 的正方形中，，连接，，， 分别是，的中点，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接并延长交于M，连接，先证，得出，得是的中位线，则，然后用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：连接并延长交于，连接，如图所示， 正方形的边长为，， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， ，是的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质与定理、添加适当的辅助线构造相似三角形是解答此题的关键． 9. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF. 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， ∴， ∵DF=6， ∴AF=， ∴， ∴AE=5， ∴EF=AF-AE=8-5=3. 故选B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法. 10. 如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，由是上半圆的中点可得，利用勾股定理得到，由可得点在以为直径的圆上运动，点的运动轨迹为一个半圆，求出半圆的弧长即可求解，根据圆周角定理确定出点运动轨迹为一个半圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是上半圆的中点， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∵点从点运动到点， ∴点的运动轨迹为一个半圆， ∴点运动的路径长是， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于__． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，即可求解． 【详解】正六边形的中心角为，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，如图， ∵正六边形的外接圆半径等于4， ∴正六边形的边长是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，理解正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形是解题的关键． 12. 如图，在中，，D 为 中点，以为直径作，分别交 ， 于点 E，F． 若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．连接，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∵，即， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在中，，已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出三角形的三边，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义． 14. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 15. 等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个等宽曲线的周长为． 故答案为： 16. 如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点由菱形的性质求出，，以及，由旋转的性质求出，再根据可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， 是菱形的对角线， 连接交于点，则 由勾股定理得， 由旋转得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，要写在答题卡的相应区域或内） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 18. 如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质可得，即可得，再根据即可求证； （）由相似三角形的性质可得，求出即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到千米）； （2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】（1）千米 （2）甲选择的路线较近 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点B作于E，先求出，再解得到千米，进一步解即可得到千米； （2）过点C作于D，先解得到千米，则千米，再得到千米，千米，最后解 得到千米，千米，即可得到千米，千米，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作于E， 由题意得，， ∴， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴的长度约为千米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于D， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， 千米， 在中，， ∴千米， 千米， ∴千米，千米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 20. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：连接， ， ． 平分， ． ． ． ， ． 是的半径， ∴直线是的切线； （2）证明：∵线段是的直径， ． ． 平分， ． ． 是等腰三角形， ． 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）首先推导出，是等腰三角形，进而得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明，，从而可得结论； （2）求解，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键． 22. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F． （1）如果AB=AD，求证：EF∥BD （2）如果EF∥BD，求证：AB=AD． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE=∠ADF，BC=AD，AB=CD， ∵AB=AD， ∴BC=AD=AB=CD， ∵AEBC，AFCD， ∴∠AEB=∠AFD=90º， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE=DF， ∴， ∴， ∴EF∥BD． （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE=∠ADF， ∵AEBC，AFCD， ∴∠AEB=∠AFD=90º， ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∵EF∥BD， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴， ∴， ∴，即， ∴AB=AD． 【解析】 【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出△ABE≌△ADF（AAS），进而求出答案； （2）利用平行线分线段成比例定理结合相似三角形的判定与性质得出△ABE∽△ADF，进而求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用比例关系进行推导． 23. 如图，在中，，点为上一点，且，过三点作是的直径，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定定理、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理证明，根据切线的判定定理证明； （2）过点D作于点，根据等腰三角形的三线合一得到，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 24. 阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”． （1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____） （2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____） 问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程． 证明：分别过点，作于点，于点，得到图， ，又， （_____），． ， ， 即． 延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：． 结论应用： （1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是 ． （2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】阅读理解： （）；（）； 问题提出：，； 延伸探究： 证明：过作于，过作交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 结论应用： （）；（）． 【解析】 【分析】阅读理解：（）根据题中定义即可判断； （）根据题中定义即可判断；； 问题提出：分别过点，作于点，于点，证明，然后根据题中定义即可； 延伸探究：过作于，过作交的延长线于，则，然后根据题中定义即可； 结论应用： （）取的靠近三等分点，连接并延长交于点，连接，得，然后代入即可求解； （）连接，由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得：，再根据即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：阅读理解：（）根据新定义可知，三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形， 故答案为：“”， （）两个等腰三角形不一定是共角三角形， 故答案为：； 问题提出：证明：分别过点，作于点，于点，如图， ∵，又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：，； 延伸探究：略 结论应用：（）取的靠近三等分点，连接并延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，连接， ∵四边形的面积为， ∴， ∵使，，，， ∴由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得：， 则，，则， ，则，，则， ∴ ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $