4.2.1等差数列的概念课件(1)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕等差数列的概念、等差中项、通项公式及函数视角展开，通过天坛石板数、女装尺码等四个生活实例导入，引导学生观察数列规律，搭建从实际问题到数学概念的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以生活实例切入，体现“会用数学的眼光观察现实世界”，如通过大气温度变化等实例让学生发现数量关系。概念形成中引导观察数列差的共性，培养抽象能力与推理意识，体现“会用数学的思维思考现实世界”。推导通项公式结合归纳与累加法，从函数角度联系一次函数深化理解，题型训练涵盖判断、计算及应用，帮助学生用数学语言表达规律。对学生能激发兴趣、培养逻辑推理与应用能力，对教师结构清晰、实例丰富，便于高效教学。

4.2.1等差数列的概念 情景引入：请看下面几个问题中的数列. 1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81. 圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。 2.XXS,XS,S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 情景引入： 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 23.2 23.8 24.4 22.6 25.0 情景引入： 4.某人向银行贷款万元，贷款时间为年，如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为 , ④ 情景引入： ① 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 ② 38, 40, 42, 44, 46, 48 ③ 25, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 思考 上述4个数列的取值规律是什么？有何共同点？ 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. 我们把具有这种取值规律的数列称为等差数列. 情景引入： 知识点一、等差数列的概念　 文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 符号语言： an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*) 注意： 1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数. 2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0. 判断对错： 1. 常数列是等差数列. ( ) 2. 若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. ( ) 3. 数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列. ( ) 忽略了第1项. √ × × 知识点一、等差数列的概念　 4、若an－an-1=an+1－an （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ） 5、若an－an-1=an+2－an+1 （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ） 1，2，5，6，9，10,… 1.判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差. (1)95, 82, 69, 56, 43, 30; (2)1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, 1.11111 (3)1, -2, 3, -4, 5, -6; (4)1, 知识点一、等差数列的概念　 1. 一个等差数列最少需要几项？ 2. 若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 知识点二、等差中项　 由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b . 知识点二、等差中项　 1.求下列各组数的等差中项∶ （1）647和895; （2）和. 2.如果三个数2a，3，a-6成等差数列，则a的值为（ ） A.-1 B.1 C.3 D.4 知识点三、等差数列的通项公式　 思考：若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d … an=an-1+d=a1+ (n-1)d (n ≥ 2) 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 不完全归纳法 方法1： 由等差数列的定义可得 an+1-an=d ∴ a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d (n ≥ 2) 累加以上n-1个式子, 得 an-a1=(n-1)d 累加法 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 方法2：∵由等差数列的定义可得 an+1-an=d ∴ an=a1+(n-1)d 知识点三、等差数列的通项公式　 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 知识点三、等差数列的通项公式　 1. 求下列等差数列的通项公式 （1）9，18，27，36，45，54，63，72... （2）38，40，42，44，46，48... （3）25，24，23，22，21. 解：（1）an=9+(n－1)×9=9n （2）an=38+(n－1)×2=2n+36 （3）an=25+(n－1)×(-1)=－n+26 知识点三、等差数列的通项公式　 2、 (1) 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项; (2) 求等差数列 8，5，2，···的第20项. 知识点三、等差数列的通项公式　 ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. (k＋b) k an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d) ②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b, f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}， 其首项为________，公差为____. 思考 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？ 等差数列与一次函数的关系 1 2 5 a1 x f(x) O 3 4 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 知识点四、从函数角度认识等差数列 1 2 a1 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 1 2 a6 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a5 a4 a3 a2 a1 f(x)＝dx＋(a1－d) 结论：当d＞0时，数列{an}单调递增; 当d＜0时，数列{an}单调递减；当d＝0时，等差数列{an}为常数列. 探究：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ 知识点四、从函数角度认识等差数列 题型一、等差数列的通项公式 题型一、等差数列的通项公式 ————————————•　规律方法　•———————————— 等差数列通项公式中的四个参数 等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an “知三求一” 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 题型一、等差数列的通项公式 B 题型一、等差数列的通项公式 B 题型一、等差数列的通项公式 题型一、等差数列的通项公式 1、知识点： 课堂小结 2、题型及方法： 3、易错点与难点： 说明： ①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了. ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量. [例1] 在等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，求a10； (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n； (3)已知a1＝12，a6＝27，求d； (4)已知d＝－eq \f(1,3)，a7＝8，求a1和an. 解　(1)a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. (2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10. (3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3. (4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，故an＝a1＋(n－1)d＝10－eq \f(1,3)(n－1)＝－eq \f(1,3)n＋eq \f(31,3). [训练1](1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝ (　　)． A．－2 B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．2 (2)在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(1,5)，则a16＝(　　)． A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,10) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,2) 解析　(1)由已知条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋6d－2a1＋3d＝－1，,a1＋2d＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－\f(1,2).)) (2)因为当n≥2时，eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(1,5)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq \f(1,3)为首项，eq \f(1,5)为公差的等差数列，故eq \f(1,a16)＝eq \f(1,3)＋15×eq \f(1,5)＝eq \f(10,3)，故a16＝eq \f(3,10). $