专题6.1 几何图形（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

本讲义聚焦几何图形核心知识点，从立体图形（棱柱、圆柱等）的概念与分类切入，通过“点动成线、线动成面、面动成体”建立点线面体联系，结合立体图形展开图、截面形状等内容，构建从识别特征到实际操作的学习支架。 资料以深圳地标、糖画等生活实例引导学生用数学眼光观察现实世界，通过典例与变式训练发展数学思维，强调几何语言规范培养数学语言表达。课中助力突破空间观念建立难点，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题6.1 几何图形 教学目标 1.能识别并说出常见几何图形的名称及基本特征； 2.理解 “点动成线、线动成面、面动成体” 的几何关系，能区分直线、射线、线段的概念及差异； 3.会规范表示简单几何图形； 4.能进行简单的几何操作：如将立体图形展开为平面展开图，识别立体图形的截面形状，用基本图形拼组复杂图形。 教学重难点 教学重点 1.常见几何图形（平面图形、立体图形）的识别与基本特征； 2.直线、射线、线段的概念区分及规范表示； 3.立体图形与平面展开图的转化（尤其是正方体的展开图识别与折叠）； 4.几何直观和空间观念的初步建立（通过观察、操作突破） 教学难点 1.空间观念的建立：初一学生仍以平面思维为主，理解立体图形的构成、展开图与原立体图形的对应关系（如正方体展开图中相对面的识别）存在困难； 2.几何语言的规范使用：学生容易混淆图形的表示方法（如射线 AB 与射线 BA 的区别），或难以用简洁准确的几何语言描述图形特征； 3.截面形状的判断：根据截切方向判断立体图形（如圆柱、圆锥）的截面形状，需要结合空间想象，对学生难度较大 知识点01 立体图形的概念 1.定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展：常见的立体图形有两种分类方法： 2.棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即学即练】 1．深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（   ）． A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱 C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 2．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 题型01 常见的几何体 【典例1】图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【变式1】下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 【变式2】如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（   ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 【变式3】用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A． B． C． D． 题型02 组合几何体的构成 【典例2】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列几何体由5个平面围成的是（    ） A．B．C． D． 【变式2】用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【变式3】图中的几何体由 个面围成． 题型03 立体图形的分类 【典例3】下列图形属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列图形中属于棱柱的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式3】下面的几何体中，属于柱体的有 ． 题型04 几何体中的点、棱、面 【典例4】一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为（    ） A．16条 B．24条 C．12条 D．10条 【变式1】小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【变式2】一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式3】六棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面． 题型05 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例5】如图，在长方形中，，现将这个长方形纸片绕其一边所在直线旋转一周． (1)旋转后形成的几何体是___________； (2)求旋转后的几何体的体积．（结果保留） 【变式1】陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷器具最为相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，该图形旋转一周后形成的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，． (1)将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体； (2)计算绕三角形边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积（圆锥的体积，保留） 题型06 点、线、面、体四者之间的关系 【典例6】非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【变式1】把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，形成一条线；时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，从数学的角度解释为（   ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【变式2】如果笔尖在纸上画出漂亮的曲线可以看作是点动成线，那么三角板绕着一条直角边旋转一周而形成的轨迹可以看作是 ． 【变式3】唐代诗人杜甫《雨不绝》中有诗句：“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为（填写番号） ．（①点动成线 ②线动成面 ③线线相交得点④面面相交得线） 题型07 平面图形形状的识别 【典例7】下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，，为圆心，，则长度为（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各组图形都是平面图形的是（   ） A．三角形、球、圆柱 B．点、线、面、体 C．角、三角形、四边形、圆 D．点、相交线、线段、正方体 题型08 用七巧板拼图形 【典例8】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为 【变式1】你玩过七巧板吗？在一副七巧板中，直角三角形的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】如图，“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由 块板组成，其中：正方形板有 块；平行四边形板（不包括正方形板）有 块；三角形板有 块． 【变式3】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板"．如图，把一付七巧板按如图所示进行①~⑦编号，①~⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号⑤对应的面积等于1，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 一、单选题 1．下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图所示：将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 3．一个正方体的棱长扩大2倍，则其表面积扩大（   ）倍 A．2 B．4 C．6 D．8 4．中国武术有“枪扎一条线，横扫一大片”的说法，这句话用数学知识诠释相对最科学的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．旋转成圆 D．点动成线，线动成面 5．下列图形中，不是正方体的展开图的是（ ） A． B． C． D． 6．朱自清的《春》一文里，在描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句中，可以看作哪项几何知识的实际应用？（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不正确 7．将如图所示的直角三角形绕的边旋转一周，可以得到一个立体图形，这个立体图形的体积是(π取3.14)（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 9．将图中的几何体分类，多面体有 ，旋转体有 （填序号）． 10．《哪吒之魔童闹海》中哪吒挥舞火尖枪时，枪尖在空中形成的轨迹是一条线，从数学的角度解释为 ． 11．一个棱柱共有12条棱，那么这个棱柱共有 个顶点． 12．一个棱柱有12个面，且所有侧棱的和为，则每条侧棱长为 ． 13．一个棱柱有个顶点，那么这个棱柱是 棱柱，它有 条棱． 14．如图所示，在长方形中，．现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积为 ．（结果保留） 15．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．把一副七巧板按如图所示进行①～⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是32，那么“蝴蝶”上带有阴影的板块边长为 ． 三、解答题 16．如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________． (2)求此立体图形的体积．（结果保留 ） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 几何图形 教学目标 1.能识别并说出常见几何图形的名称及基本特征； 2.理解 “点动成线、线动成面、面动成体” 的几何关系，能区分直线、射线、线段的概念及差异； 3.会规范表示简单几何图形； 4.能进行简单的几何操作：如将立体图形展开为平面展开图，识别立体图形的截面形状，用基本图形拼组复杂图形。 教学重难点 教学重点 1.常见几何图形（平面图形、立体图形）的识别与基本特征； 2.直线、射线、线段的概念区分及规范表示； 3.立体图形与平面展开图的转化（尤其是正方体的展开图识别与折叠）； 4.几何直观和空间观念的初步建立（通过观察、操作突破） 教学难点 1.空间观念的建立：初一学生仍以平面思维为主，理解立体图形的构成、展开图与原立体图形的对应关系（如正方体展开图中相对面的识别）存在困难； 2.几何语言的规范使用：学生容易混淆图形的表示方法（如射线 AB 与射线 BA 的区别），或难以用简洁准确的几何语言描述图形特征； 3.截面形状的判断：根据截切方向判断立体图形（如圆柱、圆锥）的截面形状，需要结合空间想象，对学生难度较大 知识点01 立体图形的概念 1.定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展：常见的立体图形有两种分类方法： 2.棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即学即练】 1．深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（   ）． A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱 C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 【答案】C 【分析】本题考查常见的几何体． 根据地标建筑几何体的特征，对各选项对应的地标建筑进行分析判断即可． 【详解】解：A．平安金融中心不能近似看成球体，不符合题意； B．华润大厦不能近似看成圆柱，不符合题意； C．深业上城主副塔可以近似看成棱柱，符合题意； D．深圳湾区之光摩天轮不能近似看成圆锥，不符合题意． 故选：C． 2．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 题型01 常见的几何体 【典例1】图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了简单几何体的认识，根据常见几何体的特征识别即可解答． 【详解】解：该几何体模型，有几何体：球，正方体，圆柱，棱锥，没有圆锥． 故选：D． 【变式1】下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】B 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据它们的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意； B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个； ∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条， 故原说法错误，符合题意； C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意； D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意 ∴ 不正确的是B， 故选：B． 【变式2】如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（   ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，掌握图形的空间结构是关键．根据立体图形的空间结构进行判断． 【详解】解：根据图形可知，其组成部分可抽象为：圆柱、四棱柱、球， 不包括：圆锥． 故选：C． 【变式3】用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的定义，有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的概念进行判断即可． 【详解】解：、可以抽象为圆柱，故本选项不符合题意； 、可以抽象为圆锥，故本选项不符合题意； 、可以抽象为棱柱，故本选项符合题意； 、可以抽象为棱锥，故本选项不符合题意； 故选：． 题型02 组合几何体的构成 【典例2】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 【变式1】下列几何体由5个平面围成的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项几何体的特征逐一分析即可． 【详解】A选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意； B选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意； C选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题意； D选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查的是几何体的特征，掌握常见几何体的特征是解决此题的关键． 【变式2】用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】用大正方体体积除以小正方体体积即可得到答案． 【详解】解：∵大正方体的体积为 ，每个小正方体的体积为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查立体图形认识，解题的关键是掌握体积公式． 【变式3】图中的几何体由 个面围成． 【答案】9 【分析】可将几何体分成两个部分观察． 【详解】该几何体可分为上下两个部分，上面部分有4个面，下面部分有5个面，共有9个面． 故答案为：9 【点睛】本题考查立体几何的相关知识，解题的关键是具有空间想象能力． 题型03 立体图形的分类 【典例3】下列图形属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是立体图形的认识，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥是解题的关键． 根据棱柱的概念、结合图形解得即可． 【详解】解：第一、二、六个几何体是棱柱，共3个， 故选：B． 【变式1】如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键． 利用曲面和平面的定义区分即可． 【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面， 三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形， 六棱柱由两个六边形和六个矩形组成，都是平面图形． ∴含有曲面的有2个． 故选：B． 【变式2】下列图形中属于棱柱的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，根据“棱柱”的形体特征进行判断即可． 【详解】解：图形中各个几何体的名称为①正方体，②长方体，③球，④圆柱，⑤圆锥，⑥四棱柱，⑦三棱柱，⑧五棱锥，⑨六棱柱 由棱柱的形体特征可知，棱柱有①正方体，②长方体，⑥四棱柱，⑦三棱柱，⑨六棱柱，共有5个． 故选：B． 【变式3】下面的几何体中，属于柱体的有 ． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题考查的知识点是认识立体图形，解题的关键是熟练地掌握认识立体图形． 先要明确柱体的概念，然后根据图示进行解答． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：第①、②、③、⑥， 故答案为：①②③⑥． 题型04 几何体中的点、棱、面 【典例4】一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为（    ） A．16条 B．24条 C．12条 D．10条 【答案】C 【分析】本题考查棱柱，根据棱柱的性质，顶点数等于（n为底面边数），由此求出，再计算棱的条数为． 【详解】解：∵顶点数， ∴． ∵棱的条数， ∴棱数为． 故选：C． 【变式1】小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】一个直棱柱共有15条棱，则这个棱柱的面数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题主要考查了棱柱的构成，准确分析计算是解题的关键． 直棱柱的棱数公式为（为底面边数），由给定棱数可求出，再根据面数公式计算面数． 【详解】设直棱柱的底面边数为， 直棱柱的棱总数为， ， ， 又直棱柱的面数由两个底面和个侧面组成， 总面数为； 故这个棱柱的面数为7个． 故选． 【变式3】六棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面． 【答案】 12 18 8 【分析】本题主要考查了对棱柱的认识，可以先从具体的简单的棱柱入手，找出对应的面的个数、棱的条数、顶点的个数，然后推广到一般：n棱柱有个顶点，条棱，个面． 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的构造特点即可求解． 【详解】解：六棱柱上底面与下底面各有6个顶点，因此顶点总数为12个； 侧面有6个面，加上上下2个底面，共有8个面； 棱的数量为条． 故答案为：12；18；8． 题型05 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例5】如图，在长方形中，，现将这个长方形纸片绕其一边所在直线旋转一周． (1)旋转后形成的几何体是___________； (2)求旋转后的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)或 【分析】本题主要考查了面动成体，求圆柱的体积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）绕长方形的一边所在的直线将长方形旋转一周所得的几何体是圆柱； （2）分绕所在的直线旋转一周和绕所在的直线旋转一周两种情况，根据圆柱的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，旋转后形成的几何体是圆柱； （2）解：当绕所在的直线旋转一周时，则旋转后的几何体的体积为； 当绕所在的直线旋转一周时，则旋转后的几何体的体积为； 综上所述，旋转后的几何体的体积为或． 【变式1】陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷器具最为相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形绕直线旋转形成几何体的知识及几何体的识别，解题的关键是理解平面图形绕竖直虚线旋转成几何体的原理，即平面图形各部分绕竖直旋转轴旋转一周后形成的立体图形的形状． 先分析给定图形绕竖直虚线旋转一周后形成的对称曲面几何体形状，再将该几何体与各选项陶瓷器具的形状对比，选出最为相似的选项． 【详解】解：A、该陶瓷器具的形状具有明显的左右对称特征，与给定图形绕竖直虚线旋转后形成的左右对称且轮廓规整的曲面几何体最为相似，此选项符合题意； B、该陶瓷器具与旋转后形成的几何体差异较大，此选项不符合题意； C、该陶瓷器具与旋转后形成的几何体差异较大，此选项不符合题意； D、该陶瓷器具与旋转后形成的几何体差异较大，此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】如图，该图形旋转一周后形成的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查基本图形的旋转，掌握几何体的基本概念是解题的关键，根据旋转的定义分析图中的图形即可得到答案． 【详解】解：根据旋转的定义可判断只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式3】如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，． (1)将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体； (2)计算绕三角形边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积（圆锥的体积，保留） 【答案】(1)2 (2)立方厘米 【分析】此题考查了点、线、面、体，关键是理解掌握圆锥的特征，以及圆锥体积公式的灵活运用． （1）将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到2种大小不同的几何体． （2）以所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是8厘米，高是4厘米；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】（1）解：将直角三角形纸板绕三角形的直角边所在的直线旋转一周，能得到2种大小不同的几何体． 故答案为：2； （2）解：以边为轴： （立方厘米）； 答：以边为轴得到的圆锥的体积是立方厘米． 题型06 点、线、面、体四者之间的关系 【典例6】非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，理解题意，由“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，得出数学原理是点动成线，即可作答． 【详解】解：依题意，这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是点动成线， 故选：A 【变式1】把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，形成一条线；时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，从数学的角度解释为（   ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【答案】A 【分析】本题考查了几何变换． 根据几何变换的基本原理，点移动形成线，线移动形成面作答即可． 【详解】解：∵笔尖是一个点，在纸上移动时形成一条线， ∴点动成线； ∵秒针是一条线段，旋转时形成一个圆面， ∴线动成面． 故选：A． 【变式2】如果笔尖在纸上画出漂亮的曲线可以看作是点动成线，那么三角板绕着一条直角边旋转一周而形成的轨迹可以看作是 ． 【答案】面动成体 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，笔尖点动成线是点移动形成线，同理三角板作为平面图形绕直角边旋转形成立体图形，符合面动成体的几何原理，理解点、线、面、体的关系是解题的关键． 【详解】解：三角板是直角三角形，作为一个平面图形，绕着一条直角边旋转一周时，其所有点形成的轨迹是一个圆锥体，这种运动方式体现了从平面到立体的转变，因此可以看作“面动成体”， 故答案为：面动成体． 【变式3】唐代诗人杜甫《雨不绝》中有诗句：“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为（填写番号） ．（①点动成线 ②线动成面 ③线线相交得点④面面相交得线） 【答案】① 【分析】本题考查点，线，面，体，根据点动成线，线动成面，面动成体，诗句描述雨滴下落形成雨丝，符合点动成线的几何原理，判断即可． 【详解】解：诗句“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”中，雨滴可视为点，下落时由于运动轨迹形成雨丝，即线状，这对应几何变换中的点动成线原理．选项①正确描述了这一现象． 故答案为：①． 题型07 平面图形形状的识别 【典例7】下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形和立体图形的认识，掌握定义是解题的关键． 根据平面图形和立体图形的区别即可解答． 【详解】解：选项A是圆锥，选项B是圆柱，选项C是四棱柱，选项D是三角形，三角形是平面图形． 故选：D． 【变式1】下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了认识平面图形．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形和平面图形定义分别进行判断． 【详解】解：①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形， 共5个图形，属于平面图形， 故选：D． 【变式2】如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，，为圆心，，则长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的直径与半径的数量关系作答即可． 本题主要考查了圆的认识，根据图示得到是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：． 故选：C． 【变式3】下列各组图形都是平面图形的是（   ） A．三角形、球、圆柱 B．点、线、面、体 C．角、三角形、四边形、圆 D．点、相交线、线段、正方体 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，根据平面图形和立体图形的定义逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.球、圆柱是立体图形，故不符合题意； B.体是立体图形，故不符合题意； C.角、三角形、四边形、圆都是平面图形，故符合题意； D.正方体是立体图形，故不符合题意； 故选：C． 题型08 用七巧板拼图形 【典例8】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质与面积计算，以及七巧板中各部分图形的面积关系．先求出大正方形的面积，再根据七巧板的组成及各部分面积关系，求出阴影部分正方形的面积． 【详解】解：∵ 大正方形边长为， ∴ 大正方形面积为． 七巧板中，阴影部分正方形的面积是大正方形面积的， ∴ 阴影部分面积为． 故答案为：． 【变式1】你玩过七巧板吗？在一副七巧板中，直角三角形的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据七巧板的构成即可得到答案． 【详解】解：七巧板是由5个直角三角形，一个平行四边形，一个正方形构成， 在一副七巧板中，直角三角形的个数是5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了七巧板，熟练掌握七巧板的构成：由5个直角三角形，一个平行四边形，一个正方形构成，是解题的关键． 【变式2】如图，“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由 块板组成，其中：正方形板有 块；平行四边形板（不包括正方形板）有 块；三角形板有 块． 【答案】 7 1 1 5 【分析】此题是一道几何综合题，主要考查平行四边形、正方形、三角形的概念，熟悉七巧板的构造是解题的关键．七巧板由7个几何图形构成，包括1个正方形，1个平行四边形、5个三角形，即可得到问题的答案． 【详解】解：如图，由七巧板的构造可知，正方形由7个几何图形构成， 其中包括： 1个正方形，即正方形； 1个平行四边形，即平行四边形； 5个三角形，即， 故答案为：7，1，1，5． 【变式3】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板"．如图，把一付七巧板按如图所示进行①~⑦编号，①~⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号⑤对应的面积等于1，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵编号⑤对应的面积等于1， ∴编号④、⑥、⑦对应的面积等于2，③对应的面积等于1，①、②对应的面积等于4， ∴由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于， 故答案为：． 一、单选题 1．下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义． 【详解】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确． 故选：B． 2.如图所示：将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了面动成体，根据平面为圆的绕轴旋转一周即可得出半个球面回答即可． 【详解】解：将平面图形绕轴旋转一周，可得出半个球面， 故选C 3．一个正方体的棱长扩大2倍，则其表面积扩大（   ）倍 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，以及有理数的运算，关键是熟记公式． 假设原正方体的棱长为1，扩大到原来的2倍则棱长为2，根据正方体的表面积=棱长×棱长，求出扩大前后正方体的表面积，进而求出它们之间的关系． 【详解】解：假设原正方体的棱长为1，表面积为， 则扩大2倍后的棱长为2，表面积为， 因为， 所以它的表面积扩大4倍． 故选：B． 4．中国武术有“枪扎一条线，横扫一大片”的说法，这句话用数学知识诠释相对最科学的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．旋转成圆 D．点动成线，线动成面 【答案】D 【分析】本题考查点、线、面之间的关系，正确理解点动成线，线动成面是解题关键． 根据“枪扎一条线”对应点动成线，“横扫一大片”对应线动成面，即可得出答案． 【详解】解：由于“枪扎一条线”描述点动成线，“横扫一大片”描述线动成面， 故用数学知识诠释最科学的是点动成线，线动成面． 故选：D． 5．下列图形中，不是正方体的展开图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体表面展开图的特征进行判断即可，掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，选项中的图形不是正方体的表面展开图， 故选：． 6．朱自清的《春》一文里，在描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句中，可以看作哪项几何知识的实际应用？（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】此题考查了点、线、面、体，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：A． 7．将如图所示的直角三角形绕的边旋转一周，可以得到一个立体图形，这个立体图形的体积是(π取3.14)（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形的旋转，圆锥的体积，通过空间想象确定旋转后的立体图形是解题关键． 根据面动成体的原理可知，直角三角形以直角边为轴旋转一周得到圆锥，高为轴，底面半径为另一条直角边，再根据圆锥体积公式计算，即可得到答案． 【详解】解：直角三角形绕的直角边为轴旋转一周，可以得到一个立体图形是圆锥， 这个圆锥的高是，底面半径是， ∴体积是． 故选：C． 二、填空题 8．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何体的表面积与体积求法，在一个大正方体的上面的一个角上挖出一个棱长的小正方体，那么它的表面积没有发生变化；用原大正方体的体积减去小正方体的体积就得到余下部分的体积．据此解答即可． 【详解】解：余下部分的体积： ； 表面积：； 答：余下部分的表面积是，体积是． 9．将图中的几何体分类，多面体有 ，旋转体有 （填序号）． 【答案】 （1）（3）（6） （2）（4）（5） 【分析】本题考查多面体与旋转体的概念．掌握多面体是由多个平面多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕着一条直线（旋转轴）旋转而成的几何体的相关知识是解决问题的关键．解题思路是根据多面体和旋转体的定义，逐一分析每个几何体的类型． 【详解】解：（1）正方体由六个正方形平面围成，（3）长方体由六个矩形平面围成，（6）三棱锥由四个三角形平面围成，它们都属于多面体； （2）圆柱由矩形绕一边旋转而成，（4）球可由半圆绕直径旋转而成，（5）圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转而成，它们都属于旋转体； 综上，多面体有（1）（3）（6），旋转体有（2）（4）（5）． 10．《哪吒之魔童闹海》中哪吒挥舞火尖枪时，枪尖在空中形成的轨迹是一条线，从数学的角度解释为 ． 【答案】 点动成线 【分析】本题主要考查了点，线，面，体之间的关系， 枪尖可视为一个点，其在空中移动时形成的轨迹是一条线，这符合几何中“点动成线”的基本原理． 【详解】解：从数学角度，点移动形成线，枪尖作为点，挥舞时移动轨迹为线，故用“点动成线”解释． 故答案为：点动成线． 11．一个棱柱共有12条棱，那么这个棱柱共有 个顶点． 【答案】8 【分析】本题考查了棱柱的特点，一元一次方程的应用，熟练掌握棱柱的基本特点是解题的关键．设该棱柱为n棱柱，则棱的条数为，顶点有个，由此可求得棱柱的顶点数． 【详解】解：设该棱柱为n棱柱，根据题意得： ， 解得：， ∴该棱柱有个顶点． 故答案为：8． 12．一个棱柱有12个面，且所有侧棱的和为，则每条侧棱长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了棱柱的知识，掌握棱柱是几棱柱，它就有几个侧面，并且就有几条侧棱是关键．根据棱柱的概念和定义，可知12个面的棱柱是十棱柱，有10条侧棱；再根据所有侧棱的和，求出每条侧棱长． 【详解】解：∵棱柱有12个面， ∴棱柱是十棱柱，有10条侧棱， ∵所有侧棱的和为， ∴每条侧棱长为． 故答案为：4． 13．一个棱柱有个顶点，那么这个棱柱是 棱柱，它有 条棱． 【答案】 六 18 【分析】本题考查了几何图形，根据棱柱有个顶点，可知上底面和下底面各有个顶点，即这个棱柱是六棱柱；棱柱的上底面、下底面、侧面各有条棱，共有条棱． 【详解】解：一个棱柱有个顶点， ， 这个棱柱是六棱柱； 棱的条数是． 故答案为：六，． 14．如图所示，在长方形中，．现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积为 ．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了平面图形旋转得到的立体图形，圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键．根据题意，分2种情况讨论：①绕这个长方形的长所在直线旋转一周；②绕这个长方形的宽所在直线旋转一周，利用圆柱的体积公式分别求出对应的几何体的体积，即可得出答案． 【详解】解：①若绕这个长方形的长所在直线旋转一周，得到圆柱， 此时圆柱的体积为； ②若绕这个长方形的宽所在直线旋转一周，得到圆柱， 此时圆柱的体积为； 因此，旋转一周得到的几何体的体积为或． 故答案为：或． 15．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．把一副七巧板按如图所示进行①～⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是32，那么“蝴蝶”上带有阴影的板块边长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意是解题的关键．根据⑤和⑥的面积和与①、⑦、④的面积相等即可求解． 【详解】解：∵“蝴蝶”的面积是32， ∴大正方形的面积为， 可得⑤和⑥的面积和与①、⑦、④的面积相等， ∴①的面积为， ∴那么“蝴蝶”上带有阴影的板块边长为2， 故答案为：2． 三、解答题 16．如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________． (2)求此立体图形的体积．（结果保留 ） 【答案】(1)圆柱 (2)旋转之后的立体图形体积为． 【分析】本题考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． （1）根据面动成体解答即可； （2）根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：由题意可知，如图旋转的圆柱底面半径为，高为， ∴圆柱的体积为， 所以旋转之后的立体图形体积为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $