精品解析：山东省烟台市莱州市2025-2026学年（五四学制）八年级上学期11月期中数学试题

山东省烟台市莱州市2025-2026学年（五四学制）八年级上学期11月期中数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知时，分式无意义，则“□”可以是（　　） A. B. C. D. 4. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 将多项式进行因式分解，结论正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A. B. C. D. 7. 在一次迎新年数学竞赛活动中，某校甲、乙两班各12名学生的参赛成绩如图所示，关于学生的参赛成绩，下列描述错误的是（ ） A. 乙班的极差是分 B. 甲班的中位数大 C. 乙班90分以上（包括分）有9人 D. 甲班众数是5人 8. 国庆中秋“双节”假日期间，美丽的莱州迎来一拨旅游热潮．某旅行团现有游客人到莱州游玩，需要住宿，共有个大小相同的房间，结果有1个房间空着2个床位，则每间房可住的人数为（ ） A. B. C. D. 9. 若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 二、填空题（本题共6个小题） 11. 分式化成最简分式为________． 12. 一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是_______________． 13. 某同学使用计算器求10个数的平均数时，错误地将其中一个数据12输入为22，那么由此求出的平均数比实际平均数多______． 14. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 15. 已知关于这的方程无解，则的值为_____________． 16. 定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______． 三、解答题（本大题共8个小题） 17. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 18. 计算 （1）； （2）． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 认真观察下面的算式，结合你发现的规律，完成下面的问题． 算式① 算式② 算式③ 算式④ …… （1）请写出：算式⑤______，算式⑥______ （2）上述算式的规律可以用以下文字概括：两个连续奇数的平方差能被8整除．设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的； （3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例． 21. 小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，∴，∴， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 （1）“方法”中运用了“分式”这一章的数学依据是___________； （2）请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整； （3）若（m，n都不为0），请直接写出的值． 22. “秋风响，蟹脚痒，正是食蟹好时节．”在我市丁字湾海域的一处螃蟹养殖区，某蟹农在今年五月中旬向自家蟹田投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹田随机试捕了四次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/ 第一次试捕 4 171 第二次试捕 5 168 第三次试捕 5 170 第四次试捕 6 171 （1）求四次试捕中平均每只蟹的质量； （2）若蟹苗的成活率为，请估计在九月中旬试捕期间，该蟹田中螃蟹的总质量为多少千克？ （3）若第三次试捕的蟹的质量（单位：）分别为：169，170，，174，168．求的值及该次试捕所得蟹的质量数据的方差． 23. 宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？ 24. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如∶①用配方法分解因式∶， 解∶原式； ②利用配方法求最小值∶求的最小值．解∶， 不论取何值，总是非负数，即． ， 当时，有最小值，最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： （1）分解因式（利用配方法）：； （2）若，其中x为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由； （3）已知是的三条边长，若满足，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台市莱州市2025-2026学年（五四学制）八年级上学期11月期中数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意； B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； C、不是因式分解，故此选项不符合题意； D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握概念是解题的关键． 2. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式的定义，分子、分母都为整式，且分母中含有字母的式子是分式．逐一检查即可． 【详解】解： A、分母为2，分母中不含字母，故是整式； B、分母为，π为常数，分母中不含字母，故是整式； C、分母为，分母中含字母x和y，故是分式； D、分母为4，分母中不含字母，故是整式． 故选： C． 3. 已知时，分式无意义，则“□”可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件解答即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴当时，分式的分母等于0， ∵当时，， ∴C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 4. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差，折线统计图，掌握方差越大，数据的波动程度越大；方差越小，数据的波动程度越小是解决问题的关键．解题思路是通过观察折线统计图中甲乙成绩的波动幅度，判断方差的大小关系． 【详解】解：从折线统计图中可以看出，甲的成绩折线波动幅度较小，乙的成绩折线波动幅度较大， 根据方差的意义，数据波动幅度越小，方差越小；波动幅度越大，方差越大， ∴甲的方差小于乙的方差，即． 故选：B． 5. 将多项式进行因式分解，结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故选：C． 6. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 7. 在一次迎新年数学竞赛活动中，某校甲、乙两班各12名学生的参赛成绩如图所示，关于学生的参赛成绩，下列描述错误的是（ ） A. 乙班的极差是分 B. 甲班的中位数大 C. 乙班90分以上（包括分）有9人 D. 甲班众数是5人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查极差、中位数、众数的计算，扇形统计图和条形统计图的应用．掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是分别对每个选项进行分析，根据甲班的条形统计图和乙班的扇形统计图计算或判断对应的统计量． 【详解】解：A：乙班成绩中最高分是分，最低分是分，极差为（分），该选项正确； B：甲班成绩从小到大排列，第、个数分别是， 则中位数是（分）； 乙班：分的人数占比为，人数为（人）； 分的人数占比为，人数为（人）； 则乙班成绩从小到大排列，第、个数是分， 故中位数是（分）， ∴甲班的中位数大，该选项正确； C：乙班90分以上（包括分）的人数占比为，人数为（人），该选项正确； D：甲班中分的人数最多，众数是分，而不是人，该选项错误． 故选：D． 8. 国庆中秋“双节”假日期间，美丽的莱州迎来一拨旅游热潮．某旅行团现有游客人到莱州游玩，需要住宿，共有个大小相同的房间，结果有1个房间空着2个床位，则每间房可住的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式，掌握总人数与房间数、床位空额之间的数量关系是解决问题的关键．根据有1个房间空着2个床位，可表示一共有个床位，再结合房间数求出每间房可住的人数． 【详解】解：已知旅行团有游客人，有个房间空着个床位， 这意味着如果床位住满的话，总床位数应为个， ∵共有个房间，且房间大小相同， ∴每间房可住的人数为人． 故选：D． 9. 若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．将左边通分后与右边比较分子，得到关于A和B的方程，解出A和B后代入计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 分子相等：， ∴ 比较系数： 解得：， ∴ ． 故选：D． 10. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，正确理解题意、熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．分类讨论的大小，分别求出方程的解，检验即可． 【详解】若，根据新定义，，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合； 若，根据新定义，，解得， 经检验，是原分式方程的解但不符合，∴应该舍去． 综合可知． 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题） 11. 分式化成最简分式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是_______________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．分别假设众数为11，7，9分类讨论，找到符合题意的值即可． 【详解】若众数为11，则数据为11，7，9，11，此时中位数为10，不符合题意； 若众数为9，则数据为11，7，9，9，中位数为9，符合题意； 若众数为7，则数据为11，7，9，7，中位数为8，不符合题意， 故答案为：9． 13. 某同学使用计算器求10个数的平均数时，错误地将其中一个数据12输入为22，那么由此求出的平均数比实际平均数多______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，根据题意可知输入的结果比原本的结果多了10，那么这10个数平均多了1，即平均数比实际平均数多1． 【详解】解：把12错输入了22，那么这是个数的总和多了，则平均数多了， 故答案为：1． 14. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 15. 已知关于这的方程无解，则的值为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程得出，再由分式方程无解得出当整式方程无解时，；当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，分别求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于的方程无解， ∴当整式方程无解时，，解得， 当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，解得； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 16. 定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的拆分． 根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题） 17. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各项的公因式，提取公因式进行因式分解； （2）先对式子变形，提取公因式，再利用平方差公式继续分解； （3）先分别运用完全平方公式和多项式乘法展开，再合并同类项，最后用完全平方公式因式分解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 18. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． （1）先根据乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程去分母化为整式方程，解整式方程后检验的相关知识是解决问题的关键． （1）先找到最简公分母，两边同乘最简公分母化为整式方程，解整式方程后检验； （2）先对分母因式分解找到最简公分母，两边同乘最简公分母化为整式方程，解整式方程后检验． 【小问1详解】 解：方程可变形为 方程两边都乘以， 得 ， 解这个方程，得 ， 检验：将代入原方程的两边， 左边，右边， ∵左边=右边， ∴是原分式方程的根； 【小问2详解】 解：方程可变形为 方程两边都乘以，得 解这个方程，得 ， 检验：当 时，原方程分式和的分母为零， ∴是原方程的增根，应舍去． 故原方程无解． 20. 认真观察下面的算式，结合你发现的规律，完成下面的问题． 算式① 算式② 算式③ 算式④ …… （1）请写出：算式⑤______，算式⑥______ （2）上述算式的规律可以用以下文字概括：两个连续奇数的平方差能被8整除．设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的； （3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例． 【答案】（1）， （2） 解：， 故两个连续奇数的平方差能被8整除； （3） 说法不成立， 反例为：． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用、数字类规律探索，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据题干中所给式子规律写出算式⑤、算式⑥即可； （2）利用平方差公式可得，即可得解； （3）设两个连续偶数分别为和（n为整数），利用平方差公式可得，即可得出结论，再写出反例即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：算式⑤，算式⑥； 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：说法不成立， 设两个连续偶数分别为和（n为整数）， ， 故两个连续偶数的平方差不能被8整除， 反例为：． 21. 小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，∴，∴， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 （1）“方法”中运用了“分式”这一章的数学依据是___________； （2）请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整； （3）若（m，n都不为0），请直接写出的值． 【答案】（1）分式的基本性质 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）利用分式的基本性质求解； （2）先把分式的分子、分母同时除以得到运算，然后利用整体代入的方法计算； （3）先把所求的代数式变形得到，然后把代入后进行分式化简即可． 【小问1详解】 解：“方法1”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的基本性质； 故答案为：分式的基本性质； 【小问2详解】 解：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 ， ， ∴原式； 【小问3详解】 解：∵， ∴原式 ． 22. “秋风响，蟹脚痒，正是食蟹好时节．”在我市丁字湾海域的一处螃蟹养殖区，某蟹农在今年五月中旬向自家蟹田投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹田随机试捕了四次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/ 第一次试捕 4 171 第二次试捕 5 168 第三次试捕 5 170 第四次试捕 6 171 （1）求四次试捕中平均每只蟹的质量； （2）若蟹苗的成活率为，请估计在九月中旬试捕期间，该蟹田中螃蟹的总质量为多少千克？ （3）若第三次试捕的蟹的质量（单位：）分别为：169，170，，174，168．求的值及该次试捕所得蟹的质量数据的方差． 【答案】（1）平均每只蟹的质量为． （2）蟹田中螃蟹的总质量约为153千克． （3）该次试捕所得蟹的质量数据的方差为4.4． 【解析】 【分析】（1）本题考查加权平均数，利用四次试捕中蟹的总质量除以蟹的数量，即可求解． （2）本题考查用样本估计总体，利用四次试捕中平均每只蟹的质量乘以成活的蟹的数量，即可求解． （3）本题考查方差，用第3次试捕的蟹的总质量减去其它蟹的质量，可得的值，再根据方差公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：平均每只蟹的质量为：（）． 【小问2详解】 解：． 所以，蟹田中螃蟹的总质量约为153千克． 【小问3详解】 解：，解得． ． 所以，该次试捕所得蟹的质量数据的方差为4.4． 23. 宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？ 【答案】（1）A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递 （2）方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人； 方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人； 方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用． （1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，利用工作时间工作总量工作效率，结合A，B型数控机器人接力9小时完成分拣任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型数控机器人每小时分拣快递的数量），再将其代入中，即可求出A型数控机器人每小时分拣快递的数量； （2）设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，根据刚好分拣完成5760件快递，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各安排方案． 【小问1详解】 解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递； 【小问2详解】 解：设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种安排方案， 方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人； 方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人； 方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人． 24. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如∶①用配方法分解因式∶， 解∶原式； ②利用配方法求最小值∶求的最小值．解∶， 不论取何值，总是非负数，即． ， 当时，有最小值，最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： （1）分解因式（利用配方法）：； （2）若，其中x为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由； （3）已知是的三条边长，若满足，求的周长． 【答案】（1） （2），理由如下： ； （3）9 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用．理解配方法是把代数式通过配方等手段，得到完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为∶比较两个数的大小，通常用作差法，如果差是正数，则被减数大于减数；若差是负数，则被减数小于减数；几个非负数相加得0，这几个非负数均为0． （1）把所给式子的前两项加上一个常数，整理为完全平方式，再把整个式子整理为和原来式子相等的形式，进而用平方差公式继续展开，整理可得因式分解的形式； （2）计算M与N的差，根据差的符号可得M和N的大小； （3）把所给等式整理为三个非负数相加得0的形式，可得这三个非负数均为0，即可求得的值，进而求的周长即可． 【小问1详解】 解: 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解得： 的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $