2.2.2　 二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c的图象与性质 课件2024-2025学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象与性质，从基础的y=ax²入手，通过表格对比a>0/a<0时的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，逐步过渡到y=ax²+c的平移关系，构建由浅入深的学习支架，帮助学生衔接知识。 其亮点在于用表格直观呈现性质培养抽象能力，例题结合平移和函数交点问题发展推理意识，符号与图表结合强化模型表达。通过典例、变式及当堂练习层层递进，课堂小结提炼关键点，学生能系统掌握性质与联系，教师可高效开展教学。

2.2.2　 二次函数y＝ax2与 y＝ax2＋c的图象与性质 学习目标 1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点） 2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点） 3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系. 知识点一：二次函数y＝ax2的图象与性质 1. 函数y＝ax2的图象与性质： 2. 二次函数y＝5x2的图象如图所示，则： (1)开口向______； (2)对称轴是_______； (3)顶点坐标是_____________； (4)当x＝_____时，y的最小值是______； (5)当x>0时，y随x的增大而____________． 上 y轴 (0，0) 0 0 增大 知识点二：二次函数y＝ax2＋c的图象与性质 3. 函数y＝ax2＋c的图象与性质： 4. 已知抛物线y＝3x2－2的图象如图所示，则： (1)开口向_____； (2)对称轴是________； (3)顶点坐标是______________； (4)当x＝_____时，y的最______值是_________； (5)当x__________时，y随x的增大而增大． 上 y轴 (0，－2) 0 小 －2 >0 知识点三：抛物线y＝ax2与y＝ax2＋c的关系 5. 抛物线y＝ax2＋c(a≠0)的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上或向下平移|c|个单位长度得到． 6. (1)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为______________________； (2)将抛物线y＝2x2－5向______平移_____个单位长度后可得到抛物线y＝2x2. y＝2x2＋3 上 5 【典例导引】 7. 【例1】已知在函数y＝2x2上有点A(－2，y1)，点B(4，y2)，则关于y1，y2的大小判断正确的是( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 B 【变式训练】 8. 点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，y3)都在函数y＝3x2＋3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 C 9. 【例2】如图，二次函数y＝－x2＋m(m＞0)的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m＝______． 2 8 11. 【例3】如图，已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，－1)，点B的横坐标为2. (1)分别求出一次函数和二次函数的表达式； (2)求△AOB的面积． 解：(1)∵一次函数y＝kx－2的图象过点A(－1，－1)， ∴－1＝－k－2，解得k＝－1， ∴一次函数的表达式为y＝－x－2， ∵y＝ax2过点A(－1，－1)， ∴－1＝a×1，解得a＝－1， ∴二次函数的表达式为y＝－x2 (2)在y＝－x－2中，令x＝0，得y＝－2， ∴G(0，－2)， ∵点B的横坐标为2， 12. 如图，二次函数y＝4x2＋c与直线y＝－x＋b相交于A，B两点，点A的坐标为(1，1). (1)求b，c的值； (2)若y＝4x2＋c的顶点为M，求△ABM的面积. 解：(1)把A(1，1)分别代入抛物线y＝4x2＋c与直线y＝－x＋b中， 得1＝4＋c，1＝－1＋b，解得b＝2，c＝－3 (2)设直线AB交y轴于点C，则C(0，2)， y＝4x2－3的顶点M的坐标为(0，－3)，由4x2－3＝－x＋2， 当堂练习 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物 线 ．　　 2.填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 18 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____； 若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 19 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 20 6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过点M（x1，y1）， N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2， 则y1与y2的大小关系是__________. y1＞y2 7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(　　) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 8.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. 二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； c决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： c正向上； c负向下. 课堂小结 10. 如图，已知抛物线y1＝－ eq \f(1,2)x2＋4，－2≤x≤2，将y1向下平移2个单位长度后得抛物线y2，则图中阴影部分的面积S＝______． ∴S△OAB＝S△AOG＋S△BOG＝ eq \f(1,2)×2×1＋ eq \f(1,2)×2×2＝1＋2＝3 解得x＝1或x＝－ eq \f(5,4)， ∴S△ABM＝ eq \f(1,2)×(2＋3)×1＋ eq \f(1,2)×(2＋3)× eq \f(5,4)＝ eq \f(45,8) $$