精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期上学期期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：和：平行，则实数（ ） A. 2或 B. 1 C. D. 2 6. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 圆：关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 10. 已知直线，圆，则（    ） A. 经过定点 B. 圆与圆：外离 C. 当与圆相切时，. D. 圆心到直线距离的最大值为 11. 已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 13. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是________. 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 16. 求解下列问题： （1）求过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求以线段为直径的圆的方程. 17. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在y轴上； （2），． （3）经过点，两点； 18. 如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 19. 如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． （1）求的长； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得． 故选：D 2. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出. 【详解】在直三棱柱中，，分别为棱，的中点， . 故选：D 3. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 4. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 设，可得， 则， 所以. 故选：A. 5. 已知直线：和：平行，则实数（ ） A. 2或 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线的不相交可得的值，进而分类讨论平行和重合的情形即可.. 【详解】当：，：平行 得，解得或， 当时，：，：，即，此时直线和直线重合，故不符合题意， 当时，：，：，此时直线和直线平行，符合题意； 故选：D 6. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得，结合同角三角关系运算求解. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 则，可得，且， 又因为，可得， 由可知，所以. 故选：C. 7. 圆：关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程. 【详解】因为圆，即， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心关于直线对称的点是，则，解得. 则所求圆的方程为. 故选：. 【点睛】本题考查了圆关于直线对称问题，意在考查学生的计算能力. 8. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用圆的标准方程即可求解 【详解】方程表示圆， 则， 解得，即的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利用空间向量垂直、夹角、距离等公式计算即可逐一验证判断. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，因， 则，故，A正确； 对于B，，， 设平面AEF的法向量为， 则故可取， 因，则，又平面AEF， 故平面AEF，故B正确； 对于C，因， 则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为， 则点到平面AEF的距离为，D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线，圆，则（    ） A. 经过定点 B. 圆与圆：外离 C. 当与圆相切时，. D. 圆心到直线距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于选项A：因为， 令，解得，所以l过定点，故A正确； 对于选项B：圆可化为，可知其圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 因为，即，可知两圆相交，故B错误； 对于选项C：若与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于选项D：当时，圆心到直线距离的最大， 此时最大值为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用配方法、直线斜率公式、圆的几何性质逐一判断即可. 【详解】A：，显然该圆的圆心C的坐标为，因此本选项说法正确； B：因为，所以点Q在圆C外，因此本选项说法正确； C：当点在圆C上，则有， 即，所以直线PQ的斜率为，因此本选项说法不正确； D：因为，该圆的半径为， 所以， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的几何性质，即半径为圆外一点，圆上任意一点，则有. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，设，从而得解. 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 13. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分．画出图形，结合图形可得所求的范围． 【详解】由题意得，直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点），画出图形如下图所示． 当直线，即直线与圆相切时， 则有，解得，． 结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有， ∴实数的取值范围是． 故答案为． 【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂心性质联立方程组解得垂心的坐标为； （2）利用直线垂直求得直线的方程，再由点到直线距离求的结果. 【小问1详解】 根据题意作出示意图如图，作出边上的高，边上的高， 即直线方程为，直线方程为, 联立，解得； 故垂心的坐标为 【小问2详解】 连接并延长交于点， 由（1）可知，； 易知，设直线的方程为， 将代入可得，即直线的方程为； 联立，解得，即； 所以直线的方程为，即； 设点的对称点，则，且的中点在直线上， 又，所以，整理得，解得； 即; 所以点到直线的距离为. 16. 求解下列问题： （1）求过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求以线段为直径的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点坐标，再求出直线的斜率，最后利用点斜式计算可得； （2）求出、的中点坐标与，即可得到圆心坐标与半径，从而求出圆的方程. 【小问1详解】 解：由，解得，所以两直线的交点为， 因为直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：因为，，所以、的中点坐标为， ， 所以以线段的中点为圆心，为半径． 则所求圆的方程为. 17. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在y轴上； （2），． （3）经过点，两点； 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类讨论，求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； 【小问3详解】 由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点， 因为，所以椭圆的焦点在x轴上，所以， 所以椭圆的标准方程为． 18. 如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接、、， 又因为，分别是，的中点， 所以且，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又在直四棱柱的底面是平行四边形，，， 所以为等边三角形，所以，又，所以， 又平面，平面，所以， ，平面， 所以平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、、，即可得到，再证明，由直棱柱的性质证明，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以， 设平面与平面所成二面角为，则， 所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为. 19. 如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． （1）求的长； （2）证明：． 【答案】（1）； （2） 因为 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）设，，，将用表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果. （2）将，分别用表示出来，根据，即可证明. 【小问1详解】 设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $