3.1 勾股定理的探究 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过《诗经》“蒹葭”与《九章算术》“葭生池中”问题情境引入，结合网格中正方形面积关系（补、割法）逐步探索，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解定理的形成过程。 其亮点在于融合数学文化与探究式教学，借助赵爽弦图、火柴盒拼图等多种验证方法，培养数学思维（推理、运算）和数学眼光（从历史情境抽象数量关系）。例题涵盖计算、数轴表示等应用，体现数学语言表达，助力学生深化理解，教师可通过结构化内容提升教学效率。

第3章 勾股定理 3.1 勾股定理的探究 1 第3章 勾股定理 3.1 第1课时 勾股定理 随堂演练 归纳总结 情境引入 例题讲解 新知探索 课堂小结 2 情境引入 蒹葭苍苍，白露为霜， 所谓伊人，在水一方. -----引自《诗经·秦风·蒹葭》 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？ -----引自《九章算术》 3 本节课上课之前可以放周杰伦的《爱在西元前》，美索不达米亚泥板是古巴比伦数学最具魅力文献之一，人们认为它是毕达哥拉斯数组的推导过程，它要比毕达哥拉斯早1000年. 495211216@qq.com (4) - 本节可以用古代诗词《蒹葭》作为开场 探索一： A B C 三个正方形A、B、C的面积有什么关系？（小正方形的边长为单位1） 由三个正方形A、B、C的边长构成的等腰直角三角形的三边之间有怎样的特殊关系？ 图1 SC=SA+SB 新知探索 探索1中正方形C是由4个小的等腰直角三角形组成，可以拼成2个小正方形。 4 495211216@qq.com (4) - 本课件探索由特殊到一般，探索1中正方形C是由4个小的等腰直角三角形组成，可以拼成2个小正方形。 探索二：1、在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边的正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？ 正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎么样的特殊关系？ 图2 图3 5 探索2是一般的情况，让学生自己探索正方形C面积可以怎么求。 495211216@qq.com (4) - 探索2是一般的情况，让学生自己探索正方形C面积可以怎么求。 “补” “割” 面积求法： Sc=S正方形MNPQ-4SΔNEF M N E Q P F Sc=4SΔMEF+1 M N E Q P F Q P 探索三：对于网格中的任意格点直角三角形，上述结论是否仍然成立？请大家自己作图探究。 可以猜想：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 7 495211216@qq.com (4) - 探索三可以让学生上黑板补充完整，并探索。 直角三角形这一特殊的三边关系,我国古代称之为勾股定理 .据 《周髀算经》记载:西周时期的商高(约前1100)在与周公(约 前1100)的对话中,就提出了 “勾三股四弦五”.勾股定理的证明从古至今已有数百种方法 .公元3世纪初,我国数学家赵爽(3世纪前期)用剪拼图形的方法完成了证明. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 符号语言: 在Rt△ABC中， ∵∠C=90° ∴ a2+b2=c2 . 归纳总结 即直角三角形的两条直角边a，b与斜边c之间满足：a2+b2=c2 9 本节课得到勾股定理属于数学直观归纳，严格证明是第二课时内容。 495211216@qq.com (4) - 本节课得到勾股定理属于数学直观归纳，严格证明是第二课时内容。 例1：如图,已知直角三角形的两边长，求第三边长. 例题讲解 5 12 c 5 2 b 解：（1）根据勾股定理，得 122+52=c2 即c2=169.所以c==13. 解：（2）根据勾股定理，得 22+b2=52 即b2=21.所以b=. 例题编排由求正方形面积过度到求直角三角形的边长，开始的时候学生会用就行，到后面的习题要会书写几何语言。 495211216@qq.com (4) - 例题编排由求正方形面积过度到求直角三角形的边长，开始的时候学生会用就行，到后面的习题要会书写几何语言。 例2：在数轴上画出对应的点. 例题讲解 -1 0 1 2 3 4 解：①画一个直角边分别为2和1的直角三角形； 由勾股定理知，斜边为 ②以原点为圆心，斜边长为半径画弧； P 与数轴正半轴交于点P，则P为对应的点. 例题编排由求正方形面积过度到求直角三角形的边长，开始的时候学生会用就行，到后面的习题要会书写几何语言。 495211216@qq.com (4) - 例题编排由求正方形面积过度到求直角三角形的边长，开始的时候学生会用就行，到后面的习题要会书写几何语言。 例3：如图,求图形中未知边长x的平方. 全品初中 例4： 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c (1)若c=15,b=12,求a的长; (2)若a=5, b=12,求c的长. 解:(1)∵a2+b2=c2,∴a2=c2-b2=152-122=81.∴a=9. (2)∵a2+b2=c2,∴c2=a2+b2=52+122=169.∴c=13. 全品初中 495211216@qq.com (4) - 本题版演前，教师先画图，提醒学生养成良好的做题习惯。 1、求下列图中未知数x、y的值： 随堂演练 y=25 x=225 14 2、如图,根据图中的标注求各直角三角形中的未知边长x, z的值. x=　　　　,z=　　　　.  12 15 全品初中 3、求直角三角形中边AD的长。 AD=13 16 495211216@qq.com (4) - 学生会求就行，几何语言书写本节课可以让基础较好的学生尝试书写， 4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7 cm ，正方形 A的面积为9 cm2 ，则正方形 B，C ，D 面积之和为 cm2 . 本图是由基本图形 迭代生成的勾股树 40 美丽的勾股树 18 495211216@qq.com (4) - 这张图是勾股树的动态图，老师播放的时候不要着急，每一次生成之间有时间间隔。 课堂小结 勾股定理 内容 在直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2 注意 必须是在直角三角形中 看清哪个角是直角 第3章 勾股定理 3.1 第2课时 勾股定理的验证 随堂演练 问题探究 知识回顾 情景引入 例题讲解 课堂小结 1、勾股定理的内容是什么？ 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方 c b a A B C 2、勾股定理的几何描述是什么？ 在Rt△ABC中， ∵ ∠C = 90° ∴ a2 + b2 = c2 知识回顾 情境引入 两千多年来，勾股定理的证明一直令人着迷.公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理. 你知道它是怎么验证勾股定理吗？　 495211216@qq.com (4) - 本节课由赵爽弦图引入，这个不需要解决，我们放在后面解决。 把这4张三角形纸片拼成一个边长为c的正方形，它的面积为c2,你能用图3验证勾股定理吗？ 如图，大正方形的边长为c，则S大正方形 ＝ c2， 即 S大正方形 ＝ 4S三角形 ＋ S小正方形， 证明： a b c b-a 图 3 问题探究 因为大正方形是由4个直角三角形和一个边长为（b-a）的小正方形组成的，所以，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与小正方形面积之和. （1）制作4张如图1所示的直角三角形纸片 （2）用这4张纸片拼成如图2所示的图形.试用两种不同的方法计算图2的面积.你能用这个图形证明勾股定理吗？ a b c ∟ 图1 a a a a b b b b c c c c 图2 问题探究 尝试1 则 a2 + b2 = c2 . S小正方形 = c2, S小正方形 =S大正方形 -4S直角三角形 = （a+b）2-4 × ab= a2 + b2， 面积表示方法一: a a a a b b b b c c c c 面积表示方法二: 早在公元3世纪，我国数学家赵爽曾用上图验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图” 2002年数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代数学文明，大会选用了“弦图”作为会标的中心图案，如图4所示。 图 4 495211216@qq.com (4) - 和引入部分相呼应。 把一个直立的火柴盒放倒，你能用不同的方法计算梯形ABCD的面积，再次验证勾股定理吗？ A B C D E a b c ①整体： ②局部： 尝试2 已知，图中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请试利用这个图形验证勾股定理。 例1 解：∵S多边形ABEFG= S梯形ABDG+ S梯形DEFG = ， S多边形ABEFG= S正方形ACFG+ 2S三角形ABC =c2+ab， ∴ a2 + b2 = c2. A B E D C G F 495211216@qq.com (4) - 本题是课后习题，可以看成由两个直角梯形组成，也可以看成由一个边长为C的大正方形和两个小直角三角形组成。 1.下列图形中,不能用来证明勾股定理的是(注:图中所有三角形均为直角三角形) (　　) D 随堂演练 全品初中 2.如图，用2个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和1个腰长为c的等腰直角三角形拼接成如图所示的直角梯形，你能通过这个图形验证勾股定理吗？ a b c c ∴a2 + b2 = c2. 课堂小结 知识点　验证勾股定理 解:在△ABC中,∵∠B=90°, ∴AC2=AB2+BC2=1+1=2. 在△ACD中, ∵∠ACD=90°, ∴AD2=AC2+CD2=2+1=3, 即x2=3. 验证方法:等面积法. 用两种不同的表示方法表示同一图形的面积,根据面积相等得出一个等式,从而验证勾股定理. $