4.3.1 课时3 等比数列的概念及综合问题同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 课时3 等比数列的概念及综合问题 【基础巩固】 1．已知等差数列的首项和公差均不为，且满足，，成等比数列，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 所以，化简可得 ，所以，所以. 故选：D. 2．已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】则为常数，所以为常数， 知数列为等差数列，由，知，又， 所以公差，故. 故选：A 3．已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，则，若为正项等比数列，则， 所以为常数，即为等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则， 所以，即为正项等比数列，即必要性成立． 故选：A. 4．若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列是公比为的等比数列，则， 即，所以.又因为，，则. . （当且仅当，即时等号成立.）则的最小值为. 故选：D. 5．（多选）等比数列和函数满足，则以下数列也为等比数列的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由题意，设，则，故A正确；对于B,为奇数则不是整数，无意义，故B错误； 对于C,，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 6．若 满足对任意的实数， 都有 且，则_______. 【答案】 【解析】由，，令得， 可推出，当时有： 即， 故答案为：. 7．若等比数列的前项积为，则_______. 【答案】 【解析】， 则． 故答案为：. 8．在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】见解析 【解析】(1)因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式 (2)由(1)可知，则 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以 【能力拓展】 9．设数列为公比为的等比数列，且，数列满足，则不等式成立时对应的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，因为数列为公比为的等比数列， 所以，即，又数列满足，所以， 不等式成立，即，化简为， 因为函数在上单调递增， 所以当时，，当时，， 则不等式成立时对应的最小值为. 故选：B. 10．（多选）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ） A．等差数列是等差比数列 B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列等差比数列 【答案】BCD 【解析】等差数列若为常数列，则，无意义， 所以等差数列不一定是等差比数列，A选项错误； 若公比为的等比数列是等差比数列，则不是常数列，， ，即该数列的公比与公差比相同， B选项正确. 若数列是等差比数列，则，所以数列是等比数列，故C选项正确； 若数列是等比数列，公比为，则， 所以数列等差比数列，故D选项正确 故选：BCD. 11．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，（，）.给出下列四个结论： ①存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④不存在正整数，，…，，且，使得. 其中所有正确结论的序号是_______. 【答案】①③ 【解析】对于①，由题意得，故成等差数列，故①正确， 对于②，由递推公式可知，，中有两个奇数，个偶数，不可能成等比数列，故②错误， 对于③，， 故当时，对任意，，，成等差数列；故③正确， 对于④，依次写出数列中的项为， 可得，故④不正确. 故答案为：①③. 【素养提升】 12．已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列． (2)由(1)得，于是， 假设存在正整数，使得成等比数列，则， 即，即，整理得， 因为均为正整数且， 所以的正整数解为： 或或或或或 所以存在正整数，使得成等比数列． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 课时3 等比数列的概念及综合问题 【基础巩固】 1．已知等差数列的首项和公差均不为，且满足，，成等比数列，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）等比数列和函数满足，则以下数列也为等比数列的是（ ） A． B． C． D． 6．若 满足对任意的实数， 都有 且，则_______. 7．若等比数列的前项积为，则_______. 8．在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【能力拓展】 9．设数列为公比为的等比数列，且，数列满足，则不等式成立时对应的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ） A．等差数列是等差比数列 B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列等差比数列 11．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，（，）.给出下列四个结论： ①存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④不存在正整数，，…，，且，使得. 其中所有正确结论的序号是_______. 【素养提升】 12．已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $