第一章特殊平行四边形单元检测题2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元检测题 一、单选题 1．如图，在中，以斜边为边向外作正方形，连接，若，，则的长等于（    ） A． B． C． D．1 2．下列语句中，不正确的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．有一个内角是直角的菱形是正方形 3．如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，现测得，，则该菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在，上滑动，且，若点M、N分别是的中点，连接，则的长度最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 8．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，E为边上任意一点（不与点C、D重合），过点E作，，垂足分别为F、G，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 9．如图，正方形，E是对角线上的一点，以为边作正方形，阴影部分面积为5，若，，则下列值不变的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，于点，点是边的中点，连结，连结交于点，此时，下列结论中：①平分；②；③；④若记的面积为，的面积为，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，技术人员利用有些磨损的刻度直尺（单位：）测量直角三角形模具的尺寸，，点A，B，D分别对应刻度尺上的数字1，9，5，推算的长为 ． 12．如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在的两边，上滑动，，连接，则线段的最大值是 ． 13．如图，矩形中，，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 14．如图，P是以正方形的顶点A为圆心，为半径的弧上的点，连接、，将线段绕点P顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是 ． 15．如图，两个全等的含的三角板和三角板，如图所示放置，、、三点在一条直线上，，连接，取的中点，连接、．下列结论：①；②；③；④；其中正确的 ． 三、解答题 16．如图，在中，，，是斜边上的高，是斜边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 17．下面是嘉嘉同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程． 已知：如图，等腰，．求作：点，使得四边形为菱形． 作法： ①作的角平分线，交线段于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点； ③连接，，所以四边形为菱形，点即为所求． 根据嘉嘉同学设计的作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹） (2)请证明四边形是菱形． 18．如图，在中，，为边的中点，为边上一动点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则四边形周长的最小值是______．（直接填写结果，不需要说明理由） 19．如图1，点为正方形内一点，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度，点的对应点分别为点． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，延长交于，求的度数； (2)若，如图3，得到，此时′与重合，延长交于点，连接，求的长； (3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 20．如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形． (1)如图，当点落在的延长线上时，求的长； (2)如图，当点在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)当旋转到时，求点到直线的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 特殊平行四边形 单元检测题 2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C B A B A D A 1．D 【分析】此题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，关键是证明． 过D作，交的延长线于E，利用正方形的性质证明，由全等三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：过D作，交的延长线于E， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 在与中 ∴， ∴，， 设， 在中， ，即， 解得：或 (舍去)， ∴． 故选：D． 2．A 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原说法错误，符合题意； B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意； C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； D. 有一个内角是直角的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．连接，则交于点O，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则交于点O， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故选：B 4．C 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，矩形的证明及性质，正方形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键； 过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理可得，然后根据菱形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴该菱形的周长为， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，根据四边形是矩形得到，结合得到，根据折叠得到，即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点， ∴， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接，， 在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ， 当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：， 的最小值为：2． 故选B． 8．A 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用，运用面积关系是本题的关键． 连接，利用勾股定理，结合矩形性质推出，，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形为矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ； 故选：A． 9．D 【分析】本题考查正方形的性质，动点问题，瓜豆原理，平行线间的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据瓜豆原理可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长，连接，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴， 当点E在点A时，点F在点B，如图 当点E在的中点时，点F在点C，如图 由瓜豆原理，可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长， 如图，连接， ∴，， ∴， 即， ∴的值不变． 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；根据已知得出垂直平分，进而根据三线合一即可判断①，根据勾股定理即可判断②，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，推导出，即可判断③，根据三角形的中线的性质可得，而，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴即 ∵点是边的中点， ∴ ∴垂直平分 ∴ ∴平分，故①正确； 在中，点是边的中点， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴，故③正确； ∵点是边的中点， ∴， ∴， 而，故，即④不正确； 故选：A． 11．4 【分析】先计算和，确定是斜边上的中线，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 本题考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识．取的中点，连接、．根据直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，得出答案即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵，，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的值最大，此时． 故答案为：4． 13．/58度 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，由矩形的性质可得，求出，再由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由作图可得，平分， ∴， 由作图可得，直线垂直平分线段， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及三角形面积公式，解题的关键在于熟知正方形的性质、旋转的性质． 过点作于点，过点作交其延长线于点，连接交弧于点，利用旋转的性质得到和，进而证得，再结合正方形的性质，求出的底和高，进而求出其面积． 【详解】如图，过点作于点，过点作交其延长线于点，连接交弧于点， 则， 又， ， ， 由旋转得， ， ， ， ， 即当点在时，的值最大为长， 四边形是正方形， ， ， 的值最大为， 的最大面积是， 故答案为：． 15．①③④ 【分析】利用全等三角形的性质得到：，， ，得到①的结论正确；利用梯形的判定与性质判断②不正确；连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到③的正确；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质得到④的正确． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴①的结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∵， ∴， ∴②的结论不正确； 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵的中点为M， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∴③的结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴④的结论正确． 综上，正确的结论有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的性质，条件适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．(1) (2)4 【分析】本题考查直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识． （1）根据直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，从而得是等边三角形，进而即可得证； （2）根据直角三角形的性质得，再利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵在中，，是斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 17．(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定、菱形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据等腰三角形三线合一得到，根据对角线互相平分的四边形得到平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形得到菱形． 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：，平分， ，． 由作图可知，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质等，垂线段最短等知识点，确定的最小值是解题的关键． （1）根据平行线的性质及中点可得，，，然后根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴，， ∵，， ∴四边形的周长：， ∴当最小时，即时四边形的周长有最小值， 此时， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形的周长最小值为． 故答案为：． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）在中应用勾股定理，得到的长度，根据正方形的性质，求出的长，根据旋转的性质得到的长，即可求解， （2）作，由，得到、、的长，在中，应用勾股定理，即可求解， （3）与重合，最短，当落在的延长线上时，，最长，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）如图，过点作于点， 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）直角三角形绕点逆时针方向旋转度，点、的对应点分别为点、， 当时，与重合，最短，如图 ∴， 当落在的延长线上时，，最长，如图 ， 线段长度的取值范围为：． 20．(1)． (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）先利用矩形性质和旋转性质得到相关线段长度，再用勾股定理求出，最后通过线段差求出． （2）连接，利用矩形性质得、，结合旋转性质得、，进而推出，得，再结合，证明四边形是平行四边形． （3）点在的下方和点在的上方两种情况，分别计算点到直线的距离． 【详解】（1）解：连接， 在矩形中，．，， 由旋转可知，． 在中，， ∴． ∴． （2）解：连接，设与交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴．， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：情况一：当点在的下方时，如图，连接，过点作于， 连接交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由旋转可得，，，，， ∵， ∴ ∴ ∴点、、三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴点到的距离等于线段的长度， 在中 ，即 ∴ ∴，， ∴点到的距离为， 情况二：当点在的上方时，如图，连接，过点作于， 连接交于，连接， 同理可得，，， ∴点到的距离为， 综上，点到的距离为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、平行四边形的判定以及点到直线的距离等知识点，熟练掌握矩形和旋转的性质，灵活运用勾股定理和平行四边形的判定定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $