第五单元　四边形 2026年云南中考数学一轮专题复习课件

该初中数学中考复习课件聚焦矩形、菱形、正方形核心考点，紧扣云南中考“5年8考，8~12分”的考查要求。通过知识清单系统梳理判定与性质，结合对点练习巩固基础，精准对接中考说明，分析考点权重，归纳证明、计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+考点突破”模式，融入5年云南中考真题，如2025年菱形面积计算、2024年矩形判定证明。通过一题多问培养几何直观与推理意识，例如矩形中利用对角线60°角结合等边三角形性质解题，帮助学生掌握答题技巧。教师可依此开展分层教学，助力学生中考冲刺，提升复习效率。

第二十一讲　矩形、 菱形、正方形 (5年8考,8~12分) 知识清单•主干回顾 云南5年真题 高频考点·疑难突破 知识清单•主干回顾 知识要点 1.矩形的判定 (1)有一个角是__________的平行四边形(定义)  (2)对角线__________的平行四边形  (3)有三个角是__________的四边形  1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( ) A.AB∥CD B.AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D 对点练习 　直角　 　相等　 　直角　 C ‹#› 2.矩形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是__________ (2)矩形的对角线__________ (3)既是______________图形,又是轴对称图形  知识要点 　直角　  　相等　  　中心对称　 ‹#› 2.下列语句中,不属于矩形性质的是( ) A.两条对角线互相平分 B.两条对角线相等 C.四个内角都是直角 D.两条对角线互相垂直 对点练习 D ‹#› 3.菱形的判定 (1)有一组邻边__________的平行四边形(定义)  (2)对角线互相__________的平行四边形  (3)四条边都__________的四边形  知识要点 　相等　 　垂直　 　相等　 ‹#› 3. 如图,要使平行四边形ABCD为菱形,还需添加的一个条件是________________ ________.(写出一个即可)  对点练习 　AB=AD(答案不 唯一)　 ‹#› 4.菱形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都__________ (2)菱形的两条对角线互相__________,并且每一条对角线平分______________ (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的__________ (4)既是______________图形,又是轴对称图形  知识要点 　相等　  　垂直　 　一组对角　  　一半　  　中心对称　 ‹#› 4.(1)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,则∠BDA的度数为( ) A.40° B.50° C.80° D.100° (2)已知菱形的两条对角线的长分别为5 cm和8 cm,则这个菱形的面积是 ________cm2.  对点练习 A 　20　 ‹#› 5.正方形的判定 (1)有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形(定义)  (2)一组邻边__________的矩形  (3)一个角是__________的菱形  (4)对角线相等且垂直的平行四边形 知识要点 　相等　 　直角　 　相等　 　直角　 ‹#› 5.(教材再开发·人教八下P60练习T3改编)下列命题为真命题的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 对点练习 B ‹#› 6.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是__________ (2)正方形的四条边都__________ (3)正方形的两条对角线__________且互相______________,每一条对角线平分一组对角  (4)既是__________对称图形,又是轴对称图形  知识要点 　直角　  　相等　  　相等　 　垂直平分　 　中心　 ‹#› 6.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等 对点练习 D B ‹#› 云南5年真题 1.(2025·云南中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O.若AC=6, BD=5,则菱形ABCD的面积是________.  　15　 ‹#› 2.(2021·云南中考)已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点,∠ABC的平分线与线段AC交于点D.若△ABC的一条边长为6,则点D到直线AB的距离为_____ _____________________.    或3或6-6或6-3　 ‹#› 3.(2025·云南中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长. ‹#› 【解析】(1)∵O是AC的中点,∴OA=OC, ∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形; (2)∵△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2, 四边形ABCD的周长为l3, ∴l1=AB+OA+OB,l2=BC+OC+OB,l3=2(AB+BC),∵AB=a,BC=b,OA=OC, ∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,l3=2(a+b)=28, ∴,∴, ∴AB=6,BC=8, ∴AC==10. ‹#› 4.(2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长. ‹#› 【解析】(1)连接AC,BD交于点O,交FG于点N,交HG于点M, ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵四边形EFGH是矩形,∴∠HGF=90°, ∵H,G分别是AD,DC的中点, ∴HG∥AC,HG=AC, ∴∠HGF=∠GNC,∴∠GNC=90°, ∵G,F分别是DC,BC的中点, ∴GF∥BD,GF=BD, ∴∠GNC=∠MOC=90°,∴BD⊥AC, ∴四边形ABCD是菱形; ‹#› (2)∵矩形EFGH的周长为22, ∴HG+FG=11,∴AC+BD=22, ∵×AC×BD=10,∴AC×BD=20, ∵(AC+BD)2=AC2+2×AC×BD+BD2, ∴AC2+BD2=444, ∴AC2+BD2=111, ∴AO2+BO2=111, ∴AB2=AO2+BO2=111, ∴AB=. ‹#› 5.(2023·云南中考)如图,平行四边形ABCD中,AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线,且E,F分别在边BC,AD上,AE=AF. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若∠ABC=60°,△ABE的面积等于4,求平行线AB与DC间的距离. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC, ∵AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线, ∴∠BAE=∠DAE=∠BAD,∠BCF=∠DCF=∠BCD, ∴∠DAE=∠BCF, ∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB, ∴∠BCF=∠AEB, ∴AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形, ∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形; ‹#› (2)连接AC, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB, ∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB,∴AB=EB, ∵∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形, ∴∠BAE=∠AEB=∠ABE=60°, ∵△ABE的面积等于4, ∴AB2=4, ‹#› ∴AB=4, 即AB=AE=EB=4, 由(1)知四边形AECF是菱形, ∴AE=CE=4, ∴∠EAC=∠ECA, ∵∠AEB是△AEC的一个外角, ∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°, ∴∠EAC=∠ECA=30°, ‹#› ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°, 即AC⊥AB, 由勾股定理得AC===4, 即平行线AB与DC间的距离是4. ‹#› 6.(2021·云南中考)如图,四边形ABCD是矩形,E,F分别是线段AD,BC上的点,点O是EF与BD的交点.若将△BED沿直线BD折叠,则点E与点F重合. (1)求证:四边形BEDF是菱形; (2)若ED=2AE,AB·AD=3,求EF·BD的值. ‹#› 【解析】(1)矩形ABCD沿BD折叠,使E,F重合, ∴OE=OF,EF⊥BD, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠C=90°,AD∥BC, ∴∠ODE=∠OBF, 在△OBF和△ODE中, ∴△OBF≌△ODE(AAS), ∴OB=OD, ∵OE=OF, ∴四边形BEDF是平行四边形, ‹#› ∵EF⊥BD, ∴四边形BEDF是菱形. (2)∵AB·AD=3, ∴S△ABD=AB·AD=, ∵ED=2AE,∴ED=AD, ∴S△BDE∶S△ABD=2∶3, ∴S△BDE=, ∴菱形BEDF的面积=EF·BD=2S△BDE=2, ∴EF·BD=4. ‹#› 7.(2022·云南中考)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°. (1)求证:四边形ABDF是矩形; (2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BA∥CD, ∴∠BAE=∠FDE, ∵点E是AD的中点, ∴AE=DE, 在△BEA和△FED中, ∴△BEA≌△FED(ASA), ∴EF=EB, ‹#› 又∵AE=DE, ∴四边形ABDF是平行四边形, ∵∠BDF=90°. ∴平行四边形ABDF是矩形. (2)由(1)得四边形ABDF是矩形, ∴∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD, ∴AF===4, ∴S矩形ABDF=DF·AF=3×4=12,BD=AF=4, ‹#› ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB=3, ∴S△BCD=BD·CD=×4×3=6, ∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18. 答:四边形ABCF的面积S为18. ‹#› 高频考点·疑难突破 【考点一】矩形的性质与判定 一题多问·多题归一 例1 如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O. ‹#› 问题1　请添加一个条件_______________________________________ ____________________________________(写出一个即可),使四边形ABCD是矩形.  若例1中给出的图形是矩形,回答问题2~问题6: 问题2　若AC=8,则OA=_______,BD=_______.  问题3　若AB=2,AC=4,则BC=_______.  问题4　若∠AOD=60°,AD=2,则AC的长为_______.  【提分要点】以矩形为背景的常见题目是对角线相交成 60°角时,利用直角三角形、等边三角形的性质解决问题. 　∠BAD=90°或∠ABC=90°或∠BCD=90°或 ∠ADC=90°或AC=BD(写出一个即可)　 　4　 　8　 　2　 　4　 ‹#› 问题5　延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=CA,连接AE,若∠ACB=60°,则tan E的值是______.  问题6　过点C作CF⊥BD交BD于点F,若∠DCF=4∠BCF,则∠COF=________.   　 　36°　 ‹#› 问题7　如图,在矩形ABCD中,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=4,∠AEO=120°,求FC的长. ‹#› 【解析】∵EF⊥BD,∠AEO=120°, ∴∠EDO=30°,∠DEO=60°. ∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,AD∥BC, ∴∠OBF=∠OCF=∠EDO=30°,∠BFO=∠DEO=60°,∴∠FOC=60°-30°=30°. ∴OF=CF,在Rt△BOF中,BO=BD=AC=2, ∴OF=tan 30°×BO=,∴FC=. ‹#› 问题8　(2024·新疆中考)如图,△ABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点. (1)求证:四边形DEFG是平行四边形; (2)当BD=CE时,求证:▱DEFG是矩形. ‹#› 【证明】(1)∵BD和CE是△ABC的中线, ∴点E和点D分别为AB和AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC. 同理可得,FG∥BC,FG=BC, ∴DE∥FG,DE=FG, ∴四边形DEFG是平行四边形. ‹#› (2)∵△ABC的中线BD,CE交于点O, ∴点O是△ABC的重心, ∴BO=2OD,CO=2OE. 又∵点F,G分别是OB,OC的中点,∴OF=FB,OG=GC,∴DF=BD,EG=CE. ∵BD=CE,∴DF=EG. 又∵四边形DEFG是平行四边形, ∴平行四边形DEFG是矩形. ‹#› 【提分要点】 矩形判定方法的选择技巧 (1)若易证得四边形是平行四边形,则再证一角为直角或对角线相等,即可证得其是矩形. (2)三个角是直角的四边形是矩形. (3)有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形. (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ‹#› 【考点二】菱形的性质与判定 一题多问·多题归一 例2 如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O. 问题1　请添加一个条件 _____________________________________________________________(写出一个即可),使四边形ABCD是菱形.  　AB=BC或AB=AD或BC=CD或AD=CD或AC⊥BD(写出一个即可)　 ‹#› 若例2中给出的图形是菱形,回答问题2~问题8: 问题2　若AC=4,则AO=_______,OC=_______.  问题3　若∠ABD=30°,则∠CBD=_______,∠BAD=________,∠BAO=_______.  问题4　若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,则对角线AC的长是_______.  【提分要点】以菱形为背景的常见题目是内角为 60°或 120°角时,利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题. 　2　 　2　 　30°　 　120°　 　60°　 　2　 ‹#› 问题5　若AC=6,BD=8,则菱形ABCD的面积是________,周长是________.  问题6　若tan ∠BAC=,AC=6,则BD的长是_______.  问题7　点E是CD的中点,若AB=8,连接OE,则OE的长是_______.  问题8　过点O作OF⊥BC交BC于点F,若AC=6,BD=8,则OF的长是______.  　24　 　20　 　8　 　4　  　 ‹#› 问题9　(2024·呼伦贝尔中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上, AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF. (1)求证:四边形ABEF是菱形; (2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠AFO=∠EBO, ∵O是BF的中点,∴OB=OF, 在△AOF和△EOB中,, ∴△AOF≌△EOB(ASA),∴OA=OE, ∴四边形ABEF是平行四边形, ∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形; ‹#› (2)∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°, ∵∠BAD=120°,∴∠ABE=60°, ∵AB=BE,∴△ABE是等边三角形, ∴AE=AB,∵AD=BC,AF=BE, ∴EC=DF=1,∵DF∥EC, ∴四边形EFDC是平行四边形, ∴CD=EF,∵AB+BC+CD+AD=22, ∴AB+BE+1+CD+AF+1=22, ∴4AB=20,∴AB=AE=5. ‹#› 【提分要点】 菱形判定方法的选择 (1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直. (2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等. ‹#› 【考点三】正方形的性质与判定 一题多问·多题归一 例3 如图,已知四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD交于点O. ‹#› 问题1　若要使平行四边形ABCD为正方形,则需添加的条件为( ) A.AB=BC B.AC=BD C.AB=BC且AC⊥BD D.AB=BC且∠ABC=90° D ‹#› 问题2　如图,在问题1的条件下,点E是边BC延长线上一点,且CE=BC,连接AE,交BD于点F,交CD于点G. (1)若S△DFG=2,求四边形ABCD的面积; (2)连接CF,若AB=6,求CF的长. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB∥DG.∴△DFG∽△BFA. 又∵CE=BC,∴CG=DG=AB, ∴==. ∵=,∴=, ∵S△DFG=2,∴S△AFB=8,S△ADF=4, ∴S四边形ABCD=2(S△ADF+ S△AFB)=24. ‹#› (2)∵AB=6,∴CG=3, ∴在Rt△CEG中,EG==3. ∴AG=EG=3. 又∵==,∴AF=2. ∵四边形ABCD为正方形, ∴AC⊥BD. ∴CF=AF=2. ‹#› 【变式1】(2024·北京中考)如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AF⊥DE于点F, CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为______.   　 ‹#› 【变式2】(2023·十堰中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP. (1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由; (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形? ‹#› 【解析】(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴OC=OA=AC,OB=OD=BD, ∵以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P, ∴OB=CP,BP=OC, ∴四边形BPCO为平行四边形. ‹#› (2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形. ∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°, ∵AC=BD,OB=BD,OC=AC, ∴OB=OC, ∵四边形BPCO为平行四边形, ∴四边形BPCO为正方形. ‹#› 【提分要点】 正方形判定及性质的应用技巧 (1)判定的两种思路:证明一个四边形是正方形,可以先判定为矩形,再证邻边相等或对角线互相垂直;或先判定为菱形,再证一个角是直角或对角线相等. (2)性质的兼容并蓄:正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具有它们所有的性质. (3)易得全等三角形:正方形被两条对角线分割为四个全等的等腰直角三角形,在正方形中对称画出分割线,很容易得到另外的全等三角形. ‹#› 本课结束 ‹#› $第五单元　四边形 第二十讲　平行四边形(5年6考,2~7分) 知识清单•主干回顾 云南5年真题 高频考点·疑难突破 知识清单•主干回顾 知识要点 1.平行四边形的概念及性质 (1)概念:两组对边分别__________的四边形.  (2)性质 边:对边________________;  角:对角__________;  对角线:对角线______________ 　平行　 　平行且相等　 　相等　 　互相平分　  ‹#› 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( ) A.AC=BD B.OA=OC C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD 对点练习 B ‹#› 2.平行四边形的判定 (1)边:①两组对边分别__________的四边形;  ②两组对边分别__________的四边形;  ③一组对边________________的四边形.  (2)角:两组对角分别__________的四边形.  (3)对角线:对角线______________的四边形.  知识要点 　平行　 　相等　 　平行且相等　 　相等　 　互相平分　 ‹#› 2.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是( ) A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对边分别相等的四边形 C.对角线互相平分的四边形 D.一组对边相等,且另一组对边平行的四边形 对点练习 D ‹#› 3.两条平行线之间的距离 (1)如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都______.  (2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的______,叫做两条平行线之间的距离.  知识要点 相等　 　距离　 ‹#› 3. 如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是( ) A.AB B.AD C.CE D.AC 对点练习 B ‹#› 4.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边__________的线段叫做三角形的中位线.  (2)性质: 三角形的中位线__________于三角形的第三边,且等于第三边的 __________.  知识要点 　中点　 　平行　 　一半　 ‹#› 4. 如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=( ) 　 A.　 B. C.1　 D.2 对点练习 D ‹#› 云南5年真题 (2023·云南中考)如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N.若MN=3米,则AB=( ) A.4米　 B.6米　 C.8米　 D.10米 B ‹#› 高频考点·疑难突破 【考点一】平行四边形的性质与判定 一题多问·多题归一 例1 四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. 点E为BC边上一点. 问题1　若AB∥CD,请添加一个条件_________________________________ _________________________________________________________________ __________(写出一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.  　AD∥BC(或∠ADC+∠BCD=180°或 ∠DAB+∠ABC=180°或∠DAC=∠ACB或∠ADB=∠DBC或AB=CD等,答案 不唯一)　 ‹#› 问题2　若∠ABC=∠ADC,请添加一个条件___________________,使四边形ABCD是平行四边形,判定依据是_______________________________________ _______________.  问题3　若AD=BC,请添加一个条件____________(写出一个即可),使四边形ABCD是平行四边形,判定依据是_______________________________________ _______________.  问题4　若AO=OC,请添加一个条件____________(写出一个即可),使四边形ABCD是平行四边形,判定依据是_____________________________________ _______________.  　∠BAD=∠BCD　 　两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (答案不唯一)　 　AB=CD　 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (答案不唯一)　 　BO=DO　 　对角线互相平分的四边形是平行四边形 (答案不唯一)　 ‹#› 【提分要点】判定一个四边形是否为平行四边形的途径 途径一:从边着眼:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 途径二:从角着眼:④两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 途径三:从对角线着眼:⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. ‹#› 问题5　若四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不一定正确的是( ) A.AB=CD　　　　　　 B.BO=OD C.∠BAD=∠BCD D.AB⊥AC 问题6　若四边形ABCD是平行四边形,且AB=10,AD=6,则OA的取值范围是 _____________.  【提分要点】解决此类问题的关键是根据三角形的三边关系确定对角线的取值范围,然后利用对角线相互平分即可解决. D 　2<OA<8　 ‹#› 问题7　若四边形ABCD是平行四边形,且AB=10,AD=6, AD⊥BD. 求:(1)AC的长;(结果保留根号) (2)△AOD的周长; (3)求▱ABCD的面积. ‹#› 【解析】(1)∵AD⊥BD,AB=10,AD=6, ∴BD==8, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OD=OB=4,OA=OC, ∴AO==2, ∴AC=2AO=4. (2)由(1)得OD=4,OA=2, △AOD的周长=OA+OD+AD=10+2. (3)S▱ABCD=AD·BD=6×8=48. ‹#› 问题8　如图所示,若四边形ABCD为平行四边形,AB=10,若点E为BC的中点,连接OE,则OE=_______.  　5　 ‹#› 问题9　如图所示,若四边形ABCD为平行四边形,AE是∠BAD的平分线, ∠AEB=65°,则∠BCD=_________. 　130°　 ‹#› 问题10　若四边形ABCD为平行四边形,AB=4,AC=6,BD=10,则▱ABCD的面积为 ________.  问题11　如图所示,若EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于点F,交BC于点E, BC=5,CD=4,OE=,则四边形EFDC的周长为________.  　24　 　12　 ‹#› 问题12　如图所示,若BE=DF,连接AE,CF. (1)求证:AE=CF; (2)连接CE,AF,求证:四边形AECF是平行四边形. 【证明】略 【提分要点】证明一个四边形是平行四边形时,如若给出对角线,则只要证它们互相平分即可. ‹#› 问题13　若在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,且AE=CF,BE=DF. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 【证明】略 【提分要点】当利用边来证明平行四边形时,需要证明对边相等或平行,此时往往结合三角形全等来解决. ‹#› 【考点二】三角形的中位线 例2　(2024·兰州中考)如图,小张想估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离,他先在AB外取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18 m,由此估测A,B之间的距离为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.18 m B.24 m C.36 m D.54 m C ‹#› 【变式】(2024·昭通一模)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连接EF,已知BC=12,则EF的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A ‹#› 【提分要点】 三角形的中位线定理的应用 (1)定理为证明平行关系提供了新的工具,为证明一条线段是另一条线段的2倍或一半提供了一个新的途径. (2)遇到一个中点时,要想到构造中位线,利用三角形中位线解决问题. (3)在应用三角形中位线定理解决问题时,应找出符合条件的基本图形. ‹#› 本课结束 ‹#› $