学易金卷：高二数学上学期第三次月考01（上海专用，沪教版2020选择性必修第一册第1章～第4章）

■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 答题卡 请在各题目的容题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在各题日的容题区域内作答，超出黑色师形边框限定区域的容案无效！ 姓名： 四、解答题（共8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(14分) 17.(14分) 准考证号： C 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非迭择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 圈：字体工整、笔迹清张。 3。请按题号顺序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的容案无效：在草稿纸，试题参上答题 无效， 此栏考生禁填 缺考口 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 标记 5。正确填徐■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 6. 8 10. 12. ! 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第1516 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) I3【A]BIC]IDI 14 [A][B][C][D] 15 [A][B][C][D] 16 [A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各题目的客避区域内作答，超出感色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，超出温色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在各愿目的答愿区域内作答，超出幅色苑形边框限定区域的答案无效！ 请在各题】 9.(14分) 20.(18分) 21.(18分) 数学第4页（共6页） 数学第5页（共6页） 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：上海专用 沪教版2020选择性必修第一册第1章~第3章+数列 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量 . 2．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 3．设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 4．若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 5．已知空间中三点，则点A到直线的距离为 ． 6． 在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为 7．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则______（用含的式子表示）. 8．已知等差数列的前项和为，若则 9．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率_____________． 10． 棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 11．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 12．三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（     ）． A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 15．已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 16．在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． （1）证明：； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 18．已知数列的前n项和为，其中． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19．飞船的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点A距地面200千米，远地点B距地面350千米，已知地球半径千米. （1）求飞船飞行的椭圆轨道方程； （2）飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为（a，b分别为椭圆的长半轴与短半轴的长），请问：飞船平均飞行速度每秒多少千米？（结果精确到0.01千米/秒，取3.14，） 20．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 21． 双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； （3）设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.【答案】(V3,-1(答案不唯一) 2.【答案】(-2,4)： 3.【答案】18或2 4.【答案】(0，-1,1 5.【答案】 6.【答案】45， 9 7.【答案】m+1 8.【答案】8； 9.【答案12 10.【答案】2V5 3 11.【答案】 12.【答案】 二、选择题（本题共有4题，满粉18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分每题有且只有一个正 确选项 13 14 15 16 B B C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.【答案】(1)证明见解析：2)V5 ； 【解析】(1)在直三棱柱ABC-AB,C,中，CC,⊥平面ABC,因为ADc平面ABC,所以CC,⊥AD. 又AD⊥DC,CC,nDC=C,CC,DCc平面BCC,B,所以AD⊥平面BCC,B. 又因为l⊥平面BCCB,,所以111AD.【6分】 1/7 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)因为c-4cn=，S.acn·CC,所以当三棱锥C,-ACD体积最大时，S。AcD最大. 3 由(1)可知AD⊥平面BCCB,,因为CDc面BCC,B,,所以AD⊥CD. 又AC=2,所以4=AC2=AD2+DC2≥2AD.CD=4SACD, 当且仅当AD=CD=√2时取等号，即当S。4ACD最大时，AD=CD=√2· B D B 法1：综合法 如图，作CH⊥DC于H,连结AH. 由(1)可知AD⊥平面BCC,B,因为CHc面BCC,B,,所以AD⊥CH. 又DC,OAD=D,AD,DC,C平面ADC,所以CH⊥平面ADC. 因此，AC与平面ADC所成的角等于LCAH, 因为CH⊥平面ADC,AHC平面ADC,所以CH⊥AH. 在RtCDC,中，cD=5,CC,=2,所以DG,=6,因tCH=25_2 65' 2 在RtACH中，sin∠CAH=CH_3V3 AC 2 3 所以AC与平面ADC所成角的正弦值y 3 法2：向量法 在平面BCCB,内，作DE/1CC,DE交B,C于E,因为CC1⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC. 分别以DC,DA,DE为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.则A(0,√2,0)，C(2,0,0),C,(V2,0,2). 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ZA B 设平面ADC的法向量为i=(x,y,z),易得DA=(0,√2,0)，DC,=(√2,0,2)， D元=2y=0,可取元=(N2,0,-)· DC1·i=V2x+2z=0, 因4C=(5,-V2,0,则cos(aC,劢=，2=5 25=3 所以4C与Y面DC所成角的正弦值等于cos(C,网上5.【4分】 3 18.【答案】(1)a,=2n:2)H,=4n+可 n 【解析】(1)因为当n∈N,n≥1时，有Sn=n2+n, 所以当n∈N,n≥2时，有Sn,=(n-1)+n-1, 两式相减，得an=2n, 当n=1时，由Sn=n2+n→a,=2,适合an=2n, 所以an=2n,n∈N, (2)因为an=2n,neN; 网报 所以1= 11-1111_1）-n 因此H。=41-2十25+…+nn+厂4n+ x2 19.【答案】(1) 4169316+4163691:(2)7.59km/5 【解①解：设椭圆的方程为二+方三1由趣设条件得 a-c0A|-|0F曰HFA=6371+200=6571 a+c=OB+|OF,曰F,B=6371+350=6721 解得a=6646,c=75 所以a2=44169316,b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=6721×6571=44163691 3/7 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以椭圆的方程为，文 =1 4416931644163691 (2)解：历时21小时23分，得飞船巡天飞行的时间是21×3600+23×60=76980（秒）， 又b=√44163691≈6645.58 所以总飞行距离为14×L=142π×6645.58+46646-6645.58)≈584302.91， 所以平均速度是584302,91≈7.59（千米/秒) 76980 所以飞船巡天飞行的平均速度是7.59kms. 20.【答案】(1)证明见解析；(2)2V2,(3)2而 11 11 【解析】(1)取CB中点P,连接NP,MP, 由N是BG的中点，故PCC,且NP-号CC 由M是DD的点，放DMDD=CG,且DM/CG, 则有D,MINP、DM=NP, 故四边形D,MPN是平行四边形，故D,NMP, 又MPc平面CB,M,D,N￠平面CB,M, 故D,N∥平面CBM; (2)以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， Z孙 A B A B 有A0,0,0)、B2,0,0)、B,2,0,2、M(0,1,1、C(1,1,0、C1,1,2), 则有CB=(1,-1,2)、CM=（-1,0,1、BB=(0,0,2, 设平面CB,M与平面BBCC的法向量分别为m=(x1,1,1)、万=(x2,2,22), m.CB,=x-y+2z,=0i.CB=x2-y2+222=0 则有 m.CM=-x+2=0’万-B6=22,=0 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 分别取x=x2=1,则有%=3、1=1、2=1,22=0， 即m=(1,3,1、万=(1,1,0)， m…n 1+3 则cosi,i= 2V22 m同1+9+1+=11· 故平面CB,M与平面BBcG的夹角余弦值为22 1 (3)由BB=(0,0,2),平面CBM的法向量为m=1,3,1), BB,·m 2 则有 2V11 m V1+9+111 即点B到平面CB,M的距离为2 11 21. 【答案】D-号-1，a)ww=4,o)PM1PN为定，值LPHRM=-2 【解析】(1)解：设双曲线C的半焦距为C,依题意，二=3，即有c=√5a,则b=VC2-a=2a, 因为点小巨回在议面线C上州后忌=1，可利：=1，则， 因此，双曲线C的方程为x2-二=1. 2 (2)解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=√2，此时，圆心O到直线x=√2的距离为√2，合乎题 意， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为y-V2=kx-V2),即：-y-2k+V2=0, 2-2 由题意可得 Vk2+1 -2,解得k=0,此时，切线方程为=5， 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=√2 [x=V2∫x=V2 联立 --1可 y=5或{=2'即点M2.回. 、或 y=√2 x=√2.[x=-2 联立 r上-1'可 {=5,甲痘N-E. 或 因此，Mw=V2+V2°+(-2-2=4. (3)解：当圆O在点P处切线斜率不存在时，点P(W2,0)或P(-√2,0)，切线方程为x=2或x=-√2， N 由(1)及已知，得PM=PW=V2,则有PMPW=2, 当圆O在点P处切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m，设点M(x,y)、N(x2,y2), 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 有，-g 由三在+m 2x2-y=2消去y得：(2-2)2+2kmx+m2+2=0, k2-2≠0 显然 △=4k2m2-4k2-2(m2+2=8k2+32>0' 2km 由韦达定理可得x+名=一2' m2+2 Γk2-2 OM=(,ON=(x2,y2), OM .ON =+(kx+m)(kx2 +m)=(k2+1+km(+x)+m2 状号加 2+m2-m+2+2-k2m+m-2-)m +m2=0, k2-2 k2-2 k2-2 因此0M⊥0N, 在Rt△OMN中，OP⊥MN于点P,则∠MOP=元-∠OMP=∠ONP, 2 又因为∠OPN=∠MP0,所以，Rt△OPN∽Rt△MP0, 所以， 周-6别则pwp-pf-. PN 综上得PMPW为定值2. 【说明】本题考查了求定值问题，常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 717 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：上海专用 沪教版2020选择性必修第一册第1章~第3章+数列 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量 . 2．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 3．设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 4．若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 5．已知空间中三点，则点A到直线的距离为 ． 6． 在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为 7．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则______（用含的式子表示）. 8．已知等差数列的前项和为，若则 9．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率_____________． 10． 棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 11．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 12．三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（     ）． A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 15．已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 16．在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． （1）证明：； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 18．已知数列的前n项和为，其中． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19．飞船的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点A距地面200千米，远地点B距地面350千米，已知地球半径千米. （1）求飞船飞行的椭圆轨道方程； （2）飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为（a，b分别为椭圆的长半轴与短半轴的长），请问：飞船平均飞行速度每秒多少千米？（结果精确到0.01千米/秒，取3.14，） 20．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 21． 双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； （3）设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：上海专用 沪教版2020选择性必修第一册第1章~第3章+数列 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量 . 【提示】先求出直线的斜率，再根据垂直关系写出法向量即可； 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的一个法向量为，（答案不唯一，只要满足与向量垂直即可）. 故答案为：（答案不唯一） 2．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 【提示】根据二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由圆的一般方程确定圆心和半径； 【答案】； 【解析】试题分析：由题意，知，， 当时，方程为，即，圆心为，半径为5， 当时，方程为，不表示圆． 圆的标准方程. 由方程表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合 3．设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 【提示】根据双曲线的渐近线方程可求得的关系，进而求得的值，由双曲线定义可知 ，又，进而求得答案． 【答案】或 【解析】因为，双曲线的一条渐近线方程是，， 所以，，∴， 所以，，又， 所以，或. 故答案为：或． 4．若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【提示】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得； 【答案】 【解析】向量，，则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 5．已知空间中三点，则点A到直线的距离为 ． 【提示】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解； 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 设点A到直线的距离为，则 . 故答案为：. 6． 在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为 【提示】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求异面直线成角即可。 【答案】； 【解析】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，， ，， 则. 7．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则______（用含的式子表示）. 【提示】根据数列每一项都等于它前两项的和规律，从第1项写出到第2026项，各式左、右两边分别相加，即可得到之间的关系，即可得出. 【答案】 【解析】解:由已知得，，…，， 以上各式左、右两边分别相加， 得， 即， 又，， 所以. 故答案为：m+1 8．已知等差数列的前项和为，若则 【提示】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案； 【答案】； 【解析】由等差数列的性质可得：， 所以， 故答案为：8. 9．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率_____________． 【提示】由伞沿半径及圆心到伞柄底端的距离，得伞柄与地面夹角为，阳光光线与伞柄平行，易得椭圆长半轴，短半轴的长，可求出离心率； 【答案】； 【解析】因为伞沿是半径为2的圆，圆心到伞柄底端的距离为， 设伞柄与地面的夹角为，则，所以， 即阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴，短半轴， 离心率. 故答案为：. 10． 棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 【提示】建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，然后利用距离的向量公式并换元化简得，最后利用二次函数性质求解最值即可； 【答案】； 【解析】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则．于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 函数开口向上，对称轴为，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为. 11．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【分析】，，设，计算，根据均值不等式计算得到，得到离心率范围； 【答案】 【解析】，，设， ， ，故，，， ，故等号不成立，故，，即. 故答案为：. 【说明】本题主要考查求双曲线的离心率或离心率的取值范围； 12．三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ． 【提示】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围； 【答案】 【解析】因为两两垂直，且，所以由勾股定理可知， 所以三棱锥为正三棱锥，记在底面内的投影为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，， 所以， 所以， 设直线与直线的所成角为. 所以 故答案为：. 【说明】本题考查了异面直线所成角的余弦值的向量求法： （1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量； （2）计算出两个方向向量夹角的余弦值； （3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【提示】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误； 【答案】C 【解析】对于A，若，，则平行或异面，故A错误. 对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则与相交或异面，故D错误. 故选：C. 14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（     ）． A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 【提示】十二个节气日影长构成一个等差数列，利用等差数列通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长． 【答案】B 【解析】由题意知： 所以，从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为， 因为，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸， 所以，，解得，， 所以，芒种日影长为（寸）尺5寸． 故选：B 15．已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 【提示】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得. 【答案】B 【解析】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点， 当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 【说明】本题主要综合考查了直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证； 16．在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为 【提示】连接，，取的中点，连接，点到线段的最短距离大于，即可判断；建立空间直角坐标系，点到平面的距离为，即可判断；由平面，连接交于点，与全等，所以，即可判断；平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，可求截面面积. 【答案】C； 【解析】 连接，，所以，，取的中点，连接， 所以，点到线段的最短距离大于，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确； 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确； 因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，， 所以为直线与平面所成角， 因为，在中，， 所以，因为与全等，所以，故正确； 延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点， 连接，，，，，， 平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为， 所以截面面积为，故不正确. 故选：. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． （1）证明：； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 【提示】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可证得； （2）法1：由三棱锥的体积最大推理得到最大，利用基本不等式得，作于，可推得平面，得到AC与平面所成的角等于，解三角形即得；法2：依题建系，分别求得和平面的法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）在直三棱柱中，平面ABC，因为平面ABC，所以． 又平面，所以平面． 又因为平面，所以．【6分】 （2）因为，所以当三棱锥体积最大时，最大． 由（1）可知平面，因为面，所以． 又，所以， 当且仅当时取等号，即当最大时，． 法1：综合法 如图，作于，连结AH. 由（1）可知平面，因为面，所以． 又平面，所以平面． 因此，AC与平面所成的角等于． 因为平面平面，所以． 在Rt中，，所以，因此， 在Rt中，． 所以AC与平面所成角的正弦值． 法2：向量法 在平面内，作交于，因为平面ABC，所以平面ABC． 分别以DC，DA，DE为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图.则． 设平面的法向量为，易得， 可取． 因，则， 所以AC与平面所成角的正弦值等于．【14分】 18．已知数列的前n项和为，其中． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【提示】（1）利用之间的关系进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为当时，有， 所以当时，有， 两式相减，得， 当时，由，适合， 所以，； （2）因为，； 所以， 因此. 19．飞船的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点A距地面200千米，远地点B距地面350千米，已知地球半径千米. （1）求飞船飞行的椭圆轨道方程； （2）飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为（a，b分别为椭圆的长半轴与短半轴的长），请问：飞船平均飞行速度每秒多少千米？（结果精确到0.01千米/秒，取3.14，） 【提示】（1）先设出椭圆的标准方程，根据椭圆的定义可求得和的值，进而求得和，进而根据求得，椭圆的方程可得． （2）将时间转化为以秒为单位，根据椭圆周长公式求出总路程，即可求出平均速度． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）解：设椭圆的方程为由题设条件得： 解得， 所以， 所以椭圆的方程为 （2）解：历时21小时23分，得飞船巡天飞行的时间是（秒， 又 所以总飞行距离为， 所以平均速度是（千米秒） 所以飞船巡天飞行的平均速度是． 20．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【提示】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 21． 双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； （3）设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【提示】（1）由离心率为，可得，再由点在双曲线上可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）求出两条切线的方程，进而求出两切线与双曲线的交点坐标，结合两点间的距离公式可求得； （3）线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、三角形相似可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答. 【答案】（1）；（2）；（3）为定值，且 【解析】（1）解：设双曲线的半焦距为，依题意，，即有，则， 因为点在双曲线上，则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线方程为， 联立，可得或，即点， 联立，可得或，即点， 因此，. （3）解：当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或， 由（1）及已知，得，则有， 当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为，设点、， 则有，即， 由消去得：， 显然， 由韦达定理可得，， 而，， 则 ， 因此， 在中，于点，则， 又因为，所以，， 所以，，则， 综上得为定值. 【说明】本题考查了求定值问题，常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $