学易金卷：高二数学上学期第三次月考卷（沪教版，沪教版2020选择性必修第一册第1章～第3章）

学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.【省1资 2.【答案】x+2y+7=0 3.【答案】y2=8x 4【答案】司 5.【答案】3√3π 6.【答案】号 7.【答案】3 8【答案】30 9、【答茶 10. 【答案】22 11.【答案】6√2-2 12.【答案】4-7 二、选择题（本题共有4题，满粉18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项 13 14 15 16 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.【答案1(1)25,2)-上1 128 【解析】(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h,MF·MF,0, 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则MF1lMF2,设MF=m,MF=n, 由双曲线定义，知m一n=2a=8,① 又m2+n2=(2c)2=80,② 由①②得mn=8, 所以，mn=42FFh, 所29【6分】 (2)设所求双曲线C的方程为，广，=（一4<10， 16-λ4+1 由于双曲线C过点(3√2,2)， 所以18,4,1， 16-元4+元 解得=4或1=-14（舍去）， 所以，所求双曲线C的方程为上1【14分】 128 18. 【答案】(1)证明见解析；(2)V30 30 【解析】1)取PD的中点为S,接SF,SC,则SF1ED,SF=ED=1, 而ED/BC,ED=2BC,故SF1∥BC,SF=BC,故四边形SFBC为平行四边形， 故BFIISC,而BF丈平面PCD,SCc平面PCD, 所以BF∥平面PCD.【6分】 (2) 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ZA D 因为ED=2,故AE=1,故AElIBC,AE=BC, 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB,所以CE⊥平面PAD, 而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED, 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则A0,-1,0,B(1,-1,0,C1,0,0),D0,2,0),P(0,0,2, 则PA=(0,-1,-2),PB=(1,-1,-2,PC=(1,0,-2),PD=(0,2,-2, 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z, m·PA=0 则由 x-y-22=0'取m=(0,-2,1), 可得 -y-2z=0 mPB=0 设平面PCD的法向量为i=(a,b,c, iPC=0 [a-2b=0 则由 可得 PD=0 2b-2c=0'取万=(2,11)， -1 故cosm,i= √30 V5x6=- 30 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为V30【14分】 30 19.【答案】(1)MN段： x2 y2 =1(x>0,0<y≤6)；NP段，x2+y2=64(-8≤y≤0)； 64336 (2)Q的坐标为 2T7,6,此时Q到C的第腐最小 【解析】(1)依题意，点A(-20,0),B(20,0),点M的纵坐标为6， 线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km, 则线路MN所在的曲线是以定点A,B为左右焦点，实轴长为16的双曲线的右上支， 其方程为-亡=10x>0,0<y≤6)， 64336 显然点P(-8,0),N(8,O),又线路NP段上的任意一点到O的距离都相等， 3/7 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则线路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的下半圆（含端点），其方程为x2+y2=64(-8≤y≤0)， 所以道路M-N-P的曲线方程为，MN段：二-二 =1(x>0,0<y≤6)；NP段，x2+y2=64(-8≤y≤0). 64336 【7分】 a设1，面c则c+ 当点0在线路P段上时，-8≤%≤0，+=64，则c081-25,之, 4 2 当且仅当y。=0时取等号， 当0在线路MN段上，0<%≤6，三反=1，有=64+ 64336 21%, 此时，ICQ= V斤%-25，+88, 25 252+89之7，当且仪当=6时取等号 2(0y-2 4=V2 显然 B6<S,当%=6时，馬-2i7, 28 2 所以Q的坐标为：217,6 此时Q到C的距离最小.【14分】 20. 【答案】4)证明见解析；2)2y2三，③)2四 11 11 【解析】(1)取CB中点P,连接NP,MP, 由N是BC的中点，故P1CC,且PCG, 由w是Dn,的中点，故DM=DD=CG,且DM/CC, 则有DMIINP、DM=NP, 故四边形D,MPN是平行四边形，故D,NMP, 又MPc平面CB,M,D,N￠平面CB,M, 故D,N∥平面CBM;【6分】 (2)以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 Z D V! B A B 有A(0,0,0)、B2,0,0)、B(2,0,2、M(0,11、C(1,1,0)、C1,12, 则有CB=(1,-1,2、CM=(-1,0,1、BB,=(0,0,2), 设平面CB,M与平面BBCC的法向量分别为m=(x,,)、万=(x2,》2,2), m-CB=x-y+22,=0∫元：CB=x2-为+222=0 则有 m.CM=-x+3=0’1万-B6=242=0 分别取x1=x2=1,则有y=3、31=1、3=1,2=0, 即m=(1,3,1、元=(1,1,0)， m·i 1+3 则cosm,n= 222 m-园1+9+11+111厂， 故平面CB,M与Y面BBCC的夹角余弦值为22，【12分】 11 (3)由BB=(0,0,2),平面CBM的法向量为m=1,3,1), 则有职网22而 V1+9+111 甲点8到半面C8M的商为32.【s分】 21.【答案】①手+y-1:a)[-45,4同，3)不存在点0，使得Om顶，理划解新 【解析】(1)由题意，得c=√3，a=2,所以b=√a2-c2=1, 则椭侧的标准方程为矿+少=，【4分】 (2)设动点T(x,y),FE=23,0,PT=(x,y-t), PT.(TF-TE,=-PT.FF=-2V3x, 5/7 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 也，x∈[-2,2]，所以P7(丽-正)的取值范围为-45,45；【10分】 (3)显然直线的斜率存在，故可设直线l:y=x+t,B(,y)、C(x), y=kx+t 联立x +y=1'消去y1+4)r2+8r+4-4=0, 4 △=-16t2+64k2+16>0,即2≥-10， 4 8k1 则x1+x2= 412-4 1中4状，=1+4状， 则5+五=-，4，上+2_k(+)+21-42+ 1+4k2, 2 2 1+4+1=, 1+4k2 4kt t 则xM=- 1+4k21+4k2? 故kom=一4k' 1 若0M11P0,则有ke=ow=- 4K 设直线PQ为y=-↓ 1 y 联立 4+y2=1 要使得有在点0，则A答-+)4产-4小20， 整理得16+4 -16≥0， 故k2≤1②， 412-4 0@式得，1<k≤，1 4 42-4 则片子解< 所以当t≥√2时，不存在点Q,使得0M/1P0.【18分】 6/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 个 B M F T 7/7 ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第1章~第3章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 2．若直线的一个法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 . 3．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 4．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是 5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 6．已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为 ． 7．已知空间向量，，共面，则实数 8. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为 9. 在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是 10. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 11．某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 12．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．直线倾斜角的取值范围为（     ） A． B． C． D． 14．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 15．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线； 对于曲线有如下命题： ：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； ：存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（     ） A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 16. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（     ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2. （1）若点M在双曲线上，且=0，求M点到x轴的距离； （2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 18． 已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． （1）若F是PE中点，证明：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 19．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段所在直线为x轴建立平面直角坐标系. （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？ 20． 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 21．已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上有一动点，求的取值范围； （3）设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第1章~第3章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 2．若直线的一个法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 . 3．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 4．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是 5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 6．已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为 ． 7．已知空间向量，，共面，则实数 8. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为 9. 在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是 10. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 11．某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 12．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．直线倾斜角的取值范围为（     ） A． B． C． D． 14．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 15．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线； 对于曲线有如下命题： ：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； ：存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（     ） A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 16. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（     ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2. （1）若点M在双曲线上，且=0，求M点到x轴的距离； （2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 18． 已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． （1）若F是PE中点，证明：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 19．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段所在直线为x轴建立平面直角坐标系. （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？ 20． 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 21．已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上有一动点，求的取值范围； （3）设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册第1章~第3章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 【提示】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小； 【答案】 【解析】由直线经过点，可得，解之得， 设直线倾斜角为，则， 又，则 则直线倾斜角的大小为 故答案为： 2．若直线的一个法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 . 【提示】利用直线的点法式方程可得直线的一般方程； 【答案】 【解析】由已知条件可知，直线的点法式方程为， 故直线的一般方程为. 故答案为：. 3．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【提示】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求； 【答案】 【解析】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 4．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是 【提示】根据题意可得，进而即得. 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由题意可得， 所以，即， 因此地球运行轨道所在椭圆的离心率是． 5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 【提示】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积； 【答案】 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 6．已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为 ． 【提示】为在上的投影向量，得到，计算得到答案. 【答案】 【解析】为在上的投影向量，故，， 故. 故答案为：. 7．已知空间向量，，共面，则实数 【提示】根据空间向量共面得到，得到方程，求出； 【答案】3 【解析】设，即， 故，解得. 故答案为：3 8. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为 【提示】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果； 【答案】 【解析】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 9. 在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是 【提示】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出，，，的坐标，然后可得和的坐标，然后可算出答案. 【答案】； 【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则，，，， 则，． 设异面直线与所成的角为，则，所以， 故选：C 10. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 【提示】根据点面距公式代入计算即可得； 【答案】 【解析】由点面距公式得. 故答案为：. 11．某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 【提示】建立平面直角坐标系，利用直线的方程求得设备的长的表达式，再利用均值定理求得的最小值，进而得到该设备能水平通过直角型过道时不超过的值. 【答案】 【解析】分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系如图， 则，令， 则直线的方程为， 则在直线的上方，且到直线的距离为1， 即， 则， 整理得， 设，则， 则可化为， 令，则，则 , 由，得， 又在上单调递增， 则， 则（当且仅当时等号成立） 则该设备能水平通过直角型过道的长不超过米 故答案为： 12．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 . 【提示】根据类比性质，可知动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球，从而的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径，再对距离与半径进行计算即可； 【答案】 【解析】如图，由题知动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球， 的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径. .， . 故答案为：. 【说明】解读本题的关键是：根据平面性质类比到空间，可知动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．直线倾斜角的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【提示】根据直线倾斜角的定义进行判断即可. 【答案】C 【解析】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是， 因此直线倾斜角的取值范围为， 故选：C 14．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【提示】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【答案】A； 【解析】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 15．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线； 对于曲线有如下命题： ：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； ：存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（     ） A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 【提示】根据方程确定研究曲线的性质，判断命题的真假； 【答案】A 【解析】记， 易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称， 从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹， 由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同）， 由得， 时，或， 所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线， 当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线， （实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可） 命题均正确， 故选：A． 16. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（     ） A． B． C． D． 【提示】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【答案】C 【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2. （1）若点M在双曲线上，且=0，求M点到x轴的距离； （2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 【提示】（1）由=0，得MF1⊥MF2，|MF1|=m，|MF2|=n，由勾股定理结合双曲线的定义求得，设M点到x轴的距离为h，由三角形面积法求出； （2）设所求双曲线C的方程为=1(4<λ<16)，代入已知点的坐标，求解即可，注意的范围． 【答案】（1）；（2）=1. 【解析】（1）如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，=0，    则MF1⊥MF2，设|MF1|=m，|MF2|=n， 由双曲线定义，知mn=2a=8，① 又m2+n2=(2c)2=80，② 由①②得m·n=8， 所以，mn=4=|F1F2|·h， 所以，h=.【6分】 （2）设所求双曲线C的方程为=1(4<λ<16)， 由于双曲线C过点(3，2)， 所以=1， 解得λ=4或λ=14(舍去)， 所以，所求双曲线C的方程为=1【14分】 【说明】本题考查双曲线的定义，考查求共焦点的双曲线方程．在涉及到双曲线上的点到两焦点距离时常 常结合双曲线的定义求解，与双曲线共焦点的双曲线方程可设为（）． 18． 已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． （1）若F是PE中点，证明：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【提示】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面.【6分】 （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为【14分】 19．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段所在直线为x轴建立平面直角坐标系. （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？ 【提示】（1）根据给定条件，利用双曲线定义、圆的定义直接求解作答. （2）设出点Q的坐标，利用两点间的距离公式结合（1）中轨迹方程，分段求解最小值即可作答. 【答案】（1）段：；段，； （2）Q的坐标为，此时Q到C的距离最小. 【解析】（1）依题意，点，点M的纵坐标为6， 线路段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点A，B为左右焦点，实轴长为16的双曲线的右上支， 其方程为， 显然点，又线路段上的任意一点到O的距离都相等， 则线路所在的曲线为以O为圆心，为半径的下半圆（含端点），其方程为， 所以道路的曲线方程为，段：；段，.【7分】 （2）设，而，则， 当点Q在线路NP段上时，，，则， 当且仅当时取等号， 当Q在线路段上，，，有， 此时，，当且仅当时取等号， 显然，当时，， 所以Q的坐标为，此时Q到C的距离最小. 【14分】 【说明】本题综合考查了求二次函数的值域或最值、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、求双曲线的轨迹方程 20． 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【提示】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面；【6分】 （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为；【12分】 （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为.【18分】 21．已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上有一动点，求的取值范围； （3）设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 【提示】（1）由题意计算即可得； （2）由设出点坐标，表示出，结合与点坐标范围计算即可得. （3）设出直线方程后联立得一元二次方程，由直线与椭圆交于不同的两点可得该方程，并由方程中的韦达定理表示出直线斜率，假设存在该点，则有，借此设出直线方程，则该直线与椭圆必有焦点，即联立后有，结合前面所得可计算出的范围. 【答案】（1）；（2）；（3）不存在点，使得//，理由见解析 【解析】（1）由题意，得，，所以， 则椭圆的标准方程为；【4分】 （2）设动点，，， ， 也，，所以的取值范围为；【10分】 （3）显然直线的斜率存在，故可设直线，、， 联立， 消去得， ，即①， 则，， 则，， 则， 故， 若，则有， 设直线为， 联立，消去有， 要使得存在点，则， 整理得， 故②， 由①②式得，， 则，解得， 所以当时，不存在点，使得.【18分】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 答题卡 请在各题目的容题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在各题目的容题区域内作答，相出黑色师形边框限定区域的答案无效！ 姓名： 四、解答题（共8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(14分) 17.(14分) 准考证号： 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非迭择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 圈：字体工整、笔迹清张。 3。请按题号顺序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的容案无效：在草稿纸，试题参上答题 无效， 此栏考生禁填 缺考口 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 标记 5。正确填徐■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 6. 8 10. 12. ! 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第1516 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) I3【A]BIC]IDI 14 [A][B][C][D] 15 [A][B][C][D] 16 [A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各题目的客避区域内作答，超出感色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，超出温色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在各愿目的答愿区域内作答，超出幅色苑形边框限定区域的答案无效！ 请在各题】 9.(14分) 20.(18分) 21.(18分) 数学第4页（共6页） 数学第5页（共6页） 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $