4.3.1 等比数列的概念（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 (第2课时) ·选择性必修第二册· 1 2 学习目标 通过探究等比数列的性质的过程，让学生掌握等比数列的性质并可以熟练应用，培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养； 通过利用等比数列解决实际生活中的问题的过程，培养学生的数学抽象、数学建模和数学运算核心素养. 情景导入 01 4.3.1 等比数列的概念 (第2课时) 情景引入， 导入新课 小明现在手里有10万，想存入银行，银行有如右图所示两种理财计划， 如果你是小明，如会选择哪一种？为什么？ 这就需要用到 等比数列的知识 应用新知 02 4.3.1 等比数列的概念 (第2课时) 应用新知 分析 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息. 本金 第1个月后的本利和 第2个月后的本利和 第3个月后的本利和 ... 第11个月后的本利和 第12个月后的本利和 ... 例 4 应用新知 解 析 应用新知 解 析 例 4 应用新知 分析 根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明． 例 5 应用新知 解 析 应用新知 结论 证 明 等差等比的转换关系 应用新知 填 空 思考 依然成立，请同学们课后证明 应用新知 等比数列的角标和性质 应用新知 分析 思考：例6实际上是判断什么?请用数学式子予以表达. 例 6 应用新知 解 析 应用新知 解 析 分析 应用新知 解 析 重要题型 03 4.3.1 等比数列的概念 (第2课时) 重要题型专练 题型一 利用等比数列的性质计算 解 析 例题 重要题型专练 题型一 利用等比数列的性质计算 例题 解 析 重要题型专练 题型一 利用等比数列的性质计算 例题 解 析 重要题型专练 方法总结 等比数列的性质 重要题型专练 方法总结 等比数列的性质 重要题型专练 题型二 巧设元求解等比数列 例题 解 析 重要题型专练 题型二 巧设元求解等比数列 例题 解 析 重要题型专练 方法总结 几个数成等比数列的设法 重要题型专练 题型三 等比数列的单调性与最值问题 例题 解 析 重要题型专练 题型三 等比数列的单调性与最值问题 例题 解 析 重要题型专练 方法总结 重要题型专练 方法总结 重要题型专练 题型四 等比数列知识解决实际问题 例题 重要题型专练 题型四 等比数列知识解决实际问题 解 析 真题感知 04 4.3.1 等比数列的概念 (第2课时) 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 05 4.3.1 等比数列的概念 (第2课时) 课堂笔记 课堂笔记 小结及课后作业 06 4.3.1 等比数列的概念 (第2课时) 课堂小结 等比 数列 的性 质与 应用 等比与等差数列的关系 等比数列角标和性质 等比数列的性质的应用 等比数列 的单调性 等比数列的应用——数学建模 作业布置 巩固作业：教科书第34页练习第1、2、3、4、5题 课后练习答案 07 4.3.1 等比数列的概念 (第2课时) 课后作业答案 教科书第34页练习第1题 课后作业答案 教科书第34页练习第1题 课后作业答案 教科书第34页练习第2题 课后作业答案 教科书第34页练习第2题 课后作业答案 教科书第34页练习第3题 课后作业答案 教科书第34页练习第4题 课后作业答案 教科书第34页练习第5题 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 用10000元购买某个理财产品一年． (1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)? 若原始本金为元，每期的利率为，则第二期本利和为：； 第三个期本利和为：，…． 易知数列，，，…是等比数列. (1)设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列， 首项，公比， 所以 所以，12个月后的利息为(元)． 用10000元购买某个理财产品一年． (2) 若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季 结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)? (2)设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列， 则也是一个等比数列，首项，公比为， 于是． 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元． 解不等式，得 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 已知且， (1) 如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； (2) 如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. (1) 设等差数列是的首项为， 公差为，则 所以，， 即是以为首项， 为公比的等比数列. (2)数列是各项均为正的等比数列， 设其首项为，公比为， 则， 所以，数列是以为首项， 以为公差的等差数列. 若数列是各项均为正的等比数列，令，则数列为_______数列， 当，令，由等差数列性质有______________________； 即________________________________________________________________， 所以：____________________________. 上述结论如果去掉条件中的“各项均为正数”,是否仍然成立? 在等比数列中，当，时，成立, 特别地，当时，. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1 月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和 产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格 率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控 制在100个以内? 设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，， 则各月不合格品的数量构成数列． 本题实际上是判断当时，是否成立? 教师引导学生认真阅读题目，解释的原因 设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，． 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 由题意，知， ，其中， 由题意可知，数列是等比数列，是等差数列． 由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再 寻求问题的解决方法． 由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1)． 表4.3-1 n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减， 所以只要设法证明当时，递减，且即可． 所以，当时，递减．又， 所以，当时，． 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 由，得． (1)已知 为等比数列．等比数列 满足 ，求 ； (1)在等比数列 中， ， ，. (2)已知 为等比数列．若 ， ，求 ； (2)由等比中项， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ， . 已知 为等比数列，若 ， ， 求 的值． (3)由等比数列的性质， ， . 1.若数列，是项数相同的等比数列，则也是等比数列. 特别地，若是等比数列，是不等于0的常数，则也是等比数列. 2.在等比数列中，若，则. 3.等比数列是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等， 且等于首末两项的积. 4.在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数 列仍为等比数列，公比为. 5.在等比数列中，当成等差数列时， 成等比数列. 6.已知且，①如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并 且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12， 求这四个数． 解法1：设这四个数依次为，a，，， 由条件得解得或 所以当，时，所求的四个数分别为0，4，8，16； 当，时，所求的四个数分别为15，9，3，1． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并 且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12， 求这四个数． 解法2：设这四个数依次为，，a，， 由条件得解得或 当，时，所求的四个数分别为0，4，8，16； 当，时，所求的四个数分别为15，9，3，1． 1.三个数成等比数列设为. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： 2.四个符号相同的数成等比数列可设为： 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： 3.四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为： (1)设数列的公比为,则“且”是“是递减数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由等比数列的通项公式可得，， 当且时，则，且单调递减， 则是递减数列，故充分性满足； 当是递减数列，可得或，故必要性不满足； 所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.故选：A (2)设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 设,则， 当，2时，；当时，，即， 又，，，，， 故，，当时，，， 综上，当或时，取得最大值． 等比数列的单调性与判断单调性的方法． 1. 等比数列的单调性如下表： 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 摆动数列 等比数列的单调性与判断单调性的方法． 2. 结合数列单调性定义，从第2项起，观察每一项与它的前一项的大 小关系，作差或作商（作商需满足()）判断. 若满足，则是递增数列；若满足，则是递减数列； 若满足，则是常数列. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高． (1)求第n个月消毒剂的产量； (2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内? （1）设今年第n个月生产了升消毒剂，则， ，. （2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为升， 由题意，，. 则，由，得到，故当时，， 而，，故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升. 1．（25-26高三上·黑龙江·期中）等比数列满足，则 .故答案为：9 2．（24-25高二下·云南昭通·期末）在等比数列中，若，则（     ） A．3 B． C．2 D． . 故选：C 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考） 在等比数列中，是方程的两根，则等于（     ） A． B． C．或 D． 是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖北武汉·月考） 已知等比数列满足，则 . 设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习） 对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 因为为正项等比数列，设其公比为，若，则，所以，则或（舍去），所以为单调递增数列，即由可以推出为单调递增数列；若为单调递增数列，则，所以是为单调递增数列的充分必要条件.故选：C. 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末） 数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 因为，所以数列是递减数列，，，所以 所以时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 1．“下标和”性质： 在等比数列中，若，则 ； 特别地，时， ； 当时， （2） 若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 3．若是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么与也都是等比数列，公比分别为 和 ． 4．“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为______； （2）若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为______，公比为______； （3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 ____________ 已知且， ①如果数列是等差数列,那么数列是等比数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列,那么数列是等差数列. 在等比数列中，当，时， 成立,特别地，当时，. 等比数列的单调性如下表： 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 摆动数列 1．求满足下列条件的数： （1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列； （2）在160与-5中间插入4个数，使这6个数成等比数列． 解：（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列， 设等比数列的公比为， 则，解得， 所以在9与243中间插入2个数为27、81． 1．求满足下列条件的数： （1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列； （2）在160与-5中间插入4个数，使这6个数成等比数列． 解：（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列， 设等比数列的公比为， 则，解得． 所以在160与-5中间插入4个数为-80、40、-20、10. 2． 设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列． 若是，证明结论；若不是，请说明理由． （1）数列，其中； (2)数列，其中． 解：（1）由，则， 所以数列为等比数列． 2． 设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列． 若是，证明结论；若不是，请说明理由． （1）数列，其中； (2)数列，其中． 解：（2）由，则． 所以数列为等比数列． 3. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆． 如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么 2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）? 解：根据题意，从2017年开始，每一年新能源 汽车的产量构成等比数列，设为， 则，公比， 所以， 则2025年全年约生产新能源汽车为 （辆）， 故2025年全年约生产新能源汽车128145辆． 4． 某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为 “优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均 增长率应达到多少（精确到0.01)? 解：设平均增长率为，依题意可得，，则， 所以，故平均增长率约为． 5．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的的值． 解：， 令，得，即，， 所以当时， ，数列单调递增； 当时， ，数列单调递减． 所以时，取得最大值，最大值为． $