专题03 旋转（3大考点）（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版

专题03 旋转 3大高频考点概览 考点01 中心对称图形 考点02 根据旋转的性质求解 考点03 几何图形的旋转综合问题 地 城 考点01 中心对称图形 1．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)下列标点符号中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形的定义，理解中心对称图形的定义是解题关键． 若把一个图形绕中心点旋转180°，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形，即可判断． 【详解】 A．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意； B．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意； C．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，能和原图形重合，符合题意； D．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意． 故选C． 2．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)下列字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 故选：A． 3．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．(24-25九上·江西南昌·期末)习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别，掌握其定义，数形结合，找到对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：在平面内，如果一个图形绕着某个点旋转后，旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形被称为中心对称图形，这个点被称为对称中心；由此即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，没有对称中心，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 5．(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学·期末)下列四个图形标志中，是中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合， ∴不是中心对称图形． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合， ∴是中心对称图形． 故选：C． 6．(24-25九上·江西南昌南昌县·期末)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：A：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B：既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； C：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 7．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 8．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 9．(24-25九上·江西赣州龙南·期末)剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A．B．  C．  D．   【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 10．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 11．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 12．(24-25九上·江西赣州经开区期末考试·期末)真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形计算中心对称图形，即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：C． 13．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意．其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美．以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、是中心对称图形，符合题意，选项正确； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：C． 地 城 考点02 根据旋转的性质求解 1．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)如图，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则下列不是旋转角的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为OD，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故C不符合题意； D．旋转后的对应边为不是，故不可以作为旋转角，故D符合题意； 故选：D． 2．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在AC的延长线上，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解即可． 【详解】解：由旋转可知∶． ∵点D在的延长线上， ∴． ∵， ∴， ∴，即旋转角的度数为． 故选：B． 3．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板的旋转角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，解答的关键是掌握对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角．根据对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角即可解答． 【详解】点与点为对应点， 为旋转角度， 且， 三角板的旋转角度为， 故选：A． 4．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=（    ） A．80° B．85° C．90° D．95° 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=65°，∠C=∠E=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】∵将三角形ABC绕点A旋转65°得到ADE， ∴∠BAD=65°，∠C=∠E=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD=90°-∠C =20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=85°， 故答案选：B． 5．(24-25九上·江西南昌·期末)如图，将绕点逆时针旋转得到、若点恰好落在线段的延长线上，则 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得∴，由三角形内角和定理可得，由即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到、若点恰好落在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 6．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和；由旋转的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形内角和求出，即可求解；掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，旋转角为， ， ， 旋转角的度数为； 故答案为：． 7．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，将一块直角三角尺绕直角顶点按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角 °． 【答案】30 【分析】本题考查了旋转的性质，找到旋转角，然后根据直角三角尺得到的值，计算的值即可得出答案，理解旋转前和旋转后的图形完全相等及找到旋转角是解本题关键． 【详解】解：是绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后所得， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：30． 8．(24-25九上·江西南昌三中教育集团·期末)如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转，旋转角为，得到．设AC中点为E，中点为P，，连接，EP长（长为整数）可能是 ． 【答案】2，3，4 【分析】本题考查了旋转的性质，点与圆的位置关系，含角的直角三角形等知识，由中点为E，，再根据含角的直角三角形得到，由旋转可知，因为中点为P，所以，根据点P的运动路径是在以点C为圆心，以3为半径的圆上，根据点与圆的位置关系可得的最小值和的最大值，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵中点为E，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵中点为P， ∴， ∴点P的运动路径是在以点C为圆心，以3为半径的圆上， 的最小值为， 的最大值为， ∴， 又为整数， ∴长可能是2，3，4 故答案为：2，3，4． 9．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)如图，已知，，将绕点旋转逆时针旋转，旋转角为，当点恰好落在的边上时的长为 ． 【答案】3或或 【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形的性质，熟练掌握图形的旋转及直角三角形的性质是解答本题的关键．先利用直角三角形的性质求出和的长，再求出斜边上的高的长，当点D落在边上时，；当点D落在边上时，可得点D与点H重合，利用勾股定理求得的长；当点D落在边上时，直接利用勾股定理求得的长，由此即得答案． 【详解】解：作斜边上的高， ，， ， ， ， ，， ， ， 当点D落在边上时，如图1，； 当点D落在边上时，如图2，点D与点H重合， ； 当点D落在边上时，如图3， ； 综上所述，的长为3或或． 10．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)如图，将绕点A按逆时针方向旋转到，点B的对应点D恰好落在边上．若垂直平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、旋转的性质、等边三角形的性质和判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先根据旋转的性质可得，，再根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，再根据三角形外角的性质得出，证明为等边三角形，即可解答． 【详解】解：根据旋转可得：，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 11．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转一个角，得到，点恰好在边上． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）90°；（2） 【分析】（1）由旋转的性质求解即可； （2）根据勾股定理求出即可得到结论． 【详解】解：（1）由旋转得到： ∴ ,, ∴ ∴,即 （2）在中， ∴= 【点睛】本题主要考查了旋转的性质及勾股定理，掌握旋转的性质是解答此题的关键． 12．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，证明≌ ，由全等三角形的性质可得出； （2）求出，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 矩形绕点旋转， ， ， ∴ ≌ ， ∴ ； （2）解：∵ ，， ∴ ， ∴， ∵ 矩形绕点旋转， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 13．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质可直接求得答案． （2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴ 根据图形旋转的性质可知． ． （2）解：根据图形旋转的性质可知，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中， ． ∴． 地 城 考点03 几何图形的旋转综合问题 1．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)已知和都是等腰直角三角形， ，、分别是、的中点．    (1)如图1中， 点、分别在、的边上， 连接，则线段与的位置关系是 ，线段 与 的数量关系是 ； (2)将图1中的绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)将图1中的绕点顺时针旋转，使点，，在同一直线上，若，，直接写出此时线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可得，根据三角形的中位线的性质即可得出结论； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在上时，当在上时，根据勾股定理求得，进而在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵、分别是、的中点． ∴， 又∵ ∴ ∴， （2）（1）中的结论仍然成立： 连接 延长交于 和都是等腰直角三角形    、分别是、的中点 ， ， ， ； （3）解：如图所示，连接， 当在上时， 同理可得，， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴ 设 在中，， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴ 如图所示，当在上时， 同理可得 ∴， 在中，， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 综上所述，或 2．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立； （2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 那么，， 故答案为：； （2）判断：，理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得 ， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值，即， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 3．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)课本再现 （1）如图1，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和相交于点，线段与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 （2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是___________； ②的度数为___________． 拓展应用 （3）如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 【答案】（1），理由见解析；（2）①；②；（3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到，进而根据旋转的性质将绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）①证明得到； ②根据得到，再根据三角形外角的性质求出，则可得； （3）先证明是等边三角形，如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则，证明是等边三角形，得到，进一步证明．由勾股定理得． 【详解】解：（1），理由如下， 和都是等边三角形， ， ，即． 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）① 和都是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ， 故答案为：． ② ， ， ， 故答案为：． （3）， 是等边三角形， ， 如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， 是等边三角形， ， 由旋转的性质知， ， ． 在中，由勾股定理得， ． 4．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)综合与探究 问题情境： 在中，，为的中点．将以点为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点，，与的交点为．猜想证明： （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究 （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①，理由见解析；② 【分析】（1）根据，得到，根据旋转性质得，，继而得到，根据等腰三角形的性质得到，，得到得证，根据菱形的判定证明即可． （2）①连接，先证明，再证明即可．②过点D作于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ∴， 根据旋转性质得，， ∴， ∵，为的中点． ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）①解：，理由如下： 连接， ∵，为的中点． ∴，，， ∵以点为中心逆时针方向旋转，点恰好落在边上， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：过点D作于点M， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 5．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有________．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（，）按如图2所示的方式摆放，点在边上． ①求证：； ②如图3，若是的中点，与交于点，与交于点，，，连接，求的长． 【答案】（1）②③（2）①见详解②5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，解题的关键在于发现“一线三等角”的相似． （1）由等腰直角三角形判定出相等的角，利用三角形相似的判定定理即可求解； （2）①由等腰直角三角形判定出相等的角，利用三角形相似的判定定理得出，然后利用对应边成比例即可得出答案； ②假设，同①得，利用对应边成比例求出的值，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）与都是等腰直角三角形， ∴， 又∵, ∴； 又∵, ∴； 无法判断与相似， 故答案为：②③； （2）①证明：与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； ②解：∵是的中点， ∴， 假设，同①得， ∴， 即， 解得，（负值已舍） ∴， 由勾股定理得， 即， 解得，（负值已舍） ∴，， 由勾股定理得． 6．(24-25九上·江西南昌·期末)【课本再现】 （1）如图1，是的中位线，求证：，． 证明：延长至点．使，连接 …… 请你把证明过程补充完整． 【类比迁移】 （2）如图2、是的中位线，是平面内任意一点，将点分别绕着点，旋转得到点和，连接，猜想和的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，，分别是边，的中点，点在内部、将点分别绕着点，旋转得到点和，顺次连接，，，得到四边形，试求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）（或与在同一直线上），．理由见解析；（3）6 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全都是三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理的运用． （1）证明，得，然后证明四边形为平行四边形，即可解决问题； （2）分当点F不在过点B且与平行的直线上和点F在过点B且与平行的直线上两种情况讨论求解即可； （3）连接，由（2）的思路结合平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）证明：延长至点F，使，连接， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （2）猜想：（或与在同一直线上），．理由如下： ①当点F不在过点B且与平行的直线上时， 如图，连接， ∵点F分别绕着点D旋转得到点G， ∴三点共线． ∴． ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②当点F在过点B且与平行的直线上时，如图， 连接并延长交直线于，连接并延长交直线于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴可以看作是点F绕着点D旋转而得到， 又点F分别绕着点D旋转得到点G， ∴与G重合， ∴， 同理，与H重合，， ∴和在同一直线上，， ∴，即， 综上所述，（或与在同一直线上），．； （3）如图，连接， 由（2）可知，，， 又， ∴， ∴四边形的面积． 7．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)感知：如图（1）已知正方形和等腰直角三角形，点E在正方形边上，点F在正方形边的延长线上，，连结．易证（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（），连结．证明：． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结，若，则___________． 【答案】探究：见解析；应用： 【分析】感知：由正方形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，然后证，即可得出结论； 探究：由正方形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； 应用：先求出，再证，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】感知： 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； 探究： 证明：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 应用： 解：由（2）知，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得：． 8．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)综合与实践 已知在中，，，点为的中点，连接，为边上任意一点； (1)如图1，将线段绕着点按顺时针方向旋转得到，连接，则的形状为______，线段和线段的数量关系为______． (2)以为旋转中心，将按顺时针方向旋转到如图2的位置，连接． ①证明：． ②延长与相交于点，连接，求的度数． (3)解决问题 如图3，若，，以为旋转中心，将按顺时针方向旋转到如图3的位置，使点在下方，连接，且点在同一直线上，直接写出的面积． 【答案】(1)等边三角形， (2)①见解析；② (3) 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，证明，是等边三角形，即可得到结论； （2）①证明，即可得到结论； ②在上截取，证明，根据全等三角形的性质证明是等边三角形，即可得到答案； （3）根据前述两问可知，、是等边三角形，在上截取，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据旋转的性质得到 是等边三角形， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：等边三角形，； （2）解：①证明：在中，是斜边中点， ， ， ， 是等边三角形， ， 线段绕着点按顺时针方向旋转得到， ，， ， 在和中， ， ， ； ②在上截取， 由①知， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ； （3）解：根据前述两问可知，、是等边三角形， 由（2）①方法可证， ， ， ， ， 在上截取， ，， ， ， ， 和重合， 垂直平分， ， ， ，， ，， ． 9．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)在中，，，点是斜边上的动点（不与重合），点是直线上的动点（不与重合），连接，将绕点顺时针旋转至，连接． 【特例感知】 如图1，若点为的中点．点在的延长线上，求证： 【拓展延伸】 若点不是中点，点在边上 （1）如图2，三者之间还存在【特例感知】中的等量关系吗？若存在，请证明，若不存在，请说明理由． （2）如图3，作点关于的对称点，连接，已知，，请直接写出的值． 【答案】【特例感知】详见解析【拓展延伸】（1）不存在，详见解析（2） 【分析】[特例感知]证明(SAS)得出； [拓展延伸]（1）过点作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得出，，证明得出，则可得出结论； （2）过点作于点，则，由勾股定理及逆定理的推导，即可得出的长． 【详解】[特例感知] 证明：如图，连接， ，，点为的中点， ，， 由勾股定理得，， 将绕点顺时针旋转至， ，， ， ， ， ； [拓展延伸] （1）解：不存在，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点，则， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， 如上图，过点作交的延长线于， ， ， ． 10．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②8；（2）结论：，详见解析 【分析】（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：8； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03旋转 ☆3大高频考点概览 考点01中心对称图形 考点02根据旋转的性质求解 考点03几何图形的旋转综合问题 目目 考点01 中心对称图形 1.(24-25九上江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学期末)下列标点符号中是中心对称图形的是() D. 2.(24-25九上江西南昌南昌一中联考·期末)下列字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() H S A A B D 3.(24-25九上江西赣州南康区·期末)下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A B c. D 4.(2425九上江西南昌期末)习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由 之路.下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() ><.派 5.(23-24九上江西南昌进贤县文港初级中学期末)下列四个图形标志中，是中心对称图形的是() 市外国 D 6.(24-25九上江西南昌南昌县·期末)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是() 1/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 7.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 8.(24-25九上江西赣州上犹县期末)近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽 车， 以实现更加节能的出行方式.下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是() ..T 9.(24-25九上江西赣州龙南期末)剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史， 剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和 审美情趣，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是() A 10.(24-25九上江西赣州大余县·期末)下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（) A B D 11.(2425九上江西赣州安远县期末)下列数学经典图形中，是中心对称图形的是() 人 D 12.(24-25九上·江西赣州经开区期末考试期末)真实情境下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形的是() 13.(24-25九上·江西赣州于都县期末)云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意.其以流动飘逸的曲线和 回转交错的结构体现了流动之美.以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中 的中心对称图形() 宋云 双分朵云 B. 三合云 四合云 五福云 目目 考点02 根据旋转的性质求解 1.(24-25九上江西赣州瑞金期末)如图，把菱形AB0C绕点0顺时针旋转得到菱形DF0E,则下列不是旋 转角的为() A.∠BOF B.∠AOD C.∠C0E D.∠C0F 2.(24-25九上江西赣州上犹县·期末)如图，在△ABC中，∠A=50°，将△ABC绕点B逆时针旋转， 得到△BDE,点D恰好落在AC的延长线上，则旋转角的度数是() B 3/12 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.90o B.80 C.70 D.60° 3.(24-25九上江西南昌第五中学实验学校期末)如图，一块含30·角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转 到△ABC,当B,C,A在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为() A.150 B.120° C.60° D.30° 4.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE,若∠E =70°且AD⊥BC于点F,则∠BAC=() B D A.80 B.85° C.90° D.95 5.(2425九上江西南昌·期末)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转122°得到△ADE、若点D恰好落在线 段BC的延长线上，则∠BDE=一。· B 6.(24-25九上江西赣州安远县期末)如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转， 得到△ADE,点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为一· B 7.(2425九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，将一块直角三角尺AOB绕直角顶点0 按顺时针方向旋转a(0<a<180)度后得到△C0D,若∠A0D=120°，则旋转角a=。 4/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25九上江西南昌三中教育集团期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将 △ABC绕顶点C逆时针旋转，旋转角为(0°<日<360)，得到△ABC.设AC中点为E,AB中 点为P,AC=3,连接EP,EP长(EP长为整数)可能是 B P B 9.(24-25九上江西南昌心远中学.期末)如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， AC=DE=2W3,将△ADE绕点A旋转逆时针旋转，旋转角为a(0°<a<180°)，当点D恰好落在 △ABC的边上时BD的长为一， 10.(24-25九上江西南昌南昌二十八中教育集团期末)如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到 △ADE,点B的对应点D恰好落在边BC上.若DE垂直平分AC,∠E=30·,求∠BAD的度数. B O 11.(2425九上江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，在△ABC中，AB=1, ∠BAC=45°，AC=3.将△ABC绕点B逆时针旋转一个角，得到△ABC,点A恰好在AC边上. (1)求a的度数； 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求AC的长. A B C A 12.(24-25九上江西赣州安远县期末)如图，矩形ABCD绕B点旋转，使C点落到AD上的E处，AB=AE ,连接AF,AG. E D A G B (1)求证：AF=AG; (2)求∠GAF的度数. 13.(24-25九上江西赣州南康区期末)如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将 △ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ. (1)求∠PCQ的度数： (2)若PA=1,PC=V7,求PB的长. 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 几何图形的旋转综合问题 1.(24-25九上江西南昌南昌二十八中教育集团期末)已知△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，M、N分别是DE、AE的中点. B B EN D 图1 图2 D (I)如图1中，点D、E分别在AC、BC的边上，连接AE,则线段BE与MN的位置关系是-，线段BE与 MN的数量关系是_： (2)将图1中的△DCE绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接AE、BE,则(1)中的结论是否仍然 成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)将图1中的△DCE绕点C顺时针旋转，使点B,E,D在同一直线上，若AC=V10,CD=V2,直接 写出此时线段MN的长. 2.(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校期末)【问题情境】： (1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形 CEFG,连接DG、BE,则DG与BE的数量关系是 【类比探究】： (2)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=6,点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右 侧作矩形CEFG,且CG:CE=2:3,连接DG、BE 判断线段DG与BE有怎样的数量关系：，并说明理由： 【拓展提升】： (3)如图3，在(2)的条件下，连接BG,求号BG+BE的最小值. D 图1 图2 图3 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25九上·江西南昌心远中学期末)课本再现 (1)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE相交于点 P,线段BD与AE有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 (2)如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与(1)中相同. ①线段BD与AE的数量关系是 ②∠DPE的度数为 拓展应用 (3)如图3，四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=6,BD=10,求边 CD的长度. D A A B 图1 图2 图3 4.(24-25九上江西南昌南昌一中联考·期末)综合与探究 问题情境： 在△ABC中，AC=BC,D为AB的中点.将△CDB以点D为中心逆时针方向旋转，点B,C的对应点 分别为点B,C,BC与AC的交点为E.猜想证明： (1)如图1，当BC‖AB时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由： 深入探究 (2)如图2，当点B'恰好落在BC边上时， ①猜想线段AB,BE的数量关系，并说明理由 ②若AC=10,AB=12,请直接写出线段BB的长度. B E D B B 图1 图2 8/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25九上江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学.期末)课本再现 (1)将两个等腰直角三角形(AB=AC,FG=AG)按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在 同一平面内)，则与△ADE相似的三角形有 ·(填序号) ①△ABC;②△BAE;③△CDA: 类比迁移 (2)将两个等腰直角三角形(AB=AC,EF=DF)按如图2所示的方式摆放，点D在边BC上. ①求证：AB·CG=BD·DC: ②如图3，若D是BC的中点，DF与AB交于点G,DE与AC交于点H,CH=8,BG=9,连接GH,求 GH的长。 B 图1 图2 图3 6.(24-25九上江西南昌期末)【课本再现】 (1)如图1，DE是△ABC的中位线，求证：DE‖AC,DE=AC 证明：延长ED至点F.使DF=DE,连接AF 请你把证明过程补充完整. 【类比迁移】 (2)如图2、DE是△ABC的中位线，F是平面内任意一点，将点F分别绕着点D,E旋转180°得到点G和 H,连接GH,猜想GH和AC的关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,D,E分别是边AB,BC的中点，点 F在△ABC内部、将点F分别绕着点D,E旋转180°得到点G和H,顺次连接AG,GB,BH,HA得到 四边形AGBH,试求四边形AGBH的面积. 9/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D F 图1 图2 (备用图) 图3 7.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)感知：如图(1)己知正方形ABCD和等腰直角三角形EBF ,点E在正方形BC边上，点F在正方形AB边的延长线上，∠EBF=90°，连结AE,CF.易证 ∠AEB=∠CFB(不需要证明). 探究：如图(2)将图(1)中△BEF绕着点B逆时针旋转，旋转角为a,(0<《<90°)，连结 AE,CF.证明：∠AEB=∠CFB. 应用：如图(3)，在(2)条件下当A、E、F三点共线时，连结CE,若AE=1,EF=2,则CE= 图(1) 图(2) 图(3) 8.(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)综合与实践 己知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，点D为BC的中点，连接AD,E为AD边上任意一点； B 图1 图2 图3 (1)如图1，将线段DE绕着点D按顺时针方向旋转60°得到DF,连接EF,则△DEF的形状为，线 段AE和线段CF的数量关系为 (2)以D为旋转中心，将△DEF按顺时针方向旋转到如图2的位置，连接AE,CF. ①证明：AE=CF ②延长AE与CF相交于点H,连接DH,求∠DHE的度数. (3)解决问题 如图3，若AB=63,DE=2V3,以D为旋转中心，将△DEF按顺时针方向旋转到如图3的位置，使 点F在BC下方，连接EC,且点F,E,C在同一直线上，直接写出△ACE的面积. 10/12