专题04 圆（8大考点）（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04圆 ☆8大高频考点概览 考点01利用圆心角、圆周角求角 考点02利用圆的性质求线段长 考点03圆与正多边形狗题 考点04求孤长、扇形的面积 考点05圆中的几何证明问题 考点06圆中的无刻度作图问题 考点07证明煤线是圆中的切线 考点08圆中的类比探究问题 目目 考点01 利用圆心角、圆周角求角 1.(24-25九上江西赣州安远县期末)如图，在⊙0中，0A⊥BC,∠A0B=60°，则∠ADC的度数为() B D A.20 B.30 C.45° D.60 2.(24-25九上江西南昌南昌县期末)如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，∠C=55°，则∠P等于 () B A.110° B.70° C.140° D.55° 3.(24-25九上江西赣州南康区期末)如图，AC是⊙O的直径，PAPB是⊙O的切线，A,B为切点.若 ∠P=50·,则∠BAC的度数为() 1/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.30° B.25° C.35 D.20° 4.(24-25九上江西赣州大余县期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若它的一个外角∠DCE=65°， 则∠BOD的度数为() A 0 D B A.105° B.110° C.120° D.130 5.(24-25九上江西南昌南昌二十八中教育集团期末)如图，A,B,C是⊙0上的三个点，若 ∠ACB=35°，则∠0BA的大小是_ 6.(23-24九上江西南昌进贤县文港初级中学期末)如图，OA,0B是⊙0的半径，点C在⊙0上，连接 AC,BC,若∠A0B=120°，则∠ACB=度. 7.(24-25九上江西赣州龙南期末)如图，AD是⊙0的直径，弦BC与弦CD长度相同，己知∠A=60°， 则∠D0C=一 2/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 8.(24-25九上江西南昌心远中学期末)如图，己知⊙0的两弦AB、CD相交于E,且点A为CD的中点，若 ∠0BA=32°，则∠CEA的度数为 目目 考点02 利用圆的性质求线段长 1.(2425九上江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学期末)如图，⊙0的半径为2，弦AB=2W3,E为弧 AB的中点，OE交AB于点F,则OF的长为 A F 子 2.(24-25九上江西赣州上犹县期末)如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m,轮子的吃水深度 CD为2m,则该桨轮船的轮子半径为_m. 水面公 D B 3.(24-25九上江西南昌南昌县期末)如图，⊙0的半径0D⊥弦AB于点C,连接A0并延长交⊙0于点E ,连接EC.若AB=8,OC=3,则EC的长为_， 3/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 4.(24-25九上·江西南昌·期末)如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆ACB的中点，D是⊙0上任意一点， 己知AB=4,若△ADC为等腰三角形，则点D到弦AC的距离为 目目 考点03 圆与正多边形问题 1.(24-25九上江西南昌南昌二十八中教育集团期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙O的半径 为6，则这个正六边形的边心距0M的长为() A.3 B. c.2y5 D.3V3 2.(24-25九上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定 性.如图，将正五边形DABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A,B,C, D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF,则∠BCF的度数为() D D A.30° B.360 C.54o D.60° 3.(24-25九上·江西南昌期末)如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若 4/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADC=36°，则这个正多边形的边数为 B 目目 考点04 求弧长、扇形的面积 1.(24-25九上·江西南昌南昌县期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B,⊙C的半径为3，则图中 阴影部分的面积是() A.π B.2π C.3π D.6元 2.(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校期末)如图△ABC中，∠ACB=90°，AC+BC=8,若记图 中阴影部分的面积为y,AC为x,则下列y关于x的图象中正确的是() y个 8 B 8 D 4 8 3.(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团期末)如图，直角三角板放置在平面直角坐标系上， 5/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BA0=30°，将三角形绕点A(V3,0)顺时针旋转到如图位置，则B点旋转过程弧长为 (结果保留π) 4.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=V3AC,将 Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后，到Rt△AED,点B经过的路径为BE,已知AC=2,则图中阴影 部分的面积_ E D B 5.(2425九上江西赣州大余县期末)如图，矩形ABCD内接于⊙0，分别以AB,BC,CD,AD为直 径向外作半圆.若AB=4,BC=5,求阴影部分的面积是多少. D 9 B 6.(24-25九上江西南昌心远中学·期末)问题探究如图1，AB是⊙0的直径，∠C=15°. 6/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B B 图1 图2 图3 (I)求∠BAD的度数. (2)拓展延伸如图2，若AC=BC,AB与CD的交点记作E,AE=2· ①求⊙0的半径： ②如图3，若DF是⊙O的切线，且点F在BA的延长线上，求图3中阴影部分的周长. 目目 考点05 圆中的几何证明问题 1.(24-25九上江西南昌南昌二十八中教育集团期末)如图，A0=B0,⊙0交AB于C、D两点，半径 OE⊥AB于点F.求证：AC=BD. D B 2.(24-25九上江西南昌期末)如图，⊙0的直径AB⊥弦CD,垂足为E. D (1)求证：∠BOC=2∠BAD; (2)若∠B0C=40°，求弦AD所对圆周角的度数. 3.(24-25九上江西南昌南昌一中联考期末)如图，OA=0B,AB交⊙0于点C,D,0E是半径，且 OE⊥AB于点F. 7/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B & (I)求证：AC=BD; (2)若CD=6,EF=1,求⊙0的半径. 4.(24-25九上江西赣州上犹县期末)如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为弧AD中点，连接BM,CM. M (I)求证：△MBC是等腰三角形： (2)若AB=2,求点M到BC的距离. 目目 考点06 圆中的无刻度作图问题 1.(24-25九上江西南昌南昌二十八中教育集团期末)如图，△ABC中BC为⊙0的直径. B B 图1 图2 (1)请仅用无刻度直尺在图1中作出AB边上高CD, (2)请仅用无刻度直尺在图2中作出BC边上高AE 2.(2425九上江西南昌心远中学期末)如图，△ABC中，∠BAC=50°，AB是⊙0的一条弦，请仅用无 刻度的直尺，分别按照下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）· 8/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·0 0 B B 1 图2 (1)如图1，点C在⊙0上，在图中画一个含有50°角的直角三角形： (2)如图2，点C在⊙0内，在图中画一个含有50°角的直角三角形. 3.(24-25九上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)如图，在一个7×7的正方形网格中，格点A,B, C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹. B B (图1) (图2) (1)在图1中作图：画出直径CP. (2)在图2中作图：在AC上找一点D,使CD=BC 4.(24-25九上江西南昌三中教育集团·期末)⊙0为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条 件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）， P 图1 图2 (1)如图1，∠BAC=∠ABC: (2)如图2，直线1与⊙0相切于点P,且1川BC 5.(24-25九上江西南昌南昌县期末)如图，在⊙0中，请仅用无刻度直尺作出AB,使得AB'=AB·(保 留作图痕迹)· 9/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A ·0 图1 图2 (1)在图1中，已知AB是⊙0的一条弦： (2)在图2中，己知点A在⊙0上，点B在⊙0外. 6.(24-25九上江西赣州瑞金期末)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙0，请仅用无刻 度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹. 图(1) 图(2) (1)在图(1)中作∠BAC的角平分线； (2)连接BD,在图(2)中作∠ABD的角平分线， 7.(24-25九上·江西赣州南康区·期末)在△ABC中，以AB为直径作⊙0，请你根据下列条件仅用无刻度 的直尺画出∠ABC的平分线BP(不写作法，保留作图痕迹)， D B O 图1 图2 (I)如图1，AB=BC,⊙O与AC相交于点D: (2)如图2，点C在⊙0上，点D是AC的中点. 8.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画 图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）· 10/18 专题04 圆 8大高频考点概览 考点01 利用圆心角、圆周角求角 考点02 利用圆的性质求线段长 考点03 圆与正多边形问题 考点04 求弧长、扇形的面积 考点05 圆中的几何证明问题 考点06 圆中的无刻度作图问题 考点07 证明某线是圆中的切线 考点08 圆中的类比探究问题 地 城 考点01 利用圆心角、圆周角求角 1．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”．由垂径定理可得结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 故选：B 2．(24-25九上·江西南昌南昌县·期末)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（　　） A．110° B．70° C．140° D．55° 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】连接OB、OA，如图， ∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P， ∵∠C＝55°， ∴∠AOB＝2∠C＝110°， ∴∠P＝180°﹣110°＝70°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练灵活运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形． 3．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查切线的性质、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质推导出，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)如图，A，B，C是上的三个点，若，则的大小是 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查圆的基本性质及圆周角定理，熟练掌握圆的基本性质及圆周角定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 6．(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学·期末)如图，，是的半径，点在上，连接，，若，则 度． 【答案】60 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案． 【详解】∵∠AOB=120°， ∴∠ACB=120°× =60°， 故答案是：60． 7．(24-25九上·江西赣州龙南·期末)如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则 . 【答案】 【分析】连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数. 【详解】 连接BD交OC与E 是的直径 弦与弦长度相同 故答案为. 8．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值． 【详解】解：连接交于点F，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 故答案为：． 地 城 考点02 利用圆的性质求线段长 1．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，⊙O的半径为2，弦AB=，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则 OF 的长为 ． 【答案】1 【分析】由于E为弧AB的中点，所以OE⊥AB于F，所以AF＝BF＝，再利用勾股定理即可求出OF． 【详解】解：∵E为弧AB的中点， ∴OE⊥AB于F， ∵AB＝2， ∴AF＝BF＝， 在Rt△OAF中，OA＝2， ， 故答案为：1． 2．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为 m． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用；依题意，交于，设半径为 ，则，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：依题意，交于， 设半径为，则，而， ， ，， ， 在中，有 ， 即 ， 解得， 故答案为：5． 3．(24-25九上·江西南昌南昌县·期末)如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，根据三角形的中位线求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∵，过O，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故答案为： 4．(24-25九上·江西南昌·期末)如图，是的直径，点是半圆的中点，是上任意一点，已知，若为等腰三角形，则点到弦的距离为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情形：当时，当时，当，分别求解可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点H．连接． ∵点C是半圆的中点， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在优弧上时，同法可得． 综上所述，当时，点D到的距离为或． 当时，， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：或或． 地 城 考点03 圆与正多边形问题 1．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 2．(24-25九上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得O为的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作的切线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，等边三角形的判定和性质，先由正多边形的性质得，再由圆的性质得，进而得是等边三角形，，再由切线的性质得，最后由可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是正五边形， ∴， ∵点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线，切点为C， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．(24-25九上·江西南昌·期末)如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据题意，连接，由圆周角定理的可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴， ∴， ∴正多边形的边数为，即这个正多边形的边数为， 故答案为： ． 地 城 考点04 求弧长、扇形的面积 1．(24-25九上·江西南昌南昌县·期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B．2π C．3π D．6π 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：∵在▱ABCD中，∠A＝2∠B，∠A+∠B＝180°， ∴∠A＝120°， ∵∠C＝∠A＝120°，⊙C的半径为3， ∴图中阴影部分的面积是：＝3π， 故选C． 2．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)如图中，，若记图中阴影部分的面积为，为，则下列关于的图象中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由勾股定理得到，再由为，得到，进而间接表示出阴影部分的面积，得到，最后根据二次函数图象与性质即可得到答案． 【详解】解：在中，，则， ，为， ， ， ， 抛物线开口向下，且对称轴为，则四个选项中，满足抛物线的是A， 故选：A． 3．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)如图，直角三角板放置在平面直角坐标系上，，将三角形绕点顺时针旋转到如图位置，则B点旋转过程弧长为 ．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是坐标与图形变化-旋转及勾股定理，弧长公式，熟练的掌握坐标与图形旋转及勾股定理内容是解题的关键． 根据直角三角形的性质和勾股定理求出，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 解得：，负值已舍去， ∴， 根据旋转可得， ∴则B点旋转过程弧长为， 故答案为：． 4．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图中，，将绕点逆时针旋转后，到，点经过的路径为，已知，则图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】连接EB，由旋转的性质可得AB=AE=4，∠EAB=45°，则由题意可得阴影部分的面积等于四边形DABE的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积，进而可得阴影部分的面积即为扇形EAB的面积，然后问题可求解． 【详解】解：连接EB，如图所示： ∵，， ∴∠ABC=30°，， 由旋转的性质可得AB=AE=4，∠EAB=45°，， 由阴影部分的面积等于四边形DABE的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积，可得：， ∴； 故答案为． 5．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)如图，矩形内接于，分别以，， ， 为直径向外作半圆． 若，，求阴影部分的面积是多少． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、矩形的基本性质、勾股定理．根据勾股定理可以求出，根据阴影部分的面积以为直径的圆的面积以为直径的圆的面积矩形的面积以为直径的圆的面积计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 在 中，， ， ， 阴影部分的面积以为直径的圆的面积以为直径的圆的面积矩形的面积以为直径的圆的面积， ， 答：阴影部分的面积是 ． 6．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)问题探究如图，是的直径，．    (1)求的度数． (2)拓展延伸如图，若，与的交点记作，． ①求的半径； ②如图，若是的切线，且点在的延长线上，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理得到，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）①连接，先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质得到，，进而得到的度数，设的半径为，则，再根据题意解直角三角形即可求解；②连接，进而根据圆周角定理得到，由①可得的半径为，进而根据弧长的计算公式得到的长，再根据切线的性质得到，再解直角三角形得到和，从而根据“阴影部分的周长为”即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的直径 ． ．    （2）解：①如图，连接． ，是的直径 ，， ． 设的半径为，则． 在中， ，即 解得．    ②如图，连接． ． 由①可得的半径为 的长为． 是的切线 ． 在中， ， ， ， 阴影部分的周长为    地 城 考点05 圆中的几何证明问题 1．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)如图，，交于C、D两点，半径于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 2．(24-25九上·江西南昌·期末)如图，的直径弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，求弦所对圆周角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得：，从而可得，然后根据圆周角定理可得：，从而利用等量代换可得：，即可解答； （2）连接，利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等可得：，最后当点F在上时，再利用圆内接四边形对角互补进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵直径弦， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵直径弦， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点F在上时，如图： ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴． 综上所述，弦所对圆周角的度数为或． 3．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)如图，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的弦， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 为的弦， ∴，， ， 设的半径是r， ， 解得， ∴的半径是5． 4．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 地 城 考点06 圆中的无刻度作图问题 1．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)如图，中为的直径． (1)请仅用无刻度直尺在图1中作出边上高． (2)请仅用无刻度直尺在图2中作出边上高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作三角形的高，直径所对的圆周角是直角，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为，设与交点为D，连接即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角，以及三角形的三条高线交于同一点P，延长，交于点M，连接，设与交点为N，延长交延长线于点P，连接，交延长线于E，则，即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，为所求； （2）解：如图2所示，为所求； 2．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)如图，中，是⊙的一条弦，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）． (1)如图1，点在⊙上，在图中画一个含有角的直角三角形； (2)如图2，点在⊙内，在图中画一个含有角的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-应用与设计，圆周角定理． （1）连接，延长交于E，连接，即为所求； （2）延长交于F，作直径，连接、，即为所求． 【详解】（1）解：如图，是的直径，连接，即为所作． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是含有角的直角三角形； （2）解：如图，延长交于点F，是圆的直径，连接、，即为所作． ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴是含有角的直角三角形． 3．(24-25九上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1中作图：画出直径． (2)在图2中作图：在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，根据圆周角定理得出为直径，取格点、，找出中点，连接并延长交于，即为所求； （2）延长交格点于，连接交于，由垂直平分线的性质可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得点即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴为直径， 取格点、，连接交于，可得点为圆心，连接并延长交于，即为所求． （2）解：延长交格点于，连接交于，由网格可知， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 4．(24-25九上·江西南昌三中教育集团·期末)为的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，； (2)如图2，直线l与相切于点P，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作直径，由于，弧弧，根据垂径定理的推理得垂直平分，所以将分成面积相等的两部分； （2）连结并延长交于E，过点A、E作弦，由于直线l与相切于点P，根据切线的性质得，而，则，根据垂径定理得，所以将分成面积相等的两部分． 【详解】（1）解：如图1，直径为所求 （2）解：如图2，弦为所求 5．(24-25九上·江西南昌南昌县·期末)如图，在中，请仅用无刻度直尺作出，使得．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，已知是的一条弦： (2)在图2中，已知点A在上，点B在外． 【答案】(1)图形见解析； (2)图形见解析． 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用圆中相关定理是解答本题的关键． （1）作直径，，连结，由圆周角定理得，，则，由相等的圆心角所对的弦相等，即得； （2）设与相交于点C，作直径，，连结，并延长，两线相交于点，由（1）可知，因为，所以，因为，所以，因为，所以，又因为，所以，故． 【详解】（1） （2） 6．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)如图，已知是等边三角形，以为直径作，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图（1）中作的角平分线； (2)连接，在图（2）中作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质． （1）设交于点，连接，如图，为的角平分线； （2）连接并延长交于点，连接交于点，作射线，利用三角形的角平分线相交于一点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ； （2）解：如图，射线即为所作． ． 7．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)在中，以为直径作，请你根据下列条件仅用无刻度的直尺画出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，，与相交于点D； (2)如图2，点C在上，点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． （1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）作射线交于点P，连接，利用垂径定理得到，即可得到，进而得到为的平分线． 【详解】（1）解：如图，连接，则平分，理由如下： ∵ 是直径， ∴， 又， ∴是等腰三角形， ∴（三线合一）， ∴即为所求； （2）解：作射线交于点P，连接即可，理由如下： ∵ 是直径， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线． 8．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． (1)如图，内接于，是劣弧的中点，画出的中线； (2)如图，是的直径，是内一点，画出的高． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，垂径定理推论，圆周角定理，三角形中线、高的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图，连接交于点，连接，线段即为所求； （）如图，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图中，是劣弧的中点，则线段即为所求； 理由：∵是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴线段即为所求； （2）解：如图中，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点， 理由：∵是的直径， ∴， ∴，， ∴线段即为所求； 9．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)如图，已知点均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）． (1)如图1，若点D是的中点，作出的平分线； (2)如图2，若，作出的平分线． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题主要考查用直尺作图，三角形的角平分线，中点的概念，掌握三角形的角平分线，中点的概念是解题的关键． （1）连接并延长，交于点E，作射线，则射线即为的平分线； （2）连接交于点M，连接并延长，交于点N，作射线，则射线即为的平分线． 【详解】（1）如图1，连接并延长，交于点E，作射线， 则射线即为所求； （2）如图2，连接交于点M，连接并延长，交于点N，作射线， 则射线即为所求． 10．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，内接于，点P是弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． 　 (1)在图1中，画出中边上的中线； (2)在图2中，画出中边上的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图：连接交与D，连接即可； （2）如图：连接交于点，作射线交于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求． （2）解：如图：线段即为所求． 11．(24-25九上·江西南昌·期末)如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中作的平分线； (2)在图2中作的切线（切点不与重合）． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）如图所示，设与交于点，连接，根据等边对等角，平行线的性质即可求解； （2）如图所示，延长交于点，连接，可证，得到，由切线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，设与交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴即为所求作作图； （2）解：如图所示，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴，且是半径，点是半径外端点， ∴是的切线，即是所求作图形． 12．(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学·期末)在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M、N均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1是以格点O为圆心，为直径的圆，在上找出一点P，使； (2)如图2是以格点O为圆心的圆，在弦上找出一点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题考查作图应用与设计作图，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的是关键是理解题意，正确作出图形． （1）取格点，连接交于点，点即为所求； （2）取格点，，连接交于点，点即为所求；可以证明，推出，再证明． 【详解】（1） 解：如图1，点即为所求； （2） 解：如图2，点即为所求． 地 城 考点07 证明某线是圆中的切线 1．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即，解得或（舍去）， ． 2．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证； （2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论． 【详解】（1）如图， ∵∠AEC=30°， ∴∠ABC=30°， ∵AB=AD， ∴∠D=∠ABC=30°， 根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°， 连接OA， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABC=30°， ∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°， ∴OA⊥AD， ∵点A在⊙O上， ∴直线AD是⊙O的切线； （2）连接OA， ∵∠AEC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵BC⊥AE于M， ∴AE=2AM，∠OMA=90°， 在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2， ∴AE=2AM=4． 3．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆切线的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）连接，利用求证即可求证即得证； （2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：证明：如图，连接 ， 在与中 是切线． 点在上，为半径，且 是的切线 （2）解：是的切线 设半径为，在 中，，由勾股定理得： ， 解得：，则， 设，在 中，，由勾股定理得： 解得： 的长为 4．(24-25九上·江西南昌南昌县·期末)如图，是的直径，点，在半圆上，，，垂足为． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，交于，证明四边形是矩形，得出，即； （2）在中，勾股定理求得，在矩形中，，，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，，，交于， 则． 又， 垂直平分， ． 是直径， ， ． ， ． 四边形是矩形 ，即． 是的切线 （2）解：在中，， 由（）得垂直平分， 又， ， ， ． 在矩形中，，， ． 在中，， ． 5．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．    【答案】（1）见解析   （2）5 【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可； （2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接AD．    ∵点D为弧BC的中点， ∴， ∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r． 过点O作OF⊥AE于F， 则四边形OFED为矩形 ∴OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r，    ∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 6．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键． （1）由等边对等角，角平分线的定义可证，则，进而结论得证； （2）设的半径为r，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴的长为8． 7．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 的长为． 8．(24-25九上·江西南昌三中教育集团·期末)如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)3， 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）如图，作垂足为H，连接，先证明是的平分线， ，然后由切线的判定定理进行证明即可； （2）根据勾股定理和直角三角形的性质可得、，设的半径为r，则，，然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可求得r，然后运用勾股定理求得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，作垂足为H，连接， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的平分线， ∵O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∵是的平分线，， ∴是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵，点D是边的中点， ∴， 设的半径为r，则， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴ 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 9．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线． （2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x． （3）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． （3）在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 10．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，且 (1)求证：为的切线； (2)已知：， ①求的长； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，② 【分析】（1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解； （2）①运用斜边上的中线等于斜边的一半，得，即可作答； ②由勾股定理得，由即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，    ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：① ， ， ， ， ， ②， ， 是等边三角形， ， ． 11．(24-25九上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)如图，是的弦，过点O作，交于P，． (1)求证：是的切线； (2)已知，点Q是上的一点． ①求的度数； ②若，求的长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据三角形的内角和得到，于是得到结论； （2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论； ②根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：①， ，， ， ； ②， ， 弧的度数， 的长的长． 12．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)如图，在中，经过两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，请完成以下问题： ①的度数是______； ②求的面积和图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)与的相切，见解析 (2)①；②， 【分析】（1）等边对等角，得到，，对顶角相等，得到，根据，结合等量代换，得到，即可得出结论； （2）①设，在中，勾股定理求出的值，进而求出，求出的度数，进而求出的度数即可；②作于点，利用三角形的面积公式以及分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：与的相切，理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的相切； （2）①， ， 设， ， ∴， 在中，， ， ， ，， ， ， ∴； ②∵， ， 作于点， ， ， ， ． 地 城 考点08 圆中的类比探究问题 1．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)如图，已知内接于，．点从圆上某一点开始沿圆运动一周，设点运动的路线长为，的面积为，随变化的图象如图所示，其中． (1)当点不与两点重合时，的度数为___________． (2)求出点和点的纵坐标； (3)点在运动的过程中，存在多少个点的位置，使得 ？并请说明理由． 【答案】(1)或 (2)点的纵坐标为，点的纵坐标为 (3)存在个点的位置，使得，理由见解析 【分析】（）如图，由题意可知，当直径时，在点位置时，的面积在上方最大；在点位置时，的面积在下方最大，进而结合函数图象可得半圆的弧长为，即得的半径，连接，利用勾股定理的逆定理得，最后根据圆周角定理即可求解； （）利用等腰直角三角形的性质可得，，进而求出在上方和下方的最大面积即可求解； （）设边上的高为，求出时的值，再根据，值比较即可求解． 【详解】（1）解：如图，当直径时，在点位置时，的面积在上方最大；在点位置时，的面积在下方最大， 由图知，点顺时针运动，当点运动的路线长为，的面积在上方 最大；当点运动的路线长为，的面积在下方最大，且， ∴半圆的弧长为， 设的半径为，则， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， 当点在上方时，； 当点在下方时，； 故答案为：或； （2）解：设直径与的垂足为点， 由（）可得为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为； （3）解：存在个点的位置，使得，理由如下： 设边上的高为，由得，， 解得， 当点在上方时，由（）可知此时存在个点的位置，使得； 当点在下方时，由（）可知此时不存在点的位置，使得； 综上，存在个点的位置，使得． 2．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)请阅读下列材料，并完成相应的任务． 战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 证明：如图①，与相切于点A．当圆心O在弦上时，容易得到，在上任取一点E，连接，则，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数． 如图②，与相切于点A，当圆心O在的内部时，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，则，所以，即． 任务： (1)类比图②添加辅助线的方法，解决如图③的问题，与相切于点A．当圆心O在的外部时，请写出弦切角定理的证明过程． (2)如图②，已知的半径为1，弦切角，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，圆周角定理，弧长公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，则，利用圆的切线定理得出直角，利用角的和差即可得出结论； （2）根据圆周角定理得出的度数，再求出的度数，最后利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，则， ∵为的直径， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题干结论得， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴的长为． 3．(24-25九上·江西南昌南昌县·期末)课本再现 （1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般” 如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补． 知识运用 （3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．    【答案】（1），；（2）见详解；（3）见详解 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是以及四边形内角和为进行作答即可； （2）以图2为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答；或者以图3为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答即可； （3）连接，，根据等边对等角，即，又，得，，，再结合四边形是圆内接四边形，得，，进而知道，又因为是线段的中点，即可求证是的切线． 【详解】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为直径， ∴， 那么， 故答案为：90，180； （2）证明：以图2为例证明， 连接，，如图所示：    ∵弧弧， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在四边形，， 即圆内接四边形的对角互补； 或者以图3为例证明， 连接，，如图所示：    ∵弧弧， ∴，， ∵, ∴， ∴， 在四边形，， 即圆内接四边形的对角互补； （3）证明：连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵是线段的中点， ∴，则， ∵是圆的半径， ∴是圆的切线． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $