专题06 反比例函数（7大考点）（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版

专题06 反比例函数 7大高频考点概览 考点01 反比例函数的性质 考点02 反比例函数的k值的几何意义 考点03 反比例函数与一次函数图象共存问题 考点04 反比例函数中的多解题问题 考点05 反比例函数与一次函数的综合问题 考点06 反比例函数的应用问题 考点07 反比例函数与几何图形的综合问题 地 城 考点01 反比例函数的性质 1．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)已知点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·江西吉安·期末)已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 4．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是 （用“”号连接）． 地 城 考点02 反比例函数的k值的几何意义 1．(24-25九上·江西宜春高安·期末)如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．4 2．(24-25九上·江西赣州石城县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作轴，取中点，点在轴上，连接、，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数上，点B、D在函数上，点C在y轴上，则四边形的面积为（　　） A．13 B．18 C．21 D．26 4．(24-25九上·江西抚州·期末)如图，若点在反比例函数的一支图象上，轴于点，则的面积为 ． 5．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 6．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为 ． 7．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，反比例函数的图象与正方形的边，分别交于点，．若为的中点，则正方形的边长为 ． 8．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ． 9．(24-25九上·江西新余分宜县·期末)如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是 地 城 考点03 反比例函数与一次函数图象共存问题 1．(24-25九上·江西宜春·期末)一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 2．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．  B．   C．   D．   3．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A．B．C．D． 地 城 考点04 反比例函数中的多解题问题 1．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y=上，则k值可以是 ． 2．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，点在反比例函数的图象上，点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形，则线段 ． 3．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)反比例函数上有，两点，连接，点P为反比例函数上异于A，B的动点，若，则P点坐标是 ． 地 城 考点05 反比例函数与一次函数的综合问题 1．(24-25九上·江西宜春高安·期末)已知反比例函数的图象与直线相交于点． (1)求直线与反比例函数解析式． (2)若在轴上有一点，使得三角形的面积是18，求点坐标． 2．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴上，，点在反比例函数的图象上，轴，的延长交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)求点的坐标． 3．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标. 4．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)直线与反比例函数（）的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象当时，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是x轴上一动点，当的面积是6时，求出P点的坐标． 5．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)如图，是一次函数与反比例函数图象的两个交点． (1)求m和n的值． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 6．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值． (2)平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 7．(24-25九上·江西新余·期末)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与x轴和y 轴分别交于点 C、点 D． (1)根据图象直接写出不等式的解集： (2)求反比例函数与一次函数的解析式： (3)若点P在y轴上，且，请求出点 P的坐标． 8．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，与双曲线 相交于点，轴于点，且，点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 9．(24-25九上·江西宜春丰城丰城中学·期末)如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 10．(24-25九上·江西赣州石城县·期末)如图，一次函数和反比例函数的图象交于点与点． (1)求的值与反比例函数关系式； (2)连接、，求； (3)若，请结合图象直接写出的取值范围． 11．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点B．    (1)求a的值与反比例函数关系式； (2)连接OA，OB，求； (3)若，请结合图象直接写出x的取值范围． 12．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接．    (1)求反比例函数的表达式和m的值； (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 地 城 考点06 反比例函数的应用问题 1．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)已知一块蓄电池的电压为定值，电流与电阻之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为 ． 3．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 4．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 5．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于 80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如果血液中每100毫升的 酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验 数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中 酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用 正比例函数 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画（如图所示）． (1)根据上述数学模型计算：当时 ，，求k 的值． (2)若依据甲的生理数据显示，当时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？ (3)假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 地 城 考点07 反比例函数与几何图形的综合问题 1．(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)如图，矩形的顶点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，，，点在上，且，过点的双曲线与交于点，则 ． 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ． 3．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 4．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B(2，6)． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）C为线段AB延长线上一点，作CDOA与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标． 5．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图，一次函数与反比例函数相交于点两点，点的坐标为，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一点，轴交反比例函数图象于点，交轴于点，连接． (1)请直接写出________，_____ (2)当时，是_____三角形，并求点的坐标； (3)在第（2）问条件下，连接，问直线是否经过原点，请说明理由． 6．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥x轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点B，交AC于点E．已知菱形的边长为，AC＝4． （1）若OA＝4，求k的值； （2）连接OD，若AE＝AB，求OD的长． 7．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标． 8．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，将绕点O顺时针旋转得到线段． (1)若点B在反比例函数的图象上，的面积为6，求k的值． (2)若C是反比例函数的图象在第一象限的另一点，且 ，过点C作垂直x轴于点D，交于点E，求的面积（用含k的式子表示） 9．(24-25九上·江西九江修水县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）． (1)求过点B的反比例函数y＝的解析式； (2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数 7大高频考点概览 考点01 反比例函数的性质 考点02 反比例函数的k值的几何意义 考点03 反比例函数与一次函数图象共存问题 考点04 反比例函数中的多解题问题 考点05 反比例函数与一次函数的综合问题 考点06 反比例函数的应用问题 考点07 反比例函数与几何图形的综合问题 地 城 考点01 反比例函数的性质 1．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)已知点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可判断反比例函数经过的象限以及在每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：A． 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 3．(24-25九上·江西吉安·期末)已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质用排除法解答． 【详解】解：A、把点代入反比例函数，得，故正确，不符合题意； B、∵，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故不正确，符合题意． C、∵，∴图象在第一、三象限内，故正确，不符合题意； D、若，则，故正确，不符合题意． 故选：B． 4．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是 （用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据，得反比例函数分布在第一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，，同号，据此即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴反比例函数图象分布在第一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，，同号， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 地 城 考点02 反比例函数的k值的几何意义 1．(24-25九上·江西宜春高安·期末)如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．4 【答案】A 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可解答. 【详解】∵反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，且S△AOB=2， ∴且k＜0， ∴k=-4. 故选A. 2．(24-25九上·江西赣州石城县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作轴，取中点，点在轴上，连接、，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数与三角形的综合，比例系数的几何意义，连接，由轴，则，故有，又为中点，则，所以，再根据比例系数的几何意义即可求解，掌握反比例函数图象的性质，三角形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数上，点B、D在函数上，点C在y轴上，则四边形的面积为（　　） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】C 【分析】作轴于E，轴于F，轴于H，由平行四边形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：作轴于E，轴于F，轴于H， ∵四边形为平行四边形，和平行于x轴， ∴， ∴ ． 故选：C． 4．(24-25九上·江西抚州·期末)如图，若点在反比例函数的一支图象上，轴于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】解：∵，轴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数图象，菱形的性质，正确理解反比例函数的图象是解题的关键．设菱形的对角线，相交于点E，则根据菱形的性质可求出点B的坐标，代入反比例函数关系式求解，即得答案． 【详解】设菱形的对角线，相交于点E， 则，， 轴， 轴， ， 把代入，得， ． 故答案为：5． 6．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，掌握一次函数与坐标轴的交点，几何图形面积的计算得到是解题的关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算可得，由此勾股定理可得，根据三角形面积的计算可得，代入一次函数即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ∴令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵过点作轴， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴在一次函数中， 解得，， 故答案为： ． 7．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，反比例函数的图象与正方形的边，分别交于点，．若为的中点，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，由四边形是正方形，则，，设，则，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 8．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ． 【答案】2 【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E， ∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1 ∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3 ∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2 9．(24-25九上·江西新余分宜县·期末)如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是 【答案】2≤k≤16 【分析】由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数y=经过点A时k最小，经过点C时k最大，据此可得出结论． 【详解】∵△ABC是直角三角形， ∴当反比例函数y= 经过点A时k的值最小，经过点C时k的值最大， ∵A（1，2），C（4，4） ∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16， ∴2≤k≤16． 故选C． 地 城 考点03 反比例函数与一次函数图象共存问题 1．(24-25九上·江西宜春·期末)一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，特别是图象共存的问题，掌握以上知识是解题的关键．根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分别对k进行分类讨论，然后结合反比例函数和一次函数的图象性质进行分析即可． 【详解】解：当时，那么， 则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，那么， 则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 故选：B． 3．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 地 城 考点04 反比例函数中的多解题问题 1．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y=上，则k值可以是 ． 【答案】10或12或8． 【分析】当PA=PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP=OA=5时，由勾股定理求出CP即可；当AP=AO=5时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标，然后把P的坐标代入线y=，即可求得k的值． 【详解】∵点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4）， ∴当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（2.5，4）； 当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP==3，P的坐标是（3，4）； 当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5﹣3=2，P的坐标是（2，4）． ∵点P在双曲线y=上， ∴k=2.5×4=10或k=3×4=12或k=2×4=8， 故答案为10或12或8． 2．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，点在反比例函数的图象上，点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形，则线段 ． 【答案】或或8 【分析】先将点坐标代入反比例函数中计算出点的坐标，再分类讨论为等腰三角形的情况，分别算出点的坐标，最后求得不同情况的值即可得到答案． 【详解】解：点在第一象限，且在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， 点坐标为， ， 点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形， 当以为腰时，如图所示三种情况， 由图可知，点的坐标为或或， 或8， 当以为底边时，如图所示， 设点的坐标为，则， 作轴交轴于， 在中， ，，，， 为等腰三角形，， ， 解得：， 点坐标为， ， 综上所述： 或8或， 故答案为：或8或． 3．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)反比例函数上有，两点，连接，点P为反比例函数上异于A，B的动点，若，则P点坐标是 ． 【答案】或 或 【分析】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向 x 轴或 y 轴作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积是定值 ．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 先算出反比例函数解析式，作 轴于 轴于 ，求出，设 ，过点P 作 轴于 ，分为当点P在第一和第三象限，分别画图解答即可． 【详解】解：将代入可得， ∴反比例函数为， 作 轴于 轴于 ， 则 ， ∴， 设 ， 过点P 作 轴于 ， 当点P在第一象限时， ． 解得： （舍去）或， 则P点坐标是， 当点P在第三象限时， ． 解得： 或（舍去）， 则P点坐标是， 或 ． 解得： 或（舍去）， 则P点坐标是， 综上，P点坐标是或 或 ， 故答案为：或 或 ． 地 城 考点05 反比例函数与一次函数的综合问题 1．(24-25九上·江西宜春高安·期末)已知反比例函数的图象与直线相交于点． (1)求直线与反比例函数解析式． (2)若在轴上有一点，使得三角形的面积是18，求点坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再求出点B的坐标，最后将A，B的坐标代入一次函数解析式即可解决问题． （2）先求出直线与x轴的交点坐标，再结合的面积即可解决问题． 【详解】（1）解：将点A坐标代入得， ， 反比例函数的解析式为， 将点B坐标代入得 ， 点B的坐标为． 将点A和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）令直线与x轴的交点为M， 则点M的坐标为． 三角形的面积是18， 解得PM=4， 则，， 点P的坐标为或． 2．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴上，，点在反比例函数的图象上，轴，的延长交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作轴的垂线，垂足为，证明四边形是矩形，得到．从而求得，再根据，即可求得点的坐标为，代入即可求解． （2）利用勾股定理求得，再根据，求得点的坐标为．然后由待定系数法求直线的表达式为，最后联立两函数解析式，求出交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：过点A作轴的垂线，垂足为． ， ． ，轴， 四边形是矩形． ． ， ， ∵． 点的坐标为， 把代入，得 ∴． （2）解：， ． ， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 把代入，得， ∴， 直线的表达式为． 联立，解得：， 的延长交反比例函数的图象于点， 点在第一象限内． ∴点的坐标为． 3．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标. 【答案】（1），；（2）或；（3）（12，）或（-12，） 【分析】（1）把A点坐标代入中求出k得到反比例函数解析式，把A点坐标代入中求出b得到一次函数解析式； （2）由函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可； （3）设P（x，），先利用一次解析式解析式确定C（0，1），再根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程得到x的值，从而得到P点坐标． 【详解】解：（1）把A（1，2）代入得k=2， ∴反比例函数解析式为， 把A（1，2）代入得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）由函数图象可得：当y1＜y2时，-2＜x＜0或x＞1； （3）设P（x，）， 当x=0时，， ∴C（0，1）， ∵S△OCP=6， ∴，解得， ∴P（12，）或（-12，）． 4．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)直线与反比例函数（）的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象当时，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是x轴上一动点，当的面积是6时，求出P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点A，B坐标代入双曲线中即可求出m，n，最后将点A，B坐标代入直线解析式中即可得出结论； （2）根据点A，B坐标和图象即可得出结论； （3）利用三角形面积公式求得，结合D的坐标，即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：∵点和点在直线上， ∴，， 即， 把代入中，得， 所以，反比例函数的表达式为； （2）由图象可得，当时，的解集为； （3）直线的表达式为， 当时，， ∴D点坐标为， ∵的面积是6， ∴， ∴， ∴P的坐标为或． 5．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)如图，是一次函数与反比例函数图象的两个交点． (1)求m和n的值． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数，即可求解，继而反比例函数解析式为，再将代入，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入得：， ∴反比例函数解析式为， 将代入得：； （2）解：根据图象得到不等式的解集是：或． 6．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值． (2)平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识， （1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； （2）∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴． 7．(24-25九上·江西新余·期末)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与x轴和y 轴分别交于点 C、点 D． (1)根据图象直接写出不等式的解集： (2)求反比例函数与一次函数的解析式： (3)若点P在y轴上，且，请求出点 P的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出 函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）找到直线在双曲线上方的自变量的范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出点坐标，分割法求出，根据，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图象可知，的解集为：； （2）解：由题意，得：， ∴； 把两点代入， ，解得：， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点P在y轴上， ∴，即：， ∴， ∴或． 8．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，与双曲线 相交于点，轴于点，且，点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y＝2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式； （2）设Q（m，n），代入反比例解析式得到n，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标． 【详解】解：（1）把代入中，得， ∴， ∵，∴把代入中， 得， 即， 把代入中， 得， 则双曲线解析式为； （2）如图，轴于点H，连接；设， ∵在双曲线上， ∴， ∵点B在上， ∴． 当时， 可得，即， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； 当时， 可得，即， 整理得， 解得或（舍）， ∴， 综上所述，或． 9．(24-25九上·江西宜春丰城丰城中学·期末)如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 【答案】(1)直线为，反比例函数的表达式为 (2)的坐标为：或． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式； （2）分两种情况：如图，连接，，当在的右边时，当时，则，如图，当在的左边时，如，连接，，交于，当为的中点时，则，再进一步解答即可． 【详解】（1）解： 中，，，轴，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， 设直线为 ， 解得， 直线为， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接，，当在的右边时， 当时，则， 设直线为，而， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴令， 解得：，（不符合题意，舍去） 此时， ∴； 如图，当在的左边时，如，连接，，交于， 当为的中点时，则， 设，，而， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 10．(24-25九上·江西赣州石城县·期末)如图，一次函数和反比例函数的图象交于点与点． (1)求的值与反比例函数关系式； (2)连接、，求； (3)若，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式； （2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，设一次函数与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解；将代入中，得， 解得； ∴ 将代入中，得， ∴反比例函数关系式； （2）解：由， 解得 或， 所以，， 设一次函数与轴交于点， 如图，连接、， ∴； （3）解：观察图象，若，则或． 11．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点B．    (1)求a的值与反比例函数关系式； (2)连接OA，OB，求； (3)若，请结合图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式； （2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，设一次函数 与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）将 代入 中，得； 将代入 中，得， 所以反比例函数关系式； （2）由， 解得 或， 所以，， 设一次函数 与轴交于点， 如图，连接，    故； （3）观察图象，若，则或． 12．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接．    (1)求反比例函数的表达式和m的值； (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点E的坐标为或 【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式，进而可得点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （3）设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）∵B在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把A代入，得； （2）设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∴的面积;    （3）设点E的坐标为，则点F的坐标为 ， ∴， ∵，则当时， ∴， 解这个方程，得：， ∴点E的坐标为或．    地 城 考点06 反比例函数的应用问题 1．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 2．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)已知一块蓄电池的电压为定值，电流与电阻之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】设， 把代入得：， 解得，， ∴电流I关于电阻R的函数解析式为． 故答案为：． 3．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】(1)第分钟注意力更集中 (2)经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，，解得， ． 设、所在双曲线的解析式为， 把代入得，， 当时，， 当时，，    答：第分钟注意力更集中． （2）令， ， 令， ， ， 答：经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 4．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】(1) (2)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【分析】（1）由表格可推得：为定值，即当时，y是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． 【详解】（1）解：， y是x的反比例函数， （2）解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下： 当时，， y随x的增大而减小， 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 5．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)根据国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于 80毫克，则被认定为饮酒后驾车．如果血液中每100毫升的 酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车．实验 数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中 酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用 正比例函数 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画（如图所示）． (1)根据上述数学模型计算：当时 ，，求k 的值． (2)若依据甲的生理数据显示，当时肝部正被严重损伤，请问甲喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少时间？ (3)假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)小时 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用： （1）直接将，代入，进行求解即可； （2）求出时的时间，进行求解即可； （3）求出早上时的酒精浓度，进行判断即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由（1）知：， ∴当时，； 当时，， ∴当时，肝部被严重损伤持续小时． （3）不能，理由如下： 当第二天早上时，经过了个小时， ∴， ∵， ∴不能驾车． 地 城 考点07 反比例函数与几何图形的综合问题 1．(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)如图，矩形的顶点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，，，点在上，且，过点的双曲线与交于点，则 ． 【答案】/ 【详解】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了矩形的性质． 先确定点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，接着计算出函数值为对应的自变量的值得到点坐标，然后计算即可． 【解答】在矩形中，，， ，， ， ， ， 把代入得， 反比例函数解析式为， 当时，， 解得， ，则， ． 故答案为：． 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，可证，得到，，根据一次函数可得，，即得，，得到，即得反比例函数，同理得到，再根据平移得，最后代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵一次函数，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵点向左平移个单位后为， ∴， 解得， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练的求解反比例函数的解析式是解本题的关键； （1）由矩形的性质先求解，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解D的坐标，求解，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵B点坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵比例函数的图象与矩形交于D点和E点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵比例函数的图象与矩形交于D点， ∴D点的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B(2，6)． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）C为线段AB延长线上一点，作CDOA与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标． 【答案】（1）y＝x+4，y＝；（2）(2，2+4) 【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，解方程即可得出结论； （2）先求出OA，再判断出CD＝4，设出点C坐标，表示出点D坐标，进而用CD建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点B（2，6）在直线y＝x+b上， ∴2+b＝6， ∴b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝x+4； ∵点B（2，6）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴k＝2×6＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝； （2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝x+4， ∴A（0，4）， ∴OA＝4， ∵四边形ACDO为平行四边形， ∴CD＝OA＝4， 设点C的坐标为（m，m+4）（m＞2）， ∵CD∥OA， ∴D（m，）， ∴CD＝m+4﹣， ∴m+4﹣＝4， ∴m＝2或m＝﹣2（舍）， ∴C（2，2+4）． 5．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图，一次函数与反比例函数相交于点两点，点的坐标为，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一点，轴交反比例函数图象于点，交轴于点，连接． (1)请直接写出________，_____ (2)当时，是_____三角形，并求点的坐标； (3)在第（2）问条件下，连接，问直线是否经过原点，请说明理由． 【答案】(1)； (2)等腰直角， (3)是，理由见解析 【分析】（1）点分别代入和，求出结果即可； （2）过点作的垂线，垂足为，求出直线与y轴和x轴的交点为，得出，根据平行线的性质得出，证明是等腰直角三角形，设点，则，得出，根据点F在反比例函数图象上，得出，求出a的值即可； （3）先求出点的坐标为，根据点，得出B、F关于原点对称，得出经过原点． 【详解】（1）解：将点分别代入和中得： ，， 解得：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图所示： 直线与轴，轴分别交于点， ， 是等腰直角三角形，即， 垂直轴， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， 设点，则， ， ， 点在反比例函数图象上， ， ， （舍去） ； （3）解：∵点是直线与双曲线的交点， ， ， （舍去）， 点的坐标为， 由（2）可知点， ∵点与点的横纵坐标互为相反数， ∴关于原点对称， 直线会经过原点． 6．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥x轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点B，交AC于点E．已知菱形的边长为，AC＝4． （1）若OA＝4，求k的值； （2）连接OD，若AE＝AB，求OD的长． 【答案】（1）11(2) 【分析】（1）利用菱形的性质得出AH的长，再利用勾股定理得出BH的长，得出B点坐标即可得出答案； （2）首先表示出B，E两点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出D点坐标，再利用勾股定理得出DO的长． 【详解】解：（1）连接BD交AC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝4， ∴BD⊥AC，AH＝2， ∵对角线AC⊥x轴， ∴BD∥x轴， ∴B、D的纵坐标均为2， 在Rt△ABH中，AH＝2，AB＝， ∴BH＝， ∵OA＝4， ∴B点的坐标为：（，2）， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k＝11； （2）设A点的坐标为（m，0）， ∵AE＝AB＝，CE＝， ∴B，E两点的坐标分别为：（m+，2），（m，）． ∵点B，E都在反比例函数的图象上， ∴（m+）×2＝m， ∴m＝6， 作DF⊥x轴，垂足为F， ∴OF＝，DF＝2， D点的坐标为（，2）， 在Rt△OFD中， OD2＝OF2+DF2， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数图象的性质，正确得出D点坐标是解题关键． 7．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）． （1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式； （2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标． 【答案】（1）y1＝（x＞0），y2＝﹣2x+12；（2）点P的坐标为（0，）． 【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（2，8），利用待定系数法求函数的解析式； （2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝4， ∴AD＝2， ∵四边形OABC是矩形，BC＝8， ∴D（2，8）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴k＝2×8＝16， ∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0）， 当x＝4时，y＝4， ∴E（4，4）， 把D（2，8）和E（4，4）代入y2＝mx+n（m≠0）得，， ∴， ∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+12； （2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD， 此时，△PDE的周长最小， ∵点D的坐标为（2，8）， ∴点D′的坐标为（﹣2，8）， 设直线D′E的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得：， ∴直线D′E的解析式为， 令x＝0，得， ∴点P的坐标为（0，）． 8．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)如图，在平面直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，将绕点O顺时针旋转得到线段． (1)若点B在反比例函数的图象上，的面积为6，求k的值． (2)若C是反比例函数的图象在第一象限的另一点，且 ，过点C作垂直x轴于点D，交于点E，求的面积（用含k的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】(1)如图，过点作轴于点，由旋转的性质证出为等边三角形，再由等边三角形的性质和反比例函数的性质证明即可得解； (2)如图，过点作轴于点，先证出，再由勾股定理和反比例函数的性质证出，进而利用三角形的面积的和差即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， 将绕点O顺时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， ， 点B在反比例函数的图象上， ， ； （2）解：如图，过点作轴于点， 双曲线的对称轴为直线， ， ，关于直线对称， ， ， ， ， ，， ，都在反比例函数图象上， ， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ． 9．(24-25九上·江西九江修水县·期末)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）． (1)求过点B的反比例函数y＝的解析式； (2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式． 【答案】(1)y= (2)直线BD的解析式为y=-2x+20 【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）证明△OBF∽△BDF，利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可． 【详解】（1）解：过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图， ∵A（3，4）， ∴OE=3，AE=4， ∴AO==5， ∵四边形OABC是菱形， ∴AO=AB=OC=5，AB∥x轴， ∴EF=AB=5， ∴OF=OE+EF=3+5=8， ∴B（8，4）， ∵过B点的反比例函数解析式为y=， 把B点坐标代入得k=32， ∴反比例函数解析式为y=； （2）解：∵OB⊥BD，即∠OBD=90°， ∴∠OBF+∠DBF=90°， ∵∠DBF+∠BDF=90°， ∴∠OBF=∠BDF， 又∵∠OFB=∠BFD=90°， ∴△OBF∽△BDF， ∴， ∴， 解得DF=2， ∴OD=OF+DF=8+2=10， ∴D（10，0）． 设BD所在直线解析式为y=k1x+b， 把B（8，4），D（10，0）分别代入得：， 解得． ∴直线BD的解析式为y=-2x+20． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $