圆锥曲线测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线测试 满分：150分．时间：120分钟． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1.设表示的是椭圆；，则p是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3.已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4.已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 5.已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6.动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7.已知双曲线的方程为，它的一个顶点到一条渐近线的距离为，已知（为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（    ） A．点在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4 C．椭圆E的离心率为 D．使得为直角三角形的点P恰有6个 10.已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B． C． D．若直线的倾斜角为，且，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12.已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为 ． 13.已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 14.已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分．第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值． 16.已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 17.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 18.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别与直线交于，两点． (1)求双曲线的方程． (2)证明为定值． 19.已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q. (1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点． 《圆锥曲线测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B C D B D BC BCD 题号 11 答案 ACD 1.设表示的是椭圆；，则p是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若表示的是椭圆，则且，即成立； 反例：当时，表示的是圆，即不成立； 即p是成立的充分不必要条件， 故选：A. 2.若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】 由抛物线上点到焦点的距离为，则点到抛物线的准线的距离为， 由抛物线，则其准线为直线， 所以，解得. 故选：B. 3.已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：，则直线，即， 与圆相切，，即， ，，椭圆的离心率. 故选：A. 4.已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 如图所示，过点作于点. 因为，所以， 因为， 所以，所以， 故，得. 因为，所以，故点， 将代入双曲线中， 即，化简得， ， 解得或（舍去），故B项正确. 故选：B. 5.已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，代入椭圆的方程可得，． 两式相减可得：． 由，，代入上式可得： ＝0，化为． 又，，联立解得． ∴椭圆的方程为：． 故选：C． 6.动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由得， 等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 7.已知双曲线的方程为，它的一个顶点到一条渐近线的距离为，已知（为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线对称性，不妨令双曲线的顶点为，渐近线为， 于是得，即，而，有，又， 因此有，解得，又，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B 8.过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 直线的方程为， 联立可得，即点， 所以，因为，所以， 所以直线的方程为，抛物线，设点，， 联立可得， 由韦达定理可得，则 故选：D 9.已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（    ） A．点在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4 C．椭圆E的离心率为 D．使得为直角三角形的点P恰有6个 【答案】BC 【解析】由题意的长半轴长，短半轴长，焦半距， 椭圆的焦点在y轴上，A错误； 椭圆E的长轴长为，B正确； 椭圆E的离心率为，C正确； 椭圆的右顶点，焦点， 所以， 则，即为锐角， 故根据椭圆的对称性可知，使得为直角三角形的点P恰有4个（以或为直角），D错误． 故选：BC． 10.已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以， 所以，故C正确； 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B． C． D．若直线的倾斜角为，且，则 【答案】ACD 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程是， 由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，联立 消去得， 设线段的中点， 所以， 所以点到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，故A正确； 由韦达定理，得，故B错误；， 所以 ，故C正确； 若直线的倾斜角为，且，则点在点左侧， 如图，直线与准线交于点，分别表示点到准线的距离， 则，设，则， 又， 所以，所以，故D正确. 故选:ACD. 12.已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为 ． 【答案】20 【解析】 因为＝0，所以⊥， 所以△是直角三角形． 由椭圆定义知||＋||＝6，① 又，② 由－②得， 因为， 所以. 故答案为：20. 13.已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义，可得，则， 当、、三点共线，即当时，取最小值， 此时直线的方程为，联立，解得，即点. 因此，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为. 故答案为：. 14.已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 在双曲线中，，，， 圆的圆心为，半径长为， 所以，双曲线的左、右焦点分别为、， 由双曲线的定义可得，， 所以，， 当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 15.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值． 【解析】（1）由，得， 则， 故椭圆方程可化为， 将代入上式得， 则， 故椭圆的标准方程为． （2） 由题意得，四边形为菱形， 则菱形的面积 当直线的斜率不存在或为0时，易得 当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程为，则的方程为， 设， 将代入， 得， 则， 则 ． 综上，的最大值为． 16.已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为， 因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得， 因此，该双曲线的标准方程为. （2）假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、， 则有，． 根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上， 得，， 两式相减得， 所以，所以， 即以为中点的弦所在直线的斜率， 故直线的方程为，即． 联立，消去得， ， 因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在． 17.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【解析】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示： 则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 18.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于，），直线，分别与直线交于，两点． (1)求双曲线的方程． (2)证明为定值． 【解析】（1）依题意可设双曲线方程为：， 则，解得， ∴所求双曲线方程为； （2）由题可得、、， 设，，则，， ∵、、三点共线， ∴， ∴，即， 同理得， 所以，， 则， ∵， ∴， ∴， 即（定值）． 19.已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q. (1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点． 【解析】（1） 当点在第一象限时，设， 则，（当时取等号），∴， 同理，当点在第四象限时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. （2）设直线的方程为， 联立方程 得， 设，则， ∵ ， 即 ， 即， 即， 即 ， ∴，满足， ∴， ∴直线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $