精品解析： 内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

赛罕区2025—2026学年度第一学期九年级学业质量抽样监测 数学 注意事项： 1．本试卷共4页． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分100分，考试时间共90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 利用判别式判断方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 下列说法正确的是（ ） A. 所有半径都相等 B. 过圆心的直线是圆的直径 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 5. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C、D两点的坐标分别为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 8. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，的半径为______． 10. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为_____． 11. 一辆汽车的行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数关系式是，则汽车行驶需要的时间是______． 12. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程 （1）； （2）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕旋转中心逆时针方向旋转． （1）在坐标系中画出旋转后的三角形． （2）写出旋转后点，，所对应的点，，的坐标． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 16. 某商店销售一种成本为元/千克的牛肉，若按元/千克销售，一个月可售出，销售单价每涨价元，月销售量就减少． （1）写出月销售利润（单位：元）与销售单价（单位：元/千克）之间的函数解析式； （2）当销售单价定为元时，计算月销售量和销售利润； （3）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元? （4）当销售单价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 17. 如图，四边形中，对角线与交于点，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）若是边上一点（与，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点分别作及延长线的垂线，垂足分别为，．设四边形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，且． ①求证：； ②当时，求的长． 18. 综合与实践 实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．如图是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为（），对称轴为，且． （1）当与恰好相等时，求抛物线的解析式； （2）在（1）中的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赛罕区2025—2026学年度第一学期九年级学业质量抽样监测 数学 注意事项： 1．本试卷共4页． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分100分，考试时间共90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义回答即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 利用判别式判断方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握及其与根的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式公式，计算判别式的值，再根据判别式与根的关系判断方程根的情况． 【详解】解：∵对于方程，有，， ∴判别式 ∴方程有两个相等的实数根 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 所有半径都相等 B. 过圆心的直线是圆的直径 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧），熟练掌握这些概念的定义及限制条件是解题的关键． 根据圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧）的定义，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，A选项错误； 直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，B选项错误； 圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，D选项错误． 故选：C． 5. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C、D两点的坐标分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和关于原点对称，由菱形的性质可知点和点关于原点对称，、关于原点对称，结合条件可求得点，点的坐标． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 又点为坐标原点， 点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， 点A的坐标为，点B的坐标为， 点坐标为，点坐标为． 故选：B． 6. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的基本操作，关键是通过添加常数项完成平方．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，具体步骤为移项后两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加4得 ， 即 ． 故选：D． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与y轴交点、顶点坐标的求解方法是解题的关键． 根据二次函数的性质，分别从开口方向、对称轴、与y轴交点、顶点坐标这几个方面对每个选项进行分析判断． 【详解】解： 二次函数中，，，， ∵ ， ∴ 开口向下，故A项错误． 对称轴， ∴ 不是，故B项错误． 当时，， ∴ 与轴交点为，不是，故C项错误． 把顶点横坐标，代入得， ∴ 顶点坐标为，故D项正确． 故选：D． 8. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理并能结合勾股定理求解圆的半径是解题的关键． 通过作圆心到弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解圆的半径． 【详解】解：过点作于点，连接． ∵ ，根据垂径定理， ∴ ． 又∵ ， 在中，， 故答案为：． 10. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年游客人数的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：该景区这两年接待游客的年平均增长率为． 故答案为： 11. 一辆汽车的行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数关系式是，则汽车行驶需要的时间是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握将实际问题转化为一元二次方程问题并求解是解题的关键． 将行驶距离代入函数关系式，得到一元二次方程，求解方程并取符合实际意义的正根． 【详解】解：当时， 整理得： 因式分解得： 解得：（舍去）， 故答案为：． 12. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形三线合一是解题的关键． 利用勾股定理求，通过定理证三角形全等，再结合等腰三角形三线合一和面积法求解． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∵勾股定理， ∴， ∵由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法等知识﹒ （1）利用配方法即可求解； （2）利用公式法得到，即可得到此方程无实数根﹒ 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴此方程无实数根﹒ 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕旋转中心逆时针方向旋转． （1）在坐标系中画出旋转后的三角形． （2）写出旋转后点，，所对应的点，，的坐标． 【答案】（1） 如图所示． （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转以及平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，熟练掌握“点绕原点逆时针旋转后变为”是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到点、、绕原点逆时针旋转后的对应点、、，再顺次连接这三个点即可画出旋转后的三角形． （2）利用平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来确定、、的坐标． 【小问1详解】 解：绕原点逆时针旋转的坐标变换规律为：点旋转后变为． 对于点，旋转后的坐标为； 对于点，旋转后的坐标为； 对于点，旋转后的坐标为． 在坐标系中找到这三个点，顺次连接、、，即可得到旋转后的； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）计算，根据题意得到，即，得到； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，根据得到，整体代入得到，即可求出． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 某商店销售一种成本为元/千克的牛肉，若按元/千克销售，一个月可售出，销售单价每涨价元，月销售量就减少． （1）写出月销售利润（单位：元）与销售单价（单位：元/千克）之间的函数解析式； （2）当销售单价定为元时，计算月销售量和销售利润； （3）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元? （4）当销售单价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1） ； （2） 销售单价定为元时，月销售量为千克，销售利润为元； （3） 销售单价应定为元； （4） 当销售单价定为元时会获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次函数和一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是根据题意得到销售利润与销售单价的函数关系式． （1）当销售单价元/ 千克时，每月的销量为千克，根据销售利润销量每千克利润； （2）把代入和计算求值即可； （3）根据月销售成本不超过元，可以求出，根据月销售利润达到元，得到一元二次方程，解方程求出销售单价； （4）把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据解析式即可得到销售单价和最大利润． 【小问1详解】 解：当销售单价元/ 千克时，每月的销量为千克， 每千克的利润为元， 月销售利润为， 整理得：； 【小问2详解】 解：当销售单价定为元时，月销售量为（千克）， 月销售利润为（元）， 答：当销售单价定为元时，月销售量为千克，销售利润为元； 【小问3详解】 解：月销售成本不超过元， ， 解得：， 月销售利润达到元， ， 解得：(不符合题意，舍去)，， 答：销售单价应定为元； 【小问4详解】 解：， 整理可得：， 当时，有最大值，最大值是， 答：当销售单价定为元时会获得最大利润，最大利润为元． 17. 如图，四边形中，对角线与交于点，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）若是边上一点（与，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点分别作及延长线的垂线，垂足分别为，．设四边形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，且． ①求证：； ②当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴ 平行四边形是矩形， ∵ ，， ∴， ∴ ，即， ∴ 矩形是正方形； （2）①证明：∵ ，，四边形是正方形， ∴ ，，， ∵ 线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ； ② 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证是矩形，最后证邻边相等得正方形； （2）①通过角度推导和已知条件证三角形全等；②利用全等和面积关系建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵ ，四边形是正方形， ∴ ， ∵， ∴ ，， 设，则，，， ∵， ∴， ∵，， ∴ 四边形是矩形， ∴ ， ，， ∵ ， ∴ ， ∴（舍去）或， 故的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的判定与性质和全等三角形的判定是解题的关键． 18. 综合与实践 实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．如图是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为（），对称轴为，且． （1）当与恰好相等时，求抛物线的解析式； （2）在（1）中的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：在大棚内上不能找到一固定点，设计一根支撑柱，使得与平行，理由如下： 设直线的解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 中，令，则， 解得或， ∵点在轴的正半轴上， ∴， 一次函数中，当时，， 解得， ∴在大棚内上不能找到一固定点，设计一根支撑柱，使得与平行． 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件确定点的坐标，再利用抛物线的对称轴公式和点在抛物线上的性质，结合的条件，建立方程求解抛物线的解析式． （2）先求出直线的解析式，再根据平行关系得到直线的解析式，结合抛物线解析式求出点的横坐标，进而判断是否存在点． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵对称轴公式为， ∴①． 在中，， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 把代入，得②． 由①得，将其代入②得， 解得， ∴, ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括抛物线解析式的求解、一次函数解析式的求解以及平行直线的性质等，熟练掌握二次函数的性质、一次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $