5.3第2课时 一元一次方程的应用——盈不足问题 课件2025-2026学年北师大版数学七年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦北师大版七年级上册“盈余不足”问题的一元一次方程应用。包含情境导入（《九章算术》古题）、探究建模（双线并行设未知数）、知识总结（表格梳理数量关系）、文化溯源（古代算法与方程对比）及迁移拓展（分层作业）等模块，以问题链和活动设计为学习支架。 资料特色在于古今数学文化深度融合，通过《九章算术》“共买物”等古题引入，引导学生用表格梳理数量关系、用线段图验证古代算法，发展数学眼光的抽象能力与几何直观，培养数学思维的推理意识和模型意识。分层作业满足不同需求，助力学生提升方程应用能力，为教师提供结构化教学流程与素养落实路径。七年级学生正处于抽象思维发展初期，该资料通过情境化、活动化设计，帮助学生适应初中数学学习，建立方程模型思想。

第2课时 “盈余不足”问题 ——一元一次方程的应用 北师大版七年级上册 第五章第三节第二课时 情境导入·穿越古今 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 问题1：你能用现代语言复述上面的问题吗？ 情境导入·穿越古今 问题2：你能参照上一节课“利用方程解决实际问题”的基本步骤解决这个问题吗？ 问题3：上一节课“利用方程解决实际问题”的基本步骤是什么？ 问题4：审题时，我们要重点关注哪些量？ 问题5：问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ 探究建模·双线并行 问题6：在分析情境中的数量关系时，用什么方式整理会显得更条理和清楚呢？ 问题7：我们如何设未知数呢？ 问题8：若设未知量人数为x，你能借助下面的表格梳理问题中的数量关系吗？ 探究建模·双线并行 活动一 请完成下表： 有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x - 3 x 7x 7x + 4 知识总结 问题9：上述填表的过程中用到了哪些等量关系？根据等量关系，你列出的方程是什么？ 方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。 解：设人数为 x。 根据等量关系，列出方程： 。 解这个方程，得 x = 。 因此，人数为 ，物价为 。 7 7 53 8x - 3 = 7x + 4 问题10：你能否概括出列方程的大致过程？题目中的等量关系在列方程的过程中各自的作用是什么？ 问题11：你能验证方程解的合理性吗？ 问题12：如果设物价为 y 钱，你能列出怎样的方程？先独立思考，然后与同伴进行交流。 探究建模·双线并行 活动二 请完成下表： 有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱 物价 x 出钱总数 人数 y+3 y y-4 问题13：比较上述两种设未知数的方法，在解决问题的过程中，有哪些不同？哪些相同？ 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 请你按照解决情境问题的解题方法，完成此题的求解？ 问题14：针对此题目的求解过程，谈谈列方程解决实际问题的思路是什么？ 活动三 《九章算术》给出了一种算法： 人数 = 两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价 = 每人出的较多钱数×人数 - 剩余钱数， 或 物价 = 每人出的较少钱数×人数 + 不足的钱数。 问题15:能理解这种解法吗?与方程的求解过程相比，有什么不同?与同伴进行交流。 解方程→顺向思考 算式方法→逆向思考 文化溯源·算法解密 问题16：你能用几何来验证这种解法吗？比如用线段图来演示公式原理 ？ 请在作业本上试试看。 文化溯源·算法解密 总结升华·体系建构 实际问题 盈亏不足问题 盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____ 的数量 亏时 1.核心思想：抓不变量建方程 2.方法体系：表格工具、双元设未知数、古今解法融合 3.数学思想：建模、化归、数形结合方法点拨 1.基础层（必做）：教材篇P150随堂练习 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两， 迁移拓展·分层挑战 2.发展性作业（选做）：P155习题5.3 （1）某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣。若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1h，剩下4万件未分拣；若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h，剩下1万件未分拣。该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？ （2）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问：家数、牛价各几何？ 3.探究性作业（拓展）：收集 1 个古代盈余不足类数学问题，翻译成现代语言，用方程法解决并分享给同学。 迁移拓展·分层挑战 Lavf58.46.101 $