精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学2025-2026学年（五四学制）九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中限时作业 九年级数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 2. 如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小 C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x＝﹣1 4. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 5. 下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 已知点（1，y1）、（-2，y2）、（-4，y3）都是抛物线y=-2ax2-8ax+3（a＜0）图象上的点，则下列各式中正确的是（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y2＜y3 7. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A. 此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5 B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05） C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D. 篮球出手时离地面的高度是2m 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为____________． 12. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是______°． 13. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，，则的度数为________． 15. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 16. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10m．如果水位以0.25m/h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过________h水位达到桥拱最高点O． 17. 如图，矩形中，，，，分别是，上的动点，，是的中点，为上的动点，连接，．则的最小值等于________． 18. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 20. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 21. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接. 求证：⑴； ⑵. 22. 苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 23. 掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，每件成本元，当每件售价元时，每天可售出件．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．求出y与x之间的函数关系式． （2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？ （3）若商场每天平均需盈利元，每件衬衫应降价多少元． 25. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求此二次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中限时作业 九年级数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 2. 如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相等，反之亦如此；根据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案； 【详解】解：∵、是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 3. 对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小 C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x＝﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8， ∵a＝2＞0， ∴图象的开口向上，故本选项错误； B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误； C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确； D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，结合二次函数性质对比四个选项即可． 4. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案． 【详解】解：连接OA， 设CD=x， ∵OA=OC=5， ∴OD=5-x， ∵OC⊥AB， ∴由垂径定理可知：AD=4， 由勾股定理可知：52=42+（5-x）2， ∴x=2， ∴CD=2， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型． 5. 下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，圆心角，利用等弧和弦的概念，根据弧，弦与圆心角之间的关系进行判断即可． 【详解】解：①直径是弦，故说法正确； ②弧是圆的一部分，不一定是半圆，故说法错误； ③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等，故说法正确； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧两段，不一定相等，故说法错误； ⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故说法正确； 综上所述，正确的序号是①③⑤． 故选：B． 6. 已知点（1，y1）、（-2，y2）、（-4，y3）都是抛物线y=-2ax2-8ax+3（a＜0）图象上的点，则下列各式中正确的是（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y2＜y3 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵抛物线 ∴抛物线的开口向上,对称轴是直线 ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大， ∵取时所对应的点离对称轴最远，取-2时所对应的点离对称轴最近， 故选C. 【点睛】二次函数的对称轴是：. 二次项系数抛物线的开口方向. 开口向上. 开口向下. 7. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图像和性质，可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，，对称轴应在y轴左侧，故B错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴左侧，故C正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴右侧，故D错误； 故选：C． 8. 在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可． 【详解】解：如图1，连接， ∵点C为弦的中点，是的直径，， ∴，，又 ∴， ∴； 同理，如图2，则， 综上，长为或， 故选：C． 9. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A. 此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5 B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05） C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D. 篮球出手时离地面的高度是2m 【答案】A 【解析】 【分析】A.设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B.根据函数图象判断；C.根据函数图象判断；D.设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2.5时，即可求得结论． 【详解】解：A.∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5． ∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5， ∴a=﹣， ∴y=﹣x2+3.5． 故本选项正确； B.由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05）， 故本选项错误； C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5）， 故本选项错误； D.设这次跳投时，球出手处离地面hm， 因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5， ∴当x=﹣2.5时， h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m． ∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m． 故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质及判别式和根的关系是解题的关键． 根据二次项系数a判定开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数有判别式决定，由以上进行判断即可． 【详解】解：由抛物线图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，对称轴为，即，， ，故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②错误； ， 点A的坐标为，代入解析式得， ∵，等式两边同时除以得，故③正确； 设，， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点， 和是方程的两根， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的有①③④，共3个， 故选：B． 第II卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为，列式计算可得侧面积．本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力． 【详解】解：根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为， ∴该几何体的侧面面积是：， 故答案为：． 12. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是______°． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______． 【答案】32 【解析】 【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解． 【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， ∴围栏的面积， ∴当时，S取最大值，最大值为32， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键． 14. 如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、弧与弦之间的关系、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题关键． 由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ． 故答案为：． 15. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 16. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10m．如果水位以0.25m/h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过________h水位达到桥拱最高点O． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线解析式为y＝ax2，根据题意列二元一次方程组并求解，得y＝-x2，从而完成求解． 【详解】设抛物线解析式为y＝ax2， ∵抛物线关于y轴对称，AB＝20m，CD＝10m， ∴点B的横坐标为10，点D的横坐标为5， 设点B（10，n），点D（5，n+3）， 由题意：， 解得， ∴y＝-x2， 当x＝5时，y＝-1， ∵水位以0.25m/h的速度上涨 ∴t＝＝4（h）， ∴再过4小时水位达到桥拱最高点O 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，从而完成求解． 17. 如图，矩形中，，，，分别是，上的动点，，是的中点，为上的动点，连接，．则的最小值等于________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了最短距离问题、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质解决最值问题是解题的关键． 如图：作点A关于的对称点，连接，则，当在同一直线上时，的最小值等于的长，求得的长，即可得到的最小值． 【详解】解：如图：作点A关于的对称点，连接，则，， ∴， ∴当在同一直线上时，的最小值等于的长， 在中， ， ∴， ∴的最小值等于4． 故答案为4． 18. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移、二次函数的顶点式、交点坐标、点的规律等知识点．熟练掌握二次函数图象的平移、二次函数的顶点式、交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可得、；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】解：设，，， ∵抛物线沿直线：向上平移，抛物线的顶点，，…都在直线：上， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即，解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即，解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即，解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值及实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的运算． （1）先计算乘方、负整数指数幂、立方根、代入三角函数值，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出a的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ， ， 原式． 20. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 【答案】（1） 如图所示，点P为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的性质是解题的关键． （）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，从而，再将数据代入即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 21. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接. 求证：⑴； ⑵. 【答案】 证明（1）∵AB=CD， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴AD=BC， 又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE． 【解析】 【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案； （2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 22. 苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】（1）此圆弧形拱桥的半径为 （2）该船不能安全穿过桥洞， 理由如下：如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； 【小问2详解】 略 23. 掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试中得优秀 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，每件成本元，当每件售价元时，每天可售出件．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．求出y与x之间的函数关系式． （2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？ （3）若商场每天平均需盈利元，每件衬衫应降价多少元． 【答案】（1） （2）当每件降价元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利元 （3）元或元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，一元二次方程的应用． （1）由题意知，降价后的价格为元，销量为件，依题意得，，整理求解即可； （2）由题意知，，根据二次函数的性质进行求解，然后作答即可； （3）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，降价后的价格为元，销量为件， 依题意得，， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴（元）， ∴当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利元； 【小问3详解】 解：由题意知，当时，， 解得，， ∴商场每天平均需盈利元，每件衬衫应降价元或元． 25. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求此二次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积是3 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可求解； （3）分别讨论为等腰三角形的底边或腰，即可求解． 【小问1详解】 解: 将，，代入， 得， 解得， 故此二次函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由知，. ∵，， ， ， ， ∴. ∴是直角三角形，且. ∴， 即的面积是3. 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或. 由（2），知，对称轴为直线， ①若以为底边，则， 设点的坐标为， 根据勾股定理，得， ∴， 又∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得，. ∵点在其对称轴右侧的抛物线上，对称轴为直线， ∴， ∴， 即点的坐标为； ②若以为一腰， ∵点在其对称轴右侧的抛物线上， ∴由抛物线的对称性可知，点与点关于直线对称，此时点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、二次函数与特殊三角形问题．利用分类讨论思想是求解第三问的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $