第二章锐角三角函数单元测试2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第二章锐角三角函数训练题 一、单选题 1．如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 3．已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 5．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 9．在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 11．已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 13．如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（    ） A． B． C． D． 14．如图，老师带领数学小组测量河里面一颗大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 15．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 16．如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 17．如图，菱形的对角线、相交于点，为的中点，，，那么 . 18．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为 ．    19．如图，已知中，，，，，那么的长为 ． 20．如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 ． 21．如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且、、三点在同一直线上，他们通过测量的长度计算出这棵树的高度是米，则测量的的长度是 米． 22．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值是 ． 三、解答题 23．计算： (1) (2) 24．如图，在中，，，垂足为．若，，求： (1)的值； (2)的长． 25．如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值． 26．如图1，是某地度假中心的主体建筑，将其抽象为图2的五边形，测得，，，垂直于地面，，．（结果保留小数点后一位） (1)求的度数； (2)求该建筑的高度．（参考数据：，，） 27．如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 28．苏州水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点，，在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为，求的长．（结果精确到．参考数据：，tan40°） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故C选项错误； ，故B选项错误； ，故A选项正确； ，故D选项错误； 故选A． 2．D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据正弦的定义（对边与斜边的比值）计算的值． 【详解】解：取格点D，连接、，则，A、B、三点不共线， 由网格可知，， 在中， ， ， 故选：． 3．B 【分析】根据结合三角函数的增减性求解即可． 【详解】解：由，得，故①正确； ∵，，∴，∴，故②错误； 当时，，故③错误； ，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的性质，记住特殊角的三角函数值和掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 4．A 【分析】本题主要考查了余弦和正弦的定义，根据正弦的定义得到，再由余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 6．B 【分析】本题考查三角形的中线性质、勾股定理、正切定义，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 过B作交延长线于H，先根据三角形的中线平分该三角形的面积和三角形的面积公式求得，再根据正切定义求得，则，然后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：过B作交延长线于H，则， ∵是的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：B． 7．D 【分析】①设正方形的边长为2,然后求出AE、FC、EF，然后比较正切函数值即可； ②由已知条件，可得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线； ④结合②③的结论，确定CF和CD的关系，从而可以判断CF=CD是否成立； ④由已知条件和全等三角形的判定与性质以及线段的和差即可判定AF=AB+CF是否成立． 【详解】解：设正方形的边长为2 ∵在正方形ABCD中， E是BC的中点 ∴AB=BC=2，BE=EC=AB=1，∠C=∠B=90°， ∴AE=,tan∠BAE= ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE =90°， ∴∠BAE=∠BAE ∴tan∠FEC=,CE=1 ∴CF= ∴EF= ∴tan∠EAF = ∴∠BAE＝∠EAF，故①正确； ∴tan∠CFE=，tan∠AFE=， ∴∠AFE=∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确； ∵BC=CD，BC=2CE=4CF， ∴CF=CD，故③正确； 作EG⊥AF于点G， ∵FE平分∠AFC，∠C=90°， ∴EG=EC， ∴EG=EB， ∵∠B=∠AGE=90°， 在Rt△ABE和Rt△AGE中 AE=AE，EB=EG ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL） ∴AB=AG， 又∵CF=GF，AF=AG+GF， ∴AF=AB+CF，故④正确； 综上共有4个正确结论． 故答案为D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，明确题意并正确运用数形结合的思想是解答本题的关键． 8．B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了三角形内角和性质，特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，从而求出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 即， ∵，均为锐角， ∴， ∴， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意； B、，原式正确，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项不符合题意； D、，则，原式不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 11．A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 12．D 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 根据，构造直角三角形，过点作于点，过点作于点，由是等腰三角形，利用“三线合一”的性质可证明，根据相似三角形的性质建立方程组，解方程组即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图： ， ， 设，，则 在中， ，即 在中，由勾股定理得 联立 解得：， ． 故选：D． 13．A 【分析】依题意得是等腰直角三角形，则，设，则，由折叠性质得，，由勾股定理得，根据三角形外角性质得，进而得，在中，根据正切函数定义得，继而可得的值． 【详解】解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，锐角三角函数的定义，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 14．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定及解分式方程，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据题意可得，，，，，根据，得出是等腰直角三角形，设，根据的正切函数可得，解方程求出的值，根据即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意得：，，，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 故选：A． 15．D 【分析】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，米，，，在直角三角形中，利用正切值，求出，米， 在中，米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，米，，， 米，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （米）， 故选：D． 16．D 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，可得，可得，由，可求出的长，再由，可得，由此在中可分别求出和的长，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 则， ，， ，， ， ， ， ， 又∵， ， ∴，， ，， ， ∴在中，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等相关知识，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键． 17． 【分析】本题考查了菱形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，求一个角的正弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由四边形是菱形，得，，再结合为的中点，得，，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查锐角三角函数，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由勾股定理及逆定理可证明为等腰直角三角形，则题目可求． 【详解】解：连接，由勾股定理得： ， ∴， ，且， ∴． 故答案为：．    19． 【分析】本题主要考查了余切定义，勾股定理，灵活的使用余切定义是解题的关键，易错点在于搞混正切定义与余切定义，余切定义：邻边比对边；正切定义：对边比邻边；先在中根据余切的定义求出AC的长，在中找到与的比例关系，再利用勾股定理建立等式，据此求出CD的长即可． 【详解】解：在中， ， ，． 在中， ，． ， ， 故答案为． 20． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角的直角三角形性质是解题的关键．先在含角的直角三角形中求出的长度，再在含角的直角三角形中利用角的性质求出的长度． 【详解】解：在中，，， ，， ． 在中，， ． 故答案为： ． 21．/ 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 首先根据得到，然后利用得到，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：，米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 米， 故答案为：． 22．/0.6 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，三角函数．先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴，， 在中， ∴， ∴， 设，则 在中，∵， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 23．(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 24．(1) (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数，涉及到勾股定理，正切值，利用三角函数值求线段的长，解题的关键是掌握三角函数的定义． （1）在中，利用勾股定理求得，再根据三角函数的定义求解即可； （2）在中，，在中，，求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理可得，， 根据三角函数的定义可得，； （2）解：在中，，，， 由三角函数的定义可得，， ∵， ∴， 在中，， 由三角函数的定义可得，， 则． 25．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余，三角形外角性质，等式的性质解答即可； （2）根据平行线分线段成比例定，矩形的判定和性质，正切函数的定义，勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，三角形外角性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，正切函数，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴. （2）解：延长、相交于点，过点作，垂足为点 ∵，是的中点， ∴ ∵， ∴即 ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴ 在中，， ∴， 根据题意，得四边形是矩形 ∴，， ∴ 在中， . 26．(1) (2) 【分析】本题主要考查多边形内角和公式、矩形的判定与性质以及三角函数的应用，解题关键在于∶利用多边形内角和公式求角度及作辅助线构造矩形和直角三角形． （1）由且可先得出和的度数，再根据多边形内角和公式(n边形内角和为，五边形内角用内角和减去已知的角，即可求出； （2）过点A作，过点E作，先根据矩形的判定和性质得到，再通过角度关系求出，最后利用三角函数求出，两者相加得到建筑高度 【详解】（1）解∶ ，垂直于地面， ． ，，． 在五边形中， 答：的度数． （2）(2)解∶ 过点A作，垂足为F，过点E作，垂足为G， ，， 四边形为矩形． ， ． ， ． ， ． 该建筑的高度为 答：该建筑的高度是． 27．6.4米 【分析】延长，交于点，则，解，求出的长，解，求出的长，进而求出的长． 【详解】延长，交于点，则， 由题意：，，米，米， 由于四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∵， ∴， ∴(米)． 答：显示屏的高度约为米． 【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数知识解直角三角形，构造合适的直角三角形求出相应的线段是解本题的关键． 28．(1)两滑梯高度差为； (2)长． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为； （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $