3.3勾股定理的简单应用（基础篇）练习2025-2026学年苏科版 数学八年级上册

3.3勾股定理的简单应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、勾股定理基本公式 1. 公式内容：对于直角三角形，若两条直角边的长度分别为 (a)、(b)，斜边长度为 (c)，则有。 2. 公式变形： · 已知直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一直角边 (b)：； · 已知直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一直角边 (a)：。 二、勾股定理的直接应用场景 1. 已知两边求第三边： · 若已知直角三角形的两条直角边，直接代入公式求斜边； · 若已知一条直角边和斜边，通过变形公式求另一条直角边。 示例：直角三角形中，直角边 ，，则斜边；若斜边 ，直角边 ，则另一直角边。 2. 判断三角形是否为直角三角形： · 已知三角形三边长 (a)、(b)、(c)（(c) 为最长边），若满足，则该三角形为直角三角形；否则不是。 示例：三边长为 (5)、(12)、(13)，因，故为直角三角形。 三、勾股定理在实际生活中的应用 1. 最短路径问题： · 平面最短路径：如在长方形网格中，从一个顶点到对角顶点的最短路径（沿格线行走），可转化为直角三角形求斜边长度。 · 立体图形展开：如圆柱侧面、长方体表面的最短路径，需将立体图形展开为平面图形，再用勾股定理计算。 2. 高度与距离计算： · 梯子靠墙问题：梯子长度为斜边，梯子底部到墙的距离和梯子顶端到地面的高度为直角边。 · 两点间距离：如测量河宽、建筑物高度等无法直接测量的距离，通过构造直角三角形求解。 3. 折叠问题： · 将图形（如长方形、直角三角形）折叠后，利用折叠前后对应边相等，结合勾股定理列方程求解未知边长。 四、注意事项 1. 区分直角边与斜边：应用公式时需明确直角边和斜边，避免混淆 (a)、(b)、(c) 的含义。 2. 单位统一：计算前确保各边长单位一致，结果带上单位。 3. 方程思想的应用：遇到未知量时，设未知数并根据勾股定理列方程求解（如折叠问题、动态几何问题）。 4. 结果合理性：解应用题时，需检验结果是否符合实际意义（如长度不能为负、路径长为正数等）。 型 习 练 题 勾股定理与网格问题 1．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 2．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 3．如图，点在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长均为1．下列关于边长的说法，正确的是（　　） A．长是有理数，长均为无理数 B．三边长均为无理数 C．为直角三角形 D．为等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，无理数的识别，等腰三角形的定义，利用勾股定理求出的长，即可判断A、B、D，再利用勾股定理的逆定理即可判断C． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴长是有理数，长均为无理数，故A说法正确，B说法不正确； ∵， ∴不是直角三角形，故C说法不正确； ∵互不相等， ∴不是等腰三角形，故D说法不正确； 故选：A． 4．【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定、勾股定理与网格问题，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．根据勾股定理与网格问题、三角形全等的判定画出左下角的正方形中，与全等的格点三角形，同样的方法可得在左上角的正方形中，在右上角的正方形中，在右下角的正方形中，由此即可得答案． 【详解】解：如图，在左下角的正方形中，共有7个格点三角形与全等． 同理，在左上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 在右下角的正方形中，共有8个格点三角形与全等， 所以可以与全等的格点三角形共有（个）．（不含） 故选：D． 5．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 勾股定理与折叠问题 6．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 8．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 9．如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，再解方程求得x，进而求得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 10．如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 由题意得是直角三角形，，可知，在中，，代入求值即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴即 ∴是直角三角形， ∵为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处， ∴ ∴ ∴   设，则 在中， ∴，解得 故选：C. 求梯子滑落高度 11．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 12．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 13．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；在中，利用勾股定理，求出，在中，利用勾股定理求出，再求和即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴在中，， 即， ∵， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∴两个书柜之间的距离为2.2米； 故选：B． 14．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，利用梯子下滑过程中的长度保持不变，建立a，x，y的等式，然后进行判断即可． 【详解】解：设， 由勾股定理得： ， ∴， 化简得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 15．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求． 【详解】解：如图， 已知， 设， 则， 则在中，， 在中，， 联立方程组解得：， 故选：B． 去大树折断前的高度 16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：D． 17．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 18．《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 19．如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 【答案】D 【分析】本题可将竹子折断的部分与地面构成直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分离地面的高度，从而得到竹子折断前的高度．本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺的部分为直角边，顶端落地点离竹子底端尺为另一直角边，折断部分为斜边． 根据勾股定理 则竹子折断之前的高度为（尺） 故选：D． 20．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出图形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意得：，，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， 即这棵树折断之前的高度为， 故选：B． 判断是否受台风影响 21．“雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； (3)若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】(1) (2)学校C会受噪声影响，画图见解析； (3)环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理计算即可； （2）过点C作于D，利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴是直角三角形． ∴， ∴， 解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响； （3）解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵， 同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟40米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 22．2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 23．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 24．如图，有一台风中心以的速度沿东西方向由点移动到点，且台风中心周围以内为受影响区域．已知，点为一海港，且，． (1)___________； (2)海港C会受台风影响吗？若会受到影响，请计算海港C受台风影响的时长． 【答案】(1) (2)港受台风影响，台风影响该海港持续的时间为10小时． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用． （1）由勾股定理逆定理可证明为直角三角形，且； （2）过点作于点D，由等面积法可求出，即说明海港受台风影响． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且； 故答案为：； （2）解：海港受台风影响， 过点作，   是直角三角形， ， ， ， ，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； 当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时长为10小时． 25．台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响。 （2）解：如图，以为圆心，为半径画圆，交于， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为30千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 勾股定理的逆定理 26．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．    (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)购买运动型塑胶地板的总费用为22800元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）由勾股定理即可求出的长度； （2）先由勾股定理的逆定理，得出为直角三角形，再根据结合三角形的面积公式求出四边形的面积，然后由运动型塑胶地板单价即可得出结果． 【详解】（1）解：米，米， 米； 答：的长度为米； （2）解：，， ， 为直角三角形，， （米）， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）， 答：购买运动型塑胶地板的总费用为22800元． 27．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间一条小路，已知米，米，米，． (1)求的长； (2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 【答案】(1)的长为米； (2)这条水渠的最短长度为米． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理推得是直角三角形，，则，再由勾股定理可得； （2）过点作，垂足为点，由垂线段最短可得的长即为水渠的最短长度，结合三角形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，， ， ， 在中，； （2）解：过点作，垂足为点， 根据垂线段最短，的长即为水渠的最短长度， ， ， 水渠的最短长度为米． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理、垂线段最短，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 28．某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，如图在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路分隔（宽度忽略不计），经测量，米，米，米，米． (1)求的度数； (2)若每米石子路的造价为20元，当石子路时最短，求修小路的最少花费． 【答案】(1) (2)修小路的最少花费是288元． 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）利用勾股定理逆定理得出是以为直角的直角三角形，即可证明结论； （2）用勾股定理求出的长，由，利用等积法求，根据铺设石子路每米20元，列式计算即可解答． 【详解】（1）因为，， 所以， 所以是以为直角的直角三角形， 所以； （2）由（1）可知， 在中，由勾股定理得： （米） ， 即， （米）， （元）， 故修小路的最少花费是288元． 29．如图，郑州北龙湖湿地公园有一块四边形草坪，草坪内为一条小路，经测量，，，，，． (1)求草坪拐角的度数； (2)小熙和小狗在草坪上玩耍，小熙站在点处，小狗从点开始以的速度沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，小狗跑多少秒时与小熙的距离最近？ 【答案】(1) (2)秒 【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，再利用勾股定理的逆定理解答即可． （2）过点B作于点H，再运用面积法，勾股定理计算，最后结合运动速度作答即可． 本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴． （2）解：过点B作于点H， ∵，，，， ， ∴， ∴， 故时间为：， 故小狗跑秒时与小熙的距离最近． 30．如图是某工厂的平面图，经测量，，．求该厂区的总面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∵，, ∴, ∴, 该厂区的总面积． . 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3勾股定理的简单应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、勾股定理基本公式 1. 公式内容：对于直角三角形，若两条直角边的长度分别为 (a)、(b)，斜边长度为 (c)，则有。 2. 公式变形： · 已知直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一直角边 (b)：； · 已知直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一直角边 (a)：。 二、勾股定理的直接应用场景 1. 已知两边求第三边： · 若已知直角三角形的两条直角边，直接代入公式求斜边； · 若已知一条直角边和斜边，通过变形公式求另一条直角边。 示例：直角三角形中，直角边 ，，则斜边；若斜边 ，直角边 ，则另一直角边。 2. 判断三角形是否为直角三角形： · 已知三角形三边长 (a)、(b)、(c)（(c) 为最长边），若满足，则该三角形为直角三角形；否则不是。 示例：三边长为 (5)、(12)、(13)，因，故为直角三角形。 三、勾股定理在实际生活中的应用 1. 最短路径问题： · 平面最短路径：如在长方形网格中，从一个顶点到对角顶点的最短路径（沿格线行走），可转化为直角三角形求斜边长度。 · 立体图形展开：如圆柱侧面、长方体表面的最短路径，需将立体图形展开为平面图形，再用勾股定理计算。 2. 高度与距离计算： · 梯子靠墙问题：梯子长度为斜边，梯子底部到墙的距离和梯子顶端到地面的高度为直角边。 · 两点间距离：如测量河宽、建筑物高度等无法直接测量的距离，通过构造直角三角形求解。 3. 折叠问题： · 将图形（如长方形、直角三角形）折叠后，利用折叠前后对应边相等，结合勾股定理列方程求解未知边长。 四、注意事项 1. 区分直角边与斜边：应用公式时需明确直角边和斜边，避免混淆 (a)、(b)、(c) 的含义。 2. 单位统一：计算前确保各边长单位一致，结果带上单位。 3. 方程思想的应用：遇到未知量时，设未知数并根据勾股定理列方程求解（如折叠问题、动态几何问题）。 4. 结果合理性：解应用题时，需检验结果是否符合实际意义（如长度不能为负、路径长为正数等）。 型 习 练 题 勾股定理与网格问题 1．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 3．如图，点在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长均为1．下列关于边长的说法，正确的是（　　） A．长是有理数，长均为无理数 B．三边长均为无理数 C．为直角三角形 D．为等腰三角形 4．【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（   ）个．（不含） A．7 B．29 C．32 D．31 5．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 勾股定理与折叠问题 6．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 8．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 9．如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A． B．4 C．5 D．8 10．如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 求梯子滑落高度 11．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 13．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 14．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 15．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 去大树折断前的高度 16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 17．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 18．《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 19．如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 20．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 判断是否受台风影响 21．“雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； (3)若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 22．2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 23．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 24．如图，有一台风中心以的速度沿东西方向由点移动到点，且台风中心周围以内为受影响区域．已知，点为一海港，且，． (1)___________； (2)海港C会受台风影响吗？若会受到影响，请计算海港C受台风影响的时长． 25．台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 勾股定理的逆定理 26．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．    (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 27．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间一条小路，已知米，米，米，． (1)求的长； (2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 28．某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，如图在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路分隔（宽度忽略不计），经测量，米，米，米，米． (1)求的度数； (2)若每米石子路的造价为20元，当石子路时最短，求修小路的最少花费． 29．如图，郑州北龙湖湿地公园有一块四边形草坪，草坪内为一条小路，经测量，，，，，． (1)求草坪拐角的度数； (2)小熙和小狗在草坪上玩耍，小熙站在点处，小狗从点开始以的速度沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，小狗跑多少秒时与小熙的距离最近？ 30．如图是某工厂的平面图，经测量，，．求该厂区的总面积． 学科网（北京）股份有限公司 $