精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区2025一2026学年上学期八年级学业质量抽样监测数学（期中）

赛罕区2025—2026学年度第一学期八年级学业质量抽样监测 数 学 注意事项： 1．本试卷共4页． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分100分，考试时间共90分钟． 一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 图中是我们学习几何时常用的画图工具，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形．根据轴对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x， ∵三角形两边的长分别是1和4， ∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围． 3. 图中是两个全等的三角形，其中的字母表示三角形的边长，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，由，，根据三角形内角和定理求得，由全等三角形的性质得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，且，，， ∴， 故选：B． 4. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 5. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，且．在线段上有一动点，连接，则的最小值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短． 由作图过程可知，平分，作于点，由角平分线的性质，可得，由垂线段最短，可得，即可得的最小值． 【详解】解：由作图过程可知，平分， 作于点，则， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 6. 如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可知，、，，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得． 【详解】解：由题意得，、，， ， ， ， 故选：A． 7. 在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（ ） A. 线段与交于点 B. C. D. 是线段的中点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．去掉“线段与交于点”， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“线段与交于点”， ∴选项不符合题意； B．去掉“”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“”， ∴选项不符合题意； C．去掉“”， ∵线段与线段交于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 由“，，，”无法证明， ∴不能去掉“”， ∴选项符合题意； D．去掉“是线段的中点”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“是线段的中点”， ∴选项不符合题意． 故选：C． 8. 如图，已知，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中线的性质． 延长，交于点，证明，可得，可得，，可得，即可得的面积． 【详解】解：延长，交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______________________________，逆命题___________（填“成立”或“不成立”）. 【答案】 ①. 对应角相等的两个三角形全等 ②. 不成立 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题的概念以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握命题与逆命题的概念以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的．原命题的条件是“三角形全等”，结论是“对应角相等”，因此逆命题为“对应角相等的三角形全等”．但对应角相等只能推出三角形相似，不一定全等，故逆命题不成立． 【详解】解：原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”． 根据三角形全等的判定定理，对应角相等是三角形相似的条件，但并非全等的充分条件． 因此，逆命题不成立． 故答案为对应角相等的三角形全等、不成立． 10. 等腰三角形的一个内角的度数是，则它的底角的度数为___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 按照已知角为顶角或底角，进行分类讨论，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵， ∴的角可能为底角，也可能为顶角， 若的角为顶角，则它的底角的度数为， ∴它的底角的度数为或． 故答案为：或． 11. 如图，一条船从海岛出发，以每小时的速度向正东方向航行．出发时观测到灯塔在海岛的北偏东方向，到达港口时，观测灯塔在港口的北偏东方向，继续航行到海岛处时，观测到灯塔在海岛的北偏西方向，此时海岛与灯塔相距，则这条船从海岛到达港口时所用的时间为___________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方位角，等角对等边，三角形外角的性质． 根据题意可得，，，由三角形外角的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得这条船从海岛到达港口时所用的时间． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴这条船从海岛到达港口时所用的时间为（小时）． 故答案为：． 12. 如图，在中，，、分别为边、 上的动点，且满足，连接．当最小时，的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G，证明，得到，根据，得到当D，F，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，解答即可． 【详解】解：过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D，F，C三点共线时，取得最小值， 即取得最小值， 故当点D与点G重合时，取得最小值， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 如图，在中，是边上的高，． （1）若是的平分线，求的度数； （2）若是边上的中线，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 14. 如图，点、、、在一条直线上，． 求证：． 【答案】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质． 由，可得，结合已知可证明，可得，可得，即可证得结论． 【详解】略 15. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标； （2）点为轴上一动点，且使得的周长最小，请在图中标出点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，若点和关于直线对称，请利用直尺和圆规作出对称轴（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）如图： 点关于轴的对称点的坐标为； （2）如图： （3）如图： 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形，画对称轴，两点之间线段最短． （1）根据题意可得，，，用线段顺次连接，，，即为所求； （2）点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求； （3）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，直线即为所求． 【小问1详解】 解：∵，，，与关于轴， ∴，，， 用线段顺次连接，，，即为所求， 点关于轴对称的点的坐标为． 【小问2详解】 解：点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求． 【小问3详解】 解：分别以点，为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，直线即为所求． 16. 证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 【答案】 已知：如图，在和中，，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，且， 求证：． 证明：CM、FN分别是AB、DE边上的中线， 点M、N分别是AB、DE边的中点， ， ， ， 在和中，， ， ， 在和中，， ． 【解析】 【分析】先画出图形（见解析），写出已知、求证，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 17. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，直线相交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）已知，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质可得，，可得，根据线段垂直平分线的判定，即可证得结论； （2）由线段垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得，，利用三角形的内角和定理可求得，最后再利用三角形的内角和定理和角度的和差运算，即可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分，垂直平分，点在上，点在上， ∴，，， ∴，， 设，，  ∵  ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 18. 【综合与实践】 【教材再现】 问题1：如图1，，相交于点，比较与的大小． 请你完成问题1的解答过程． 【拓展探究】 问题2：如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别过点作射线的垂线，垂足分别为点，连接．求的度数． 小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数． 根据以上思路，完成问题2的解答过程． 【类比迁移】 问题3：如图4，在问题2的基础上，当运动到的中点时，试探究线段和线段的数量关系，并证明． 【答案】 问题1：； 问题2：的度数为； 问题3：，证明：在线段 上截取，连接， 由问题2可知 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】问题1：由对顶角相等，结合等角的余角相等，即可得与的大小关系； 问题2：在线段上截取，连接，由对顶角相等，结合等角的余角相等，可得，证明，可得，，可得，即可得的度数； 问题3：在线段上截取，连接，由问题2可知，可得，证明，可得，可得，即可得线段和线段的数量关系． 【详解】问题1： 解：∵，相交于点， ∴， ∵， ∴． 问题2： 解：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 问题3：略 【点睛】本题考查对顶角相等，等角的余角相等，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赛罕区2025—2026学年度第一学期八年级学业质量抽样监测 数 学 注意事项： 1．本试卷共4页． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分100分，考试时间共90分钟． 一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 图中是我们学习几何时常用的画图工具，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 图中是两个全等的三角形，其中的字母表示三角形的边长，则（ ） A. B. C. D. 4. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 5. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，且．在线段上有一动点，连接，则的最小值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 6. 如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（ ） A. B. C. D. 7. 在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（ ） A. 线段与交于点 B. C. D. 是线段的中点 8. 如图，已知，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______________________________，逆命题___________（填“成立”或“不成立”）. 10. 等腰三角形的一个内角的度数是，则它的底角的度数为___________． 11. 如图，一条船从海岛出发，以每小时的速度向正东方向航行．出发时观测到灯塔在海岛的北偏东方向，到达港口时，观测灯塔在港口的北偏东方向，继续航行到海岛处时，观测到灯塔在海岛的北偏西方向，此时海岛与灯塔相距，则这条船从海岛到达港口时所用的时间为___________小时． 12. 如图，在中，，、分别为边、 上的动点，且满足，连接．当最小时，的度数为___________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 如图，在中，是边上的高，． （1）若是的平分线，求的度数； （2）若是边上的中线，求的长． 14. 如图，点、、、在一条直线上，． 求证：． 15. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标； （2）点为轴上一动点，且使得的周长最小，请在图中标出点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，若点和关于直线对称，请利用直尺和圆规作出对称轴（不写作法，保留作图痕迹）． 16. 证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 17. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，直线相交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）已知，求的度数． 18. 【综合与实践】 【教材再现】 问题1：如图1，，相交于点，比较与的大小． 请你完成问题1的解答过程． 【拓展探究】 问题2：如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别过点作射线的垂线，垂足分别为点，连接．求的度数． 小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数． 根据以上思路，完成问题2的解答过程． 【类比迁移】 问题3：如图4，在问题2的基础上，当运动到的中点时，试探究线段和线段的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $