精品解析：山西省晋中市左权县等3地2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，直接利用比例的性质变形得出答案．由已知等式 直接求解 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( ) A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；将已知根 代入一元二次方程，直接求解 的值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 3. 如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， 故选：B． 4. 如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的宽为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质；根据相似多边形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设放大后矩形的宽为， ∵放大前后矩形相似， ∴， ∴，即放大后的矩形的宽为， 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，代入系数求解不等式． 【详解】解：∵方程 没有实数根， ∴判别式 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 6. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可． 【详解】解：如图，过作交格线于，则于， 由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，现测得，，则该菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理可得，然后根据菱形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴该菱形的周长为， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，同角的余角相等，坐标与图形，过作轴于点，过作轴于点，则，则，又四边形是正方形，得，，然后证明，所以，，因为点的坐标为，点的坐标为，所以，，，利用线段和差即可求出点的坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 9. 金秋葡萄迎丰收，“甜蜜”溢满清徐县，清徐是国内著名的葡萄产区之一，素有“葡萄之乡”的美称．2022年位于清徐县的某葡萄采摘园的年产量约为1吨，截至2024年底，三年总产量约为3.64吨．若设这三年中该采摘园葡萄的年平均增长率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据年平均增长率，分别计算2022年、2023年、2024年的产量，三年产量之和等于总产量3.64吨． 【详解】解：设年平均增长率为， ∵ 2022年产量为1吨， 2023年产量为吨， 2024年产量为吨， 三年总产量为， ∴ 所列方程为． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 先求出，证明，利用相似比得到，然后证明，同样利用相似比得到，完成求解． 【详解】解：∵于点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程，则k的值等于_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，最高次次数是2，且二次项系数不为零，列式子计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程， ∴方程最高次次数是2，且二次项系数不为零， 即： 解得：k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的基本概念是解题的关键． 12. 2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．直接利用频率估计概率即可得． 【详解】解：，，，，， 由此可知，抛掷一枚该纪念币正面朝上的稳定在附近， 所以可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在和中，，再添加条件_____可以使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据等式的性质可得出，只需要补充另一对应角相等或对应边的比相等，即可得到． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，则， 添加：，则， 添加：，则， 故答案为：（答案不唯一） 14. 小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，．接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和，求出的长度，然后再运用勾股定理求解即可． 【详解】由题意可知是菱形， ， 是等边三角形， , 是正方形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形、正方形的、等边三角形的性质以及勾股定理；灵活运用性质正确计算是解题的关键． 15. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，边被三等分，且．若图中阴影部分的面积为6，则四边形的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， ∵阴影部分的面积是 6 ， ， ， ， 故答案为：10． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ． 即或． 解得，． 17. 如图，菱形中，点E，F分别是边上的点，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是关键．根据菱形的性质得到条件证明，则，即可得到结论． 【详解】略 18. 如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴左侧画出，使得与的相似比为2； （2）在（1）的条件下，若点在内，直接写出点的对应点的坐标为__________． 【答案】（1） 作图如下： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换的概念和应用，需要根据位似中心和相似比来确定新图形的顶点坐标，准确利用知识点求解是解题的关键． （1）根据与的相似比为2和在第三象限，可得，，，连接即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可； 【小问1详解】 根据题意可得与的相似比为，且在第三象限， ，，， ，， 【小问2详解】 在内， 在内， 与的相似比为，， 的横坐标为：，纵坐标为， ． 故答案是：． 19. 晋中市位于山西省中部，东依太行山，西临汾河，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．在一次数学活动课上，老师将分别印有“A．平遥牛肉，B．太谷饼，C．榆次灌肠，D．寿阳豆干”这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．请你用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中该班的小军和小明两名同学所抽取的特产不同的结果有12种， 所以P（该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同）． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 素材一：某水果店热销一批凤梨，其进价每个为5元，当售价每个为25元时，平均每天可以卖出120个． 素材二：经市场调研发现，售价每个每下降1元，每天可多卖出10个． 任务一：分析变量关系 （1）若设每个降价x元，则平均每天的销售数量为_________个．（用含x的代数式表示） 任务二：探索调整方案 （2）该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【答案】（1）；（2）下降2元或6元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据售价每个每下降1元，每天可多卖出10个，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，设每个降价x元，则平均每天的销售数量为个； （2）设每个降价元． 根据题意，得． 整理，得，解得，． 答：将售价每个下降2元或6元，能使每天的利润达到2520元． 21. 综合与探究 【问题背景】在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【问题提出】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【问题解决】经过学习小组合作、探究、展示，其中的两种作辅助线的方案如下： 方案一：连接，如图②； 方案二：将绕点E旋转至处，如图③． （1）请你任选其中一种方案进行证明． 【深入探究】 （2）点E在移动过程中，当点P恰好落在对角线上时，如图④，求的长． 【答案】 （1）方案一：连接． ∵四边形是矩形， ∴． ∵E为的中点， ∴． 由折叠的性质，得，，， ∴，． 又∵， ∴． ∴． 方案二：将绕点旋转至处． ∵四边形是矩形， ∴． 由旋转的性质，得，，． ∴，即点D，C，R共线． 由折叠的性质，得，， ∴，． ∴． ∴，即． （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理与折叠等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方案一：连接，根据证明即可得出结论； 方案二：证明，，得，由可得结论； （2）由勾股定理求出，根据折叠的性质得，，．，．在中，由勾股定理，得，即，解得， 【详解】（1）略 （2）∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴． 由折叠的性质，得，，． ∴，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴的长为3． 22. 项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： （1）像的长度为__________厘米； （2）已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 【答案】（1） （2） ①证明：光线AP平行于主光轴l， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意，根据相似三角形的判定与性质求解是关键． （1）先证明，再根据相似三角形的相似比等于对应高之比，列方程求解即可； （2）①先证明，再证明，即得结论； ②先证明四边形为矩形，得到，由得，再证明，得到，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ， 解得． 故答案为：． 【小问2详解】 ①略 ②解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 由①，知， ， ， ， ， ， 解得， 所以凸透镜焦距OF的长为厘米． 23. 综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作】如图，已知菱形，求作点O，使得点O到三个顶点A，D，C的距离相等． 小红同学设计如下作图步骤； ①连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径在的上方与下方作弧，上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点O； ③连接，，则． （1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【证明结论】 （2）求证：． 【拓展延伸】 （3）当时， ①求证：； ②直接写出与的面积比． 【答案】 （1）解：根据小红同学设计，作图如下： （2）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （3）①证明：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据小红同学设计作图即可； （2）由菱形可得，，即得，有，而垂直平分，有，故； （3）由，可得，求出，，，，即可得； （3）根据相似三角形的性质可得 ，证明，设，，有，从而， 从而可得面积比 ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①略 ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，（其中），则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，菱形的性质及应用，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( ) A. 2 B. C. 1 D. 3. 如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的宽为（　　） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 48 7. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，现测得，，则该菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 金秋葡萄迎丰收，“甜蜜”溢满清徐县，清徐是国内著名的葡萄产区之一，素有“葡萄之乡”的美称．2022年位于清徐县的某葡萄采摘园的年产量约为1吨，截至2024年底，三年总产量约为3.64吨．若设这三年中该采摘园葡萄的年平均增长率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程，则k的值等于_________． 12. 2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____． 13. 如图，在和中，，再添加条件_____可以使． 14. 小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，．接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为__________． 15. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，边被三等分，且．若图中阴影部分的面积为6，则四边形的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，菱形中，点E，F分别是边上的点，，求证：． 18. 如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴左侧画出，使得与的相似比为2； （2）在（1）的条件下，若点在内，直接写出点的对应点的坐标为__________． 19. 晋中市位于山西省中部，东依太行山，西临汾河，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．在一次数学活动课上，老师将分别印有“A．平遥牛肉，B．太谷饼，C．榆次灌肠，D．寿阳豆干”这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．请你用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 素材一：某水果店热销一批凤梨，其进价每个为5元，当售价每个为25元时，平均每天可以卖出120个． 素材二：经市场调研发现，售价每个每下降1元，每天可多卖出10个． 任务一：分析变量关系 （1）若设每个降价x元，则平均每天的销售数量为_________个．（用含x的代数式表示） 任务二：探索调整方案 （2）该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 21. 综合与探究 【问题背景】在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【问题提出】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【问题解决】经过学习小组合作、探究、展示，其中的两种作辅助线的方案如下： 方案一：连接，如图②； 方案二：将绕点E旋转至处，如图③． （1）请你任选其中一种方案进行证明． 【深入探究】 （2）点E在移动过程中，当点P恰好落在对角线上时，如图④，求的长． 22. 项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： （1）像的长度为__________厘米； （2）已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 23. 综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作】如图，已知菱形，求作点O，使得点O到三个顶点A，D，C的距离相等． 小红同学设计如下作图步骤； ①连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径在的上方与下方作弧，上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点O； ③连接，，则． （1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【证明结论】 （2）求证：． 【拓展延伸】 （3）当时， ①求证：； ②直接写出与的面积比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $