精品解析：北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

高二第一学期期中试卷 数学 （高24级）2025.11 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在正方体中，下列直线与异面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，根据图形，利用异面直线的判定方法判定. 【详解】如图，可知与都在平面中，与平行，,只有与既不平行又不相交，也就是异面， 故选：C 2. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的性质列出式子即可求出. 【详解】，，， 当时，设，即，解得、， ， 故选：. 3. 已知球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积与圆柱的表面积之比为（ ） A. 1:1 B. 2:3 C. 3:4 D. 1:2 【答案】B 【解析】 【分析】求出球的表面积与圆柱的表面积可得答案. 【详解】球的半径为，则球的表面积为， 圆柱的底面半径为，高为， 则圆柱的表面积为， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算，代入依次判断即可. 【详解】因为恒成立，所以函数定义域为， 由题意可得， 所以， 所以函数是定义在上的奇函数，故A正确， 而，故B错误， 而，非定值，故C，D错误. 5. 已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面平行的判定及性质可得. 【详解】充分性:若,则由直线与平面平行的性质，存在直线，. 必要性：若存在直线，，则可能平行于或在内， 故选：A 6. 在正方体中，为的中点，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示： 不妨设正方体的棱长为2， 则, 得, 则， 设与所成角为， 则， 则与所成角为大小为. 故选：B 7. 已知数列满足：，对于任意的，有，，则（ ） A. 5050 B. 50 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设可推出，再根据求出其通项，最后分组求和即可. 【详解】，即， 则，且 则为首项为0的常数列， 则，则， 又因为，且，可知数列的项的符号正负交替， 则当为奇数时，， 当为偶数时，， 则. 故选：D. 8. 函数，.设的最大值为，最小值为，当，，在变化时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论函数在区间上的单调性，利用变换主元及二次函数性质求解即可. 【详解】当时，在上单调递增， ， 则， 令， 因为在定义域内单调递增，所以， 当且仅当时等号成立，此时的最小值为； 当时，即时，在上单调递减， ， 则， 令， 因为在定义域内单调递减，所以， 当且仅当时等号成立，此时的最小值为； 当时，由二次函数性质可知，要使有最小值， 则，即，此时，， 所以； 综上：的最小值为. 故选：C 9. 在正四棱锥中，，侧面与底面所成的角的正切值为2，记正方形及内部区域为，则表示区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，连接，根据正四棱锥的结构特征结合二面角可得，分析可知，进而可知所求区域的特征和面积. 【详解】设，连接，则平面， 取的中点，连接，则， 因为，，则，， 可知二面角的平面角为， 由题意可知：，可得， 连接，因为平面，平面，则， 可得，可知点在以为圆心，半径为的圆上或圆内， 取临界值，且，，则， 可知点在区域内的部分如图阴影部分所示： 则，可知， 根据对称性可得，， 所以表示区域的面积为. 故选：D. 10. 定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，互为5阶友好数列 B. 若，则，，互为5阶友好数列 C. 若，则，使，互为4阶友好数列 D. 若，则，使，互为4阶友好数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据阶友好数列的定义排除A、B、C. 【详解】A选项，当时，数列的公差为，，， 是公比为的无穷项等比数列，所以， 因为，，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以，当时，，则， 此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故A错误； B选项，当时，数列的公差为，， 当时，， 令，， 所以，可知在上单调递减， 所以，可知在上单调递减， 所以，即， 所以，则， 此时不存在，使得，不满足5阶友好数列的定义，故B错误； C选项，由A知，，， 在上单调递增，则， 又因为，所以，， 则，即， 所以不存在，使，互为4阶友好数列；故C错误； D选项，时，数列的公差为，， 取，时，，满足4阶友好数列，故D正确. 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 12. 已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题______________. 【答案】①②③或①③② 【解析】 【分析】设，的方向向量为，平面的法向量为，通过向量法确定位置关系即可. 【详解】，的方向向量为，平面的法向量为， ①②③ 因为，所以， 又，所以，即， 又，所以， 又因为所以； ①③② 因为，所以，即 因为，所以， 所以，即； ②③① 若，， 则，或相交，或，不成立 故答案为：①②③或①③② 13. 轴截面为正方形的圆柱形容器，其底面半径为cm，在该容器内放入一个半径为cm的实心铁球后，该容器最多还能装的水，则______________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据圆柱与球的体积公式，即可求解. 【详解】依题意可知，， 得，得. 故答案为：6 14. 设，关于的方程的实根个数记为，若，则______________；已知，若存在使得，则的取值范围是______________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】令，根据函数的值域为可得；分、讨论结合的图象可得的取值范围. 【详解】令， 函数的值域为，并且函数是单调递增函数， 故方程，只有一个解，故，可得； 当时，即，的图象如下， 显然存在使得；. 当时，即，的图象如下， 要想存在使得，只需， 即,得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在棱，上，且，点为的中点，给出下面四个结论： ①； ②存在，使得是钝角； ③当时，的面积取得最小值； ④当时，平面截该正方体的表面所得的截面为六边形. 其中正确结论的序号为____________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理、性质定理可判断①；以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据可判断②；利用向量法求出点到直线的距离，再由的面积为可判断③；利用平行关系做出平面与正方体的截面可判断④. 【详解】对于①，连接， 因为，，，平面 所以平面，平面，所以，故①正确； 对于②，以点为原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，则， ， 若是钝角，则， 即，解得，又因为，且， 故存在，使得是钝角，故②正确； 对于③，当时，， ， ，点到直线的距离 ， 则的面积为 ，因为，所以无最小值，故③错误； 对于④，当时，分别延长相交于点，过点做 分别交于于点，连接，过点做， 连接，则平面与该正方体的表面的交线分别为，即平面截该正方体的表 面所得的截面为六边形，故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，，. （1）求的值； （2）求的单调递减区间； （3）函数在上的零点个数恰为2个，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）代入已知条件即可求出； （2）对题干中的式子利用公式化成正弦型函数，再利用其性质即可； （3）根据题干结合正弦函数的性质列出不等式即可. 【小问1详解】 ，.因为，所以. 【小问2详解】 于是. 设，.解得，. 因此的单调递减区间为，. 【小问3详解】 因为，所以. 因为函数在上的零点个数恰为2个，所以. 解得.即. 17. 在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面，，求直线平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接和，因为，分别为，的中点， 所以.在正方形中，，因此. 又因为，，所以， 于是四边形是平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接和，利用线面平行的判定定理可得答案； （2）设，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，四边形为正方形， 所以，，两两垂直，不妨设，如下图建系， 由题知：，，，，，. 于是，，. 设平面的一个法向量为，于是 ，令，则， 于是是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 于是， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.已知. （1）求角； （2）已知，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一.求的面积. ①；②；③周长为. 【答案】（1） （2） 选①，， 选②，不存在. 选③，. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义及三角形面积公式即可求解； （2）选①由正弦定理求得，再由结合面积公式即可求解；选②由可判断无解；选③，由余弦定理求得，进而可求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 选①化简， 由正弦定理知，， 选②因为，所以不存在. 选③周长，， 由余弦定理，， 故，解之， . 19. 如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，， （1）求证：为中点； （2）设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是30°，求的值. 【答案】（1） 在三棱柱中，平面平面， 而平面平面， 平面平面， 得， ，， 为中点，为中点. （2）. 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，且为中点， 在中，由余弦定理可知： 故在中，，即， 平面平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建系， 由题知：，，，， 平面的一个法向量， 设，其中 ， 设平面的法向量 ， 令，，， 故 即，解得或（舍）， 故. 20. 已知函数. （1）求的最大值； （2）曲线在点处的切线为，除切点外，在曲线的上方，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，判断出的单调性可得答案； （2）求出在处切线的方程，设，分、、讨论可得答案. 【小问1详解】 定义域为，因为 所以.令，则. 因为 2 0 极大值 于是； 【小问2详解】 已知为参数，，在处切线的方程为. 设. 除切点以外，在上方等价于，. 当时，由（1）可得， 所以.注意到当时，. 当充分大时，一次函数的取值为正. 所以当充分大时，，因此不合题意. 当时.由（1）可得，， .因此符合题意. 当时.由（1）可得.. ①若，则，于是. ②若，令，则 ， 于是在上单调递减. 注意到，令，则.于是由①，②可得 0 极大值 于是，且，. 因此符合题意. 综上所述，的取值范围是. 21. 已知整数，行列的数表满足：对任意的，都有，且数表中所有数字之和为0.记为所有这样的数表构成的集合，记，分别为的第行各数之和，第列各数之和. （1）已知数表，求，； （2）证明：对任何表，，，，，，，，，，中必有两个相等； （3）设数表，记，，…，，，，…，中的最小值为，求的最大值. 【答案】（1），. （2） 假设存在数表，，…，；，…，两两不相等. 由，，…，；，…，. 由条件，. 而， 所以除0之外，，，…，4，5在，…，；，…，中均恰出现1次. 不妨设， 则的第1行全为1，，…，， 所以， 不妨设，， 则的第2行全为， 从而，…，， 所以， 不妨设，但， 所以. 与，…，；，…，中不出现0矛盾. 综上，对任何数表，，…，；，…，中必有两个相等. （3）5. 【解析】 【分析】（1）由，的定义求解即可； （2）利用反证法证明即可； （3）令，，或，从而得，再用反证法证明存在数表，使得，即可得证明. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，，或 此时. 下证：对数表，都有. 否则，假设存在数表，使得. 则；均大于5. 不妨设，…，中至少有5个是正数（否则，将数表每个数变成相反数）且，…，. 设的前5行构成数表， 则. 不妨设， 必有.否则，，均不大于5，.矛盾. ，得均大于等于-5. 由假设，，所以均大于5. 至此，我们有 ，矛盾. 综上，的最大值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一学期期中试卷 数学 （高24级）2025.11 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在正方体中，下列直线与异面的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积与圆柱的表面积之比为（ ） A. 1:1 B. 2:3 C. 3:4 D. 1:2 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 在正方体中，为的中点，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足：，对于任意的，有，，则（ ） A. 5050 B. 50 C. D. 8. 函数，.设的最大值为，最小值为，当，，在变化时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 在正四棱锥中，，侧面与底面所成的角的正切值为2，记正方形及内部区域为，则表示区域的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列.已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，.下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，互为5阶友好数列 B. 若，则，，互为5阶友好数列 C. 若，则，使，互为4阶友好数列 D. 若，则，使，互为4阶友好数列 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________. 12. 已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题______________. 13. 轴截面为正方形的圆柱形容器，其底面半径为cm，在该容器内放入一个半径为cm的实心铁球后，该容器最多还能装的水，则______________. 14. 设，关于的方程的实根个数记为，若，则______________；已知，若存在使得，则的取值范围是______________. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在棱，上，且，点为的中点，给出下面四个结论： ①； ②存在，使得是钝角； ③当时，的面积取得最小值； ④当时，平面截该正方体的表面所得的截面为六边形. 其中正确结论的序号为____________. 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，，. （1）求的值； （2）求的单调递减区间； （3）函数在上的零点个数恰为2个，求实数的取值范围. 17. 在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面，，求直线平面所成角的正弦值. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.已知. （1）求角； （2）已知，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一.求的面积. ①；②；③周长为. 19. 如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，， （1）求证：为中点； （2）设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是30°，求的值. 20. 已知函数. （1）求的最大值； （2）曲线在点处的切线为，除切点外，在曲线的上方，求的取值范围. 21. 已知整数，行列的数表满足：对任意的，都有，且数表中所有数字之和为0.记为所有这样的数表构成的集合，记，分别为的第行各数之和，第列各数之和. （1）已知数表，求，； （2）证明：对任何表，，，，，，，，，，中必有两个相等； （3）设数表，记，，…，，，，…，中的最小值为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $