卷4 必修第二册(下)-【三新金卷】2027年高考数学总复习·滚动综合卷（适用豫陕晋青宁川云甘桂粤）

2027高考总复习·滚动综合卷（四） 数学答题卡 准考证号 班 级 [0][0J[0][0][0][0][0][0][0][0 姓 名 [1[1][1][1][1[1][1][1J[1][1 [2][2][2][2][2J[2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3][3 考场号 [4][4][4][4][4][4][4][4][4][4 [5][5][5][5][5J[5[5][5][5[5 [6][6][6][6][6][6][6][6][6][6 座位号 [7][7][7][71[7][7J[7][71[7][7 [8][8][8][8][8][8][8][8][8[8 [9][9][9][9][9J[9][9][9][9][9 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 意 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置」 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫 事 米黑色墨水签字笔作答，字体工整，笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题日的规定答题区域内答题，超出答题 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无微。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂：■ 错误填涂：的B☐p 缺考标记：☐ 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高考总复习·滚动综合卷（四）数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高考总复习·滚动综合卷（四）数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！2027高考总复习·滚动综合卷·数学（四） 4.必修第二册（下）+滚动内容 班级 姓名 考号 得分 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列求导运算正确的是 A(+/=1+ B.(in}/=cos牙 C.(log2x)'=- In2 D.(=出 e 2.已知函数f(x)=(一x2十2x十2)e(x∈R),则函数f(x)的单调递减区 间为 A.(-∞，-2)U(2,+∞) B.(1,2) C.(-2,2) D.(-∞，-2)，(2，十∞) 3.若曲线y=x3十ax在点(1，a+1)处的切线方程为y=7x十m,则m= A.3 B.-3 C.2 D.-2 4.已知函数f(x)的导数为f(x),且f(x)=2xf(e)+lnx,则f(e)= A-日 B.-1 C.1 D.e 5.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x一a)2(x一b)的极大值点，则 A.a<b B.ab C.ab<a2 D.aba2 6.已知曲线f(x)=号x在点(1，f(1)》处切线的倾斜角为a,则 sin2a-cos2a+2 2sin2a+cos a 的值为 4 A.7 B号 C1 9 D13 9 7.若经过点(0，一2)的直线l既与曲线y=lnx相切，也与曲线y=e a(a∈R)相切，则a= B.1 C.2 D.e 8.函数f(x)=2ax-3与g(x)=e的图象上存在关于直线y=x对称的点， 则当a取得最大值时，函数f(x)的图象在x轴上的截距为 A.6 B. C.e2 D.3e2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分。 9.若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若 一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则 A.函数f(x)=x2一2x在[1，十∞)上纯粹递增 B.函数f(x)=x3一2x在[1,2]上纯粹递增 C.函数f(x)=sinx-2x在[0,1]上纯粹递减 D.函数f(x)=e-3x在[0,2]上纯粹递减 10.如图是导函数y=子(x)的图象，则下列说法正确的是 A.(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间 B.(4,5)为函数y=f(x)的单调递增区间 (x) C.函数y=f(x)在x=3处取得极大值 D.函数y=f(x)在x=4处取得极小值 11.设函数f(x)=(x-1)2(x一4)，则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数f(x)=x3一x2,则函数f(x)的极小值为 13.已知函数f(x)=lnx-2ax十1，若存在x>0,使得f(x)≥0，则实数a的 取值范围 14.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之 “美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称 奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲 线的曲率定义如下：若f(x)是f(x)的导函 数，'(x)是(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的曲率K (1+/)).若曲线f(x)=lu+x与g(x)=反在(1,1)处的曲 If(x) 率分别为K,K K ;设正弦曲线h(x)=sinx(x∈R)曲率 为K,则K的最大值为 高考总复习·滚动综合卷·数学（四）4一1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=lnx十x2-kx在点(1，f(1)处的切线方程为x十y十m =0. (1)求实数k和m的值； (2)求f(x)在[1，e]上的最大值（其中e是自然对数的底数）. 16.(15分) 设函数fx)=lx+兰，k∈R (1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x一2=0垂直，求 f(x)的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）： (2)若对任何x1>x2>0,(m)一∫(x2)<x1一x2恒成立，求k的取值 范围. 17.(15分) 某公园有一块如图所示的区域OACB,该场地由线段OA、OB、AC及曲 线段BC围成.经测量，∠AOB=90°，OA=OB=100米，曲线BC是以 OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA、OB的距离都是50米.现 拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF,其中点D在曲线段BC上，点 E、F分别在线段OA、OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF =x米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式S=f(x): (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大. E 18.(17分) 已知函数f(x)=e-x2-ax-1(a∈R). (1)当a=0时，证明：f(x)在R上存在唯一零点，并求f(x)的零点xo 的值； (2)设x1,x2(1<x2)为f(x)的两个极值点， (ⅰ)求实数a的取值范围； (i)证明：f(x2)<(1-ln2)2. 高考总复习·滚动综合卷·数学（四）4一2 19.(17分) ()设函数f(x)=5cosx-cos5x,求f(.x)在[0，至]的最大值： (2)给定0∈(0，π)，设a为实数，证明：存在y∈[a-0,a十]，使得cosy≤ cos0; (3)若存在p使得对任意x,都有5cosx-cos(5x十p)≤b,求b的最小值.(四) 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D D B D D C B BC AC ACD 1.【答案】0 【解析(+)广-1一，A错误：因为sin吾是个常数，所以(sm晋) =0,B错误；(l0g2.x)'= ln2,C正确： (停-01。号D错误 (e)2 2.【答案】D 【解析】f(x)=(-x2+4)e,令f(x)<0,即(x-2)(x+2)>0,解得x<-2或x>2. 3.【答案】D 【解析】y'=3.x2十a,依题意可得3十a=7,即a=4,因为a十1=7+m,所以m=一2. 4.【答案】B 【解析】由了)=2x(e)+im得∫')=2f(e)+子当x=e时，e)-2f(e)+,解得了e)=-是，所以 f(x)=-2z+Int,f(e)=-2e+lne=-1. e e 5.【答案】D 【解析】若a=b,则f(x)=a(x-a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.f'(x)=a(x-a)(3.x一2b a,若>0，则a<20,即0<a<b,故ab>a2,若a<0,则a>26十e,即0>a>h,放ab>a,综上所述，ab>a 3 3 成立. 6.【答案】D 【解析】由题意可得∫(x)=2x2,则tana=(1)=2..sin2 cos'a+2_3sina十cos2a_3tan2a十1=13 2sin2a+cos2a 2sin2a+cos2a 2tan2a+1 9 7.【答案C 【解析】设曲线=x的切点为，ln),则由y-子，可得切线方程为y=士（x一)十1m,-一1+， 因为切线过点(0，一2)，所以-1十n五=一2，解得1=是，所以切线方程为y=ex一2：设曲线y=。-a的切点 为(x2,e?一a),由y'=e,所以切线的斜率为k=e2,因为直线l的方程为y=ex-2,可得e?=e,解得x2=1, 即切点(l,e-a),所以切线方程为y一(e一a)=e(x-1),即y=ex-a,所以-a=-2,解得a=2. 8.【答案】B 【解析】由题意知，曲线f(x)=2ax-3与y=lnx(.c>0)有公共点，即方程2ax-3=lnr有解，即a=3lnr有 2x 解，令A(r)=3t1n,则'(=二4上21x=-2lnr,令'(r)>0得0<<e,令()<0得r>e,故x 2x 4.x2 2x2 =e时，h()取得极大值(e)=号，即为最大值，所以a<号，当a取得最大值时f()=ex-3,令f(x)=0 e 得2 9.【答案】BC 【解析】若f(x)=x2-2x,则f(x)=2x-2,因为f'(1)=0,A错误；若f(x)=x3-2x,则f'(x)=3x2-2,当x ∈[1,2]时，f'(x)>0恒成立，B正确；若f(x)=sin.x-2x,则f(x)=cosx-2<0,C正确；若f(x)=e-3.x,则 f'(x)=e-3<0在[0,2]上不恒成立，D错误. 10.【答案】AC 【解析】由图象可知，x∈(3,5)时，f'(x)<0,所以(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，A正确：由图象可知， x∈(4,5)时，f(x)<0,所以(4,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，B错误；由图象可知，f(3)=0,且当x∈ (0,3)时，f'(x)>0,当x∈(3,5)时，f(x)<0,所以f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，故函数y= f(x)在x=3处取得极大值，C正确；由图象可知，f(4)≠0，故x=4不是函数的极值点，D错误. 高考总复习·滚动综合卷·数学（四）·答案11 11.【答案】ACD 【解析】A.因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x一1)(x-4)十(x-1)2=3(x-1)(x一3)，易知当x∈ (1,3)时，f(x)<0,当x∈(-∞，1)或x∈(3，十∞)时，f(x)>0,函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3) 上单调递减，在(3，十∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，正确；B.当0<x<1时，x一x2=x(1 x)>0,所以1>x>x>0,而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2),错误；C.当1<x<2 时，1<2x一1<3，而由上可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即一4<f(2x- 1)<0,正确；D.当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),正确. 1.【答案】 【解析】/(x)=3x2-2,令f了x)=0,则x=0或x=号则极小值为f(号)=一易 18【答案】-0,7】 【解析】存在x>0,使得f(x)=1nx-2a.x+1≥0可得2a≤血+1，构造函数g(x)=lnx上，其中x>0,则 5()=一严，当0<1时，g()>0,此时函数g(单调递增，当>1时，g(x)<0,此时函数g)单调 递减，则g()=g1)=1,所以，2a<1,解得a≤，因此，实数a的取值范围是( 1 ,2 14.【答案】号 1 【解析】/)=士+1，f)=2,")=f")=-1.K= (1+22) =5, 1 g(0=克，g1)=7g")=-子，，g"1)= (+ F=2X5所以 55号 sinx h()-cos,h)=-sin,K-0sin1]K(-(2R'() 2)32兰号>0，所以K)在[0,1上单调递增，当=1即simx=1时，K2有最大值 (2-t) 1 (2-1)3 1 15.【解折】1)因为f(）=lnx十-kx,所以f（(x)=十2x-友，…2分 由返套可e是 4分 獬得：k=4,m=2.…6分 (2)由a)可得.=lw+x-4x所以了)=+2x-4=22-红+山， …8分 当xE1,1士时，()<0，函数单调递减，……g 当x∈1士，e时，广（z)>0,函数单调递增，…………10分 又f(1)=-3,f(e)=e2-4e十1，且f(e)-f(1)=e2-4e十4=(e-2)2>0,…12分 即最大值为f()=e2-4e十1.………13分 16【解析11由条件得了)=急（>0. 1分 y=f(x)在点(，f(e)处的切线与x一2=0垂直，……2分 此切线的斜率为0，即f(e)=0,有一=0，得k=,…4分 e e2 高考总复习·滚动综合卷·数学（四）·答案12 f)=号-(>0.由f)<0得0e,由了x)20得>e、…5分 .f(x)在(0，)上单调递减，在(，十∞)上单调递增，……6分 当x=e时，f(x)取得极小值f(x)=1ne十=2.…7分 e 故f(x)的单调递减区间为(0，)，极小值为2；…8分 （2)条件等价于对任意x1>x2>0,f(x1)一x<f(x2)一x2恒成立，…9分 设A()=x)-x=lx十冬-x>0. 则h(x)在(0，十∞)上单调递减，… 10分 则W()=是-10在0，十e0)上根成立，得≥-+=-（一号）+}>0恒成立，…12分 “≥子（对=，h'()=0仅在x=2时成立） …14分 故的取值范围是[子，十∞ ……… ………15分 17.【解析】(1)以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则A(100,0),B(0,100),C(50,50),…2分 设曲线BC所在的抛物线方程为y=ax2+十c,a<0,点B,C在抛物线上， 则c=100, 2500a+c=50, 解得a=一 1 509C=00,…… 4分 所以曲线段BC所在的抛物线方程为y=一 1 50x2十100(0x50).………………… 5分 (2)因为点D在曲线段BC上，|DF|=x,30≤x≤50， 所以DE引= 高+10， ……… 6分 S=f()=z(-02+10）=0十10x,30≤≤50.… 1 8分 (3)f(x)=- 写2+100,30x50,…………9分 令- 最r2+100=0,解得x=士50 3 ……………10分 当x∈[30,0)时，fx)>0:当xe(06,50]时，f)<0 …………11分 所以当∈[30,0)时，函数)单调递增：当x∈(06,50]时，函数x)单阔递减 ……13分 因此，当-505时5=f（506）-10006是极大值他是最大值，…14分 3 3 9 D在曲线段BC上且到OB的距离为0米时，游乐场的面积最大。………一 18.【答案】(1)解：当a=0时，f(x)=e-x2-1,则f(x)=e-2x, 令F(x)=f(x)=e-2x,则F'(x)=e-2, 2分 当x>ln2时，F'(x)>0,此时F(x)单调递增； 当x<ln2时，F'(x)<0,此时F(x)单调递减， 所以F(x)≥F(ln2)=2-2ln2>0,所以f(x)>0,… 4分 高考总复习·滚动综合卷·数学（四）·答案13 所以f(x)在R上单调递增， 因为f(0)=0,所以f(x)在R上存在唯一零点x=0. 6分 (2)(i)解：已知f(x)=e-x2一ax一1有两个极值点， 易得f(x)=e-2.x-a有两个变号零点， 7分 令g(x)=e-2x-a,则g'(x)=e-2, 令g'(x)=0,即e-2=0,解得x=ln2, 8分 当x∈(-co,ln2)时，g'(x)<0,g(x)在(-∞，ln2)上单调递减， 当x∈(n2,十o∞)时，g(x)>0,g(x)在(ln2,十∞)上单调递增，………10分 g(x)在x=ln2处取得最小值，且g(ln2)=2-2ln2-a. 若g(x)有两个零点，一定有2-2ln2-a<0,解得a>2-2ln2, 11分 又易知当x→一∞时，g(x)→十∞；当x→十∞时，g(x)→十∞， 根据零点存在定理可知，函数g(x)在（一∞，ln2),(ln2,+∞）上各存在一个零点， 故a的取值范围为(2-2n2,十∞).…………12分 （i)证明：由(1)知，x1<ln2<x2,且e2-2x2-a=0,故e9-2x2=a,…13分 故f(x2)=e-x3-(e-2x2)x2-1=(1-x2)e2+x-1(x2>ln2), 令h(x)=(1-x)e+x2-1(x>ln2),则h'(x)=-xe+2x=x(2-e),…14分 当x>ln2时，h'(x)<0,h(x)在(n2,十o∞)上单调递减，…15分 所以h(x)<h(n2)=(1-ln2)2,… 16分 故f(x2)<(1-ln2)2.… 17分 19.【答案】(1)3√3(2)证明见解析(3)3√5 【解析】(1)f'(x)=-5sin.x+5sin5.x=10cos3xsin2.x, 因为x∈[0，晋]，故2x∈[0，受]sin2r≥0，… 2分 当0<<否时，cos3.>0即f(x)>0,当若<<时，os3x<0即f(x)<0,…4分 故f()在(0，否)上为增函数，在（石，平）为减函数，… 6分 故f)在[0，子]上的最大值为f(悟）=5c0s若-os晋=3V5.…7分 (2)由余弦函数的性质知cosy≤cos0的解为[2kπ十0,2(k+1)π-](k∈Z), 若每个[2kπ十0,2(k十1)元一0]与[a一0，a十0]交集都为空，…8分 则对每个k∈Z,必有2(k十1)π一0a一0或2kπ十0>a十0之一成立.…9分 此即会一1或>会但长度为1的闭区间[会-1]上必有一整数，…】 0分 该整数不满足条件，矛盾.故存在y∈[a一0，a十]，使得cosy≤cos0成立.…11分 (3)记h(x)=5cos.x-cos(5x+g),因为h(x+2π)=5cos(x+2π)-cos(5x十10π十o)=h(x), 故h(x)为周期函数且周期为2π，故只需讨论x∈[0,2π]，9∈[0，π]的情况.…12分 当p=π时，h(x)=5cosx-cos(5.x十π)=5cos.x+cos5x≤6， 当p=0时，h(x)=5cosx-cos5.x,此时h'(x)=-5sinx+5sin5.x=10cos3.xsin2x,x∈(0,2x)，…13分 令=0则=后受晋吾受晋， 而()=（卡）=35，（受）=（经）=0，(）)=h( ）=-35,…14分 h(x)=-4,h(0)=h(2x)=4,故h()=h(g)=h(g）=3B, 当∈(0，x),在(2)中取p=t,则存在y∈[9一0，g十]，使得cosy≤cos0,取0=5x 6 则0s-取x-写∈（号，号）即x=写（吾·看） 15分 0s23放5c0sxc03(523,…ei 16分 综上>35，可取x=否9=0使得等号成立.综上，bm=35.… 17分 高考总复习·滚动综合卷·数学（四）·答案14