27.2.2相似三角形的性质教学设计2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形性质，涵盖对应线段（高、中线、角平分线）比、周长比等于相似比及面积比等于相似比平方的核心知识。通过复习相似三角形定义与判定，类比全等三角形性质提问，搭建新旧知识衔接支架。 此设计以分层探究为特色，先推导对应高比性质，再类比迁移至中线、角平分线，体现“特殊到一般”的数学思维，面积比推导结合公式转化，强化逻辑推理与转化思想。梯度化练习助学生区分周长与面积比关系，培养应用意识，为教师提供清晰教学路径，提升学生推理能力与知识应用能力。

27.2.2相似三角形的性质 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第27章“相似”的第二节。内容包括：相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。 （二）教学内容解析 本节课是在学生掌握相似三角形定义与判定的基础上开展的，是相似三角形知识体系的核心应用模块。对应线段比与相似比的关系是推导周长比、面积比性质的基础，面积比因涉及平方关系，需借助面积公式转化推导，是本节课的重点与难点。其不仅完善了相似图形的性质体系，还为后续解决几何计算、图形证明及实际应用问题提供关键依据，是连接几何判定与实际应用的重要桥梁。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】理解相似三角形的性质 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 理解相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比，能直接运用该性质进行简单计算。 2. 掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的性质，能灵活运用性质解决几何计算与基础证明问题。 3. 通过推导相似三角形性质的过程，提升逻辑推理能力与转化思想的应用能力。 （二）教学目标解析 1. 达成目标1：学生能准确识别相似三角形的对应线段，明确对应线段比与相似比的等量关系，给定相似比和一条对应线段长度，可快速求出另一条对应线段长度。 2. 达成目标2：学生能区分周长比、面积比与相似比的不同关联，避免混淆平方关系，能结合性质解决线段长度、图形周长、面积的计算及比例推导问题。 3. 达成目标3：学生能独立通过全等或相似判定推导对应线段比的性质，借助周长公式、面积公式转化推导周长比、面积比性质，体会“特殊到一般”“转化归纳”的数学思想。 三、学生学情分析 九年级学生已掌握全等三角形性质、相似三角形定义与判定方法，具备基础的几何推理与计算能力，能通过已知条件判定三角形相似。但学生对“转化思想”的灵活应用仍有不足，推导面积比性质时，需结合相似比与底、高的关系转化，容易忽略平方关联；同时，学生在复杂图形中识别对应线段的准确性有待提升，可能出现对应关系混淆导致计算错误的问题，需通过针对性引导与练习强化认知。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】相似三角形面积比等于相似比平方的推导过程，及性质在复杂几何场景中的灵活运用。 四、教学策略分析 1. 回顾衔接策略：课前快速回顾相似三角形的定义与判定方法，以“全等三角形有诸多对应性质，相似三角形作为特殊的‘不全等相似图形’，会有哪些对应性质？”引发思考，搭建新旧知识衔接桥梁，激发探究兴趣。 2. 分层探究策略：先从简单的“对应高”入手，引导学生通过证明三角形相似推导对应高比等于相似比，再类比迁移，让学生自主探究对应中线、角平分线的性质，降低探究难度；周长比、面积比性质依次推导，先借助周长公式直接转化，再重点突破面积比的平方关系推导，循序渐进突破重难点。 3. 强化应用策略：设计梯度化练习，基础题聚焦性质直接计算，提升题结合几何图形综合应用，通过错题纠错、小组互评，强化学生对性质的理解，纠正对应关系混淆、忽略平方等常见错误。 4. 思想渗透策略：推导过程中反复强调“转化思想”（将周长、面积转化为对应线段关系）、“类比思想”（由对应高类比到中线、角平分线），帮助学生构建几何知识探究的思维框架。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1. 提问回顾：①相似三角形的定义是什么？（对应角相等、对应边成比例，比例值为相似比）②判定两个三角形相似的常用方法有哪些？（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例） 2. 提出猜想：全等三角形的对应高、中线、角平分线相等，周长相等、面积相等，相似三角形对应边成比例，那它的对应线段、周长、面积会有怎样的数量关系？引出本节课课题。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 知识点一　相似三角形对应高、中线、角平分线的比与相似比的关系 探究一如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？ 解答：如图，分别作△ABC 和△A'B'C' 的对应高 AD 和 A'D'． ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B′． 又△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形， ∴△ABD∽△A'B'D'．∴==k． 归纳：相似三角形对应高的比等于相似比． 【探究二】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应中线的比是多少？ 【解答】如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的中线 AE 和 A'E'， 则===k，∴==k，　　　　　 ∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′． ∴△ABE∽△A'B'E'，∴==k. 归纳：相似三角形对应中线的比等于相似比． (3)同理可证,∠A与∠A1的角平分线AD和A1D1之比都等于k. △ABC与△A1B1C1的周长之比等于k. 小结：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比． 知识点二　相似三角形周长、面积的比与相似比的关系 思考：相似三角形的周长有什么关系？ 探究三：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们周长的比是多少？ 解答∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ∴＝=k， ∴AB＝kA'B'，AC＝kA'C'，BC＝kB'C'， ∴===k. 归纳：相似三角形周长的比等于相似比． 思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ 探究四：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们面积的比是多少？ 归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 4，BG = 4.8. 求 EH. 1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 2. 把一个三角形变成和它相似的三角形： (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的______倍. 3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm. (1) 若它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长分别是______________； (2) 若它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是______________. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．如果两个相似三角形对应周长之比是3：2，那么它们的对应边之比是（　　） A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4 2．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，则两三角形的面积比为（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：9 D． 3．已知△ABC∽△A′B′C′，面积之比为，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，则A'D'＝（　　） A． B．6 C． D．25 4．如图，若△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（　　） A． B． C． D． 6．如果将一个△ABC的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（　　） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 7．嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知△ABC∽△DEF．测得AC＝3cm，DF＝4cm，△DEF的面积为16cm2，则△ABC的面积为（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．10cm2 D．12cm2 8．△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 9．如图，已知△ABC～△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB＝14，DE＝10，求AH和DG的比． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $