5.6.2 函数y=Asin(ωx +φ)的图象 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.6.2 函数y=Asin(ωx +φ)的图象教学设计 教材分析 本节课通过单位圆模型和图象变换，研究参数、、对函数图象的影响，揭示其物理意义与几何变换关系。教学过程遵循“问题引导—实验观察—归纳总结”的探究式路径。该内容承接正弦函数的图象与性质，是三角函数图象变换的核心环节。通过从具体到抽象的分析，帮助学生理解振幅、角速度、初相位对图象形态的影响，掌握图象平移、伸缩变换的顺序与规律，提升几何直观与数形结合能力，为后续学习三角函数的性质应用、函数综合变换及物理中的简谐运动模型奠定基础。 学情分析 针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已学习了三角函数的基本概念、诱导公式及正弦函数的图象与性质，掌握了“五点法”作图和图象的平移变换，具备一定的数形结合意识和抽象思维能力，但对含参函数的动态变化理解仍较薄弱，面对多个参数同时影响图象时容易混淆顺序与作用机制，本节课通过由简到繁、逐个探究的方式引导学生从熟悉的出发，借助单位圆模型直观理解参数、、分别对函数图象产生的相位、周期、振幅变换的影响，帮助学生建立函数图象变换的一般路径，提升识图、画图与逻辑推理能力，深化对函数本质的认识。 教学目标 1. 理解参数、、对函数图象的影响，能够解释各参数变化的几何意义，达到数学抽象核心素养水平二的要求。 2. 掌握正弦函数图象变换的步骤，能够通过平移、伸缩等变换得到的图象，达到直观想象核心素养水平二的要求。 3. 能够分析参数变化对函数周期、振幅和相位的影响，建立参数与函数性质之间的逻辑关系，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。 4. 能够运用单位圆模型解释参数和对函数图象的影响，实现从具体到抽象的转化，达到数学建模核心素养水平一的要求。 重点难点 教学重点：参数、、对函数图象的影响，图象变换的顺序与规律。 教学难点：相位变换与周期变换的先后顺序及其对图象的影响，复合变换的准确应用。 课堂导入 同学们，在生活中我们常能见到许多周期变化的现象，比如潮汐涨落。之前我们学过正弦函数，它能刻画一些简单周期现象。但实际中，像音叉振动产生的声波，其函数模型更为复杂，形如。这里的参数、、起着关键作用，它们会让函数图象发生怎样的改变呢？的图象我们很熟悉，能不能借助它来研究这些参数的影响呢？又该按怎样的思路去探究呢？带着这些疑问，让我们一起走进今天的学习——函数的图象 。 函数$y=A\sin(\omega x+\varphi)$的图象 探究新知 （一）知识精讲 函数 是在基本三角函数 的基础上，通过引入三个参数 、、 得到的一类更一般的正弦型函数。其中， 表示振幅， 决定周期， 称为初相。当 、、 时，该函数退化为最简单的正弦函数 。因此，可以通过研究这三个参数的变化对图象的影响，从 出发，逐步理解一般形式的图象特征和变化规律。 首先考察参数 对函数图象的影响。考虑函数 。与 相比，其图象在横向上发生了平移。例如，当 时，图象向左平移 个单位；当 时，图象向右平移 个单位。这种变换称为相位变换， 称为初相，平移量为 （在 时即为 ）。这一过程不改变函数的振幅和周期，仅改变起始位置。 接下来分析参数 的影响。设函数为 ，其中 或 。由于角速度发生变化，函数的周期由原来的 变为 。当 时，周期变小，图象在水平方向上被压缩；当 时，周期变大，图象被拉长。这种变换称为周期变换，它改变了函数波动的快慢，但不影响上下范围。 再研究参数 的作用。函数 的值域变为 ，其最大值为 ，最小值为 。与 相比，图象在竖直方向上被拉伸（当 ）或压缩（当 ），这种变换称为振幅变换。显然， 决定了函数偏离平衡位置的最大距离，即振幅。 对于一般情形 ，可以看作是由 经过一系列变换得到： 第一步，将 的图象沿横轴方向平移 个单位（方向由 的符号决定），得到 ； 第二步，将所得图象的横坐标缩短或伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到 ； 第三步，将所得图象的纵坐标伸长或缩短为原来的 倍（横坐标不变），得到最终函数 。 上述三种变换分别对应相位变换、周期变换和振幅变换，它们共同决定了函数图象的整体形态。通过控制这三个参数，可以在同一函数模型下模拟各种周期性变化现象，如简谐振动、交流电等。 图1：不同初相 下的函数图象比较 图2：不同角频率 对周期的影响 图3：不同振幅 下的函数图象对比 （二）师生互动 教师提问1：我们已经知道 的图象是由 向左平移 个单位得到的，那么如果函数变为 ，是否也可以看作是某种平移？如果是，平移多少？ 学生思考后回答：可以写成 ，所以实际上是将 的图象向左平移 个单位。 教师追问：很好！这说明我们在处理复合角 时，不能直接以 作为平移量，而应将其提取为 ，此时真正的相位平移量是 。你能解释为什么这个顺序不能颠倒吗？比如先做振幅变换再做周期变换？ 学生讨论后回应：因为每一步变换都依赖于当前坐标的尺度。如果先进行振幅变换，只影响纵坐标，不影响横坐标结构，所以不影响后续的周期和相位变换。但如果先做周期变换，会影响横坐标压缩比例，进而影响相位平移的实际长度。因此通常按照“相位→周期→振幅”或“周期→相位→振幅”的逻辑顺序操作，关键是要明确变量替换的层次。 教师总结：正是如此。函数变换的本质是坐标变换，必须遵循代数结构的逻辑顺序，才能准确描绘图象的变化路径。 （三）设计意图 通过从具体到抽象、从特殊到一般的研究路径，引导学生借助已掌握的 的图象与性质，逐步探究参数 、、 对函数图象的影响，帮助学生建立函数变换的系统性认知。知识目标上，使学生理解振幅、周期、初相的几何意义及其对应的图象变换方式；能力培养上，发展学生的数形结合能力、逻辑推理能力和变量分析能力，特别是在多参数复合情境下的分解与综合思维；学习方式上，鼓励学生通过观察图象变化、归纳变换规律、验证代数推导等方式主动建构知识，体现探究式学习的特点；价值导向上，强调数学模型对现实世界周期性现象的刻画功能，提升学生用数学语言描述自然规律的意识和信心。整个设计紧扣高中数学课程标准对三角函数图象教学的要求，注重基础性、逻辑性和可操作性。 新知应用 例1题目： 画出函数的简图。 解答： 我们从熟悉的函数出发，通过变换逐步得到目标函数的图象。 第一步：平移变换（相位变换） 考虑函数。 这是将的图象向右平移个单位长度。 原因：形如的图象是由向右平移个单位（当时）。 此时得到的是函数的图象。 第二步：横向伸缩（周期变换） 将上一步得到的图象进行横坐标压缩，使各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变。 即：将变为。 说明：由于，所以周期由缩短为，图象在水平方向上被压缩为原来的。 第三步：纵向伸缩（振幅变换） 将上一步得到的图象中所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变。 即：将变为。 说明：振幅由1变为2，图象在竖直方向上被拉伸了2倍。 最终得到函数的图象。 用“五点法”作图： 令，则原函数变为。 一个完整周期对应从到，即： 列表如下： 描出这五个关键点，并用光滑曲线连接，即可得到一个周期内的简图。 例2题目： 摩天轮问题：某摩天轮最高点距离地面120 m，转盘直径110 m，有48个座舱，逆时针匀速旋转，一周约30 min。游客在最低点进舱。 (1) 求转动分钟后距地面高度关于的函数解析式； (2) 求 min时的高度； (3) 若甲、乙坐在相邻座舱，求两人高度差的函数表达式及最大值（精确到0.1）。 解答： (1) 建立函数模型 设摩天轮轴心为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴。 转盘半径为（m），轴心离地高度为（m）。 当时，游客位于最低点，对应角度为。 摩天轮每30分钟转一圈，角速度为： 经过分钟，转过的角度为，所以当前角度为： 此时游客相对于轴心的高度为，加上轴心离地高度65 m，得： (2) 计算时的高度 代入公式： 所以，5分钟后高度为37.5 m。 (3) 高度差函数及最大值 相邻座舱之间角度差为： 设甲的位置角度为，则乙比甲落后，其角度为： 两人高度分别为： 高度差为： 利用和差化积公式： 令，则： 所以： 注意：是常数。 但教材中给出的形式为： 这说明使用了另一种变形方式（可能通过诱导公式调整），但核心思想一致：高度差是一个振幅为的正弦型函数的绝对值。 因此，最大值出现在时： 计算： 所以高度差最大值约为7.2 m。 新知巩固 题目： 已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解答： 我们已知函数： 且其一个零点为 ，即： 代入数值： 所以函数变为： 我们可以将其化为标准的正弦型函数形式： 其中振幅 再提取公因式： （利用公式：） 注意：这里 ，所以 。 因此： 现在考虑函数 ，即： 我们要通过变换这个函数的图像，得到目标函数： 我们知道： 所以我们希望从： 设平移量为 ，即将原函数中的 替换为 ，则： 令其等于目标函数： 因为 ，表示向左平移 个单位长度。故选 A。 题目： 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（       ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 解答： 已知函数： 将图像上所有点的横坐标变为原来的 ，表示对函数进行横向压缩，即： 所以新函数为： 要求该函数在区间 上只有一个极大值点。 我们分析正弦函数的极大值点位置。 一般地，函数 在 处取得极大值。 令： 这是所有极大值点的位置。 我们现在要找出使得在 内恰好有一个这样的 值的 。 记： 要求 两边除以 ： 由于 ，我们尝试不同 的取值（正整数），看有几个整数 满足条件。 当 ： 不等式： 只有 满足 → 一个极大值点 ✅ 当 ： 只有 → 一个极大值点 ✅ 当 ： 两个整数 → 两个极大值点 ❌ 不符合“只有一个” 当 ： 至少两个 → ❌ 更大的 会使右边更大，可能更多极大值点。 所以满足条件的 或 答案为 D 题目： 已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 解答： 函数： 向右平移 个单位长度后与原图象重合，说明这是一个周期函数，且平移量是其周期的整数倍。 即： 而正弦函数的基本周期为 若函数图像平移 后与自身重合，则 必须是周期的整数倍： 解这个方程： 所以： 要求 ，且求最小值，所以取 ： 验证：此时周期 ，正好等于平移量 → 是一个完整周期，图像重合 ✅ 若 ，则 ，更大；所以最小值是 答案为 D 探索 对函数 图象的影响 探究新知 （一）知识精讲 为了研究参数 对函数 图象的影响，考虑取 ， 的情形，即研究函数 的图象变化规律。借助单位圆模型进行直观分析：如图所示，动点 在单位圆 上以单位角速度逆时针方向运动。 当动点从起点 （对应初始角为 0）出发，经过 秒后到达点 ，此时点 的纵坐标 。将所有形如 的点描出，即可得到正弦函数 的图象。 现在改变动点的起始位置。若将起点 绕圆心 逆时针旋转 至新位置 ，则此时动点的初始相位为 。在相同时间 内，动点从 出发所到达的位置对应的角为 ，因此其纵坐标为 ，即函数为 。 进一步观察两个动点的运动过程：设一个动点从 出发，另一个从 出发，均以相同速度逆时针运动。若前者在时刻 到达点 ，则后者由于起始位置超前 ，要达到同一位置 所需时间为 。这意味着，对于函数 图象上的任意一点 ，函数 图象上对应的点为 。 这表明，函数 的图象可以由 的图象上所有点向左平移 个单位长度而得到。 类似地，若起点 顺时针旋转 ，即 ，则函数变为 ，其图象是将 的图象上所有点向右平移 个单位长度所得。 一般地，对于函数 （其中 ），当 时，把正弦曲线 上的所有点向左平移 个单位长度；当 时，向右平移 个单位长度，即可得到函数 的图象。这种由初相 引起的图象变换称为相位变换。 （二）师生互动 教师提问：如果我们将起点 旋转到 的位置，那么新的函数表达式是什么？它的图象与 的图象之间有怎样的几何关系？ 学生回答：此时函数为 ，图象应是由 的图象向左平移 个单位长度得到。 教师追问：若已知函数 的图象，能否说明它是如何由 变化而来？并判断此时动点的起始位置相对于 是顺时针还是逆时针旋转了多少？ 学生思考后回答：该图象是将 向右平移 个单位长度得到的，说明初相 ，即起点相对于 顺时针旋转了 。 教师再问：是否存在某个 值，使得 的图象与 完全重合？如果有，这样的 有什么特征？ 学生讨论后指出：当 （）时，函数不变，图象完全重合，说明相位变化具有周期性。 （三）设计意图 通过单位圆模型引导学生观察动点起始位置的变化对函数值的影响，帮助学生建立三角函数中相位角 与图象平移之间的直观联系，达成对相位变换本质的理解，实现知识目标的落实。在探究过程中，借助时间与角度的对应关系，引导学生从运动变化的角度分析函数图象的生成机制，培养其数形结合和动态思维的能力。采用问题链形式逐步推进，鼓励学生在已有正弦函数认知基础上主动类比、推理和归纳，促进自主探究与合作交流的学习方式形成。整个设计注重数学模型的实际意义与几何直观的融合，强调逻辑推理与直观想象的协同发展，渗透函数变换的思想，引导学生体会数学结构的对称性与周期性之美，增强对数学内在规律的认识与欣赏。 新知应用 例x题目： 在单位圆上，动点 以 为起点（此时 ），经过 秒后运动到点 ，则点 的纵坐标为 。若将起点 绕圆心 逆时针旋转 到新起点 ，此时动点从 出发，角速度不变，则其对应的函数表达式是什么？该函数图象与 的图象有何关系？ 解答： 1. 当起点为 且 时，动点 经过时间 后转过的角度为 弧度，因此其纵坐标为： 此即正弦函数 的图象。 2. 将起点 绕圆心 逆时针旋转 得到新的起点 ，此时初始相位角 。 3. 动点仍以单位角速度逆时针运动，经过时间 后，它所转过的总角度为： 因此，此时点 的纵坐标为： 所以对应的函数是： 4. 分析图象变化： 设 是函数 图象上的任意一点，即 。 对于函数 ，当输入值为 时， 即点 在新函数图象上。 5. 这说明：原函数图象上的点 对应新函数图象上的点 ，也就是所有点向左平移了 个单位长度。 6. 因此，函数 的图象是由 的图象向左平移 个单位长度得到的。 新知巩固 题目： 已知 是函数 （其中 ）图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（　　） A． 是函数 图象的一个对称中心 B．函数 的图象可由 图象向左平移 个单位长度得到 C．函数 在区间 上单调递减 D．函数 在区间 上有且仅有一个零点 【答案】D 解答： 我们已知函数： 又已知 是其图象的一条对称轴。 第一步：利用“对称轴”条件求 对于余弦型函数 ，其图象的对称轴出现在使得相位角为 的位置，即： 因为余弦函数在 处取得最大值或最小值（即极值点），这些点就是对称轴的位置。 本题中，，且 是对称轴，代入得： 结合限制条件 ，我们尝试整数 ： 若 ，则 ，满足 ✅ 若 ，则 ❌ 不符合 若 ，则 ，绝对值太大 ❌ 所以唯一符合条件的是 ，即： 因此函数为： 第二步：逐项判断选项正误 A． 是函数 图象的一个对称中心 对称中心是函数图像的对称中心点，对于余弦函数来说，它在每个周期内有两个对称中心，出现在函数值为 0 且为奇对称的位置。 先写出函数： 令 ，解方程： 所以零点为： 而余弦函数的对称中心恰好位于相邻极大值与极小值之间的中点，也就是函数值为 0 的点，并且图像关于该点中心对称。 特别地，当 时，，此时 ，且是函数的一个零点，同时是波形由正变负或由负变正的中点。 我们可以验证：函数是否关于点 中心对称？ 由于这是一个标准的余弦函数经过变换后的结果，其对称中心确实出现在每一个零点处（因为它是偶函数平移后形成的周期函数，具有中心对称性）。 ✅ 所以 A 正确。 B．函数 的图象可由 图象向左平移 个单位长度得到 我们要比较： 和 利用诱导公式将余弦化为正弦形式： 所以： 这说明：将 的图象向左平移 个单位，即可得到 的图象。 ✅ 所以 B 正确。 C．函数 在区间 上单调递减 函数： 设 ，则当 增大时， 增大，函数单调性取决于 的单调性。 我们分析区间 ： 计算对应的 范围： 当 ， 当 ， 所以在该区间上， 而 在 上是单调递减的，且系数 2 > 0，不改变单调性。 因此 在 上单调递减。 ✅ 所以 C 正确。 D．函数 在区间 上有且仅有一个零点 前面我们已经求出零点满足： 列出几个零点： : : : 检查哪些落在区间 ： 注意： ✅ 在区间内 ✅ ，而 ，所以 ❌ 不在区间内 所以区间内的零点有两个： ⚠️ 因此有两个零点，不是“有且仅有一个”。 ❌ 所以 D 错误。 题目问“下列说法错误的是”，故选 D。 探索参数 （其中 ）对函数 图象的影响 探究新知 （一）知识精讲 我们继续研究参数 （其中 ）对函数 图象的影响。为便于分析，取振幅 ，初相位 ，先考察当 时，函数为 的图象。 当 时，函数变为 。在单位圆上，设动点从起点 出发，当 时到达某位置 所用时间为 秒；而当 时，由于角速度是原来的 2 倍，因此到达同一位置 所需时间缩短为 。这说明：对于函数 图象上的任意一点 ，在函数 的图象上存在对应点 。由此可见，将 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标保持不变），即可得到 的图象。 进一步地， 的周期为 ，恰好是原函数周期 的 。 类似地，当 时，动点的角速度减慢为原来的一半，因此从 到达点 所需时间变为原来的 2 倍。此时，函数为 。相应地，原函数图象上每一点 对应新函数图象上的点 。也就是说，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），就得到了 的图象。该函数的周期为 ，是原周期的 2 倍。 推广到一般情况，函数 的周期为 。与函数 相比，其图象的变化规律如下：当 时，把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）；当 时，把横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），即可得到 的图象。 （二）师生互动 教师提问：如果已知函数 上有一点 ，那么在函数 的图象上，与之对应的点的坐标是什么？你能结合角速度的变化解释这个变换关系吗？ 学生思考并回答：因为 ，角速度变为原来的 3 倍，所以到达相同位置所需时间变为原来的 。因此，对应点的横坐标应为 ，纵坐标仍为 ，即对应点为 。 教师追问：若将 的图象横坐标伸长到原来的 4 倍，所得图象对应的函数表达式是什么？它的周期是多少？ 学生回答：横坐标伸长到原来的 4 倍，意味着 ，所以函数变为 ，其周期为 。 （三）设计意图 通过单位圆中动点运动的直观模型，引导学生理解角速度 对正弦函数图象周期性变化的本质影响，帮助学生建立“图象变换”与“物理意义”之间的联系，实现数形结合的思想渗透。在知识目标上，使学生掌握 对函数周期及图象横向伸缩的影响规律，并能准确描述变换过程；在能力培养上，通过对比不同 值下的函数图象变化，发展学生的观察、归纳和逻辑推理能力；在学习方式上，采用数学实验和动态想象相结合的方式，鼓励学生从具体实例出发进行抽象概括，体现“从特殊到一般”的数学思维路径；在价值导向上，强调数学模型对现实世界运动规律的刻画功能，提升学生用数学语言描述周期现象的意识和信心。 新知应用 例1题目： 取 ，观察函数 的图象相对于 的变化；再取 、、，分析图象的变化规律。当 取任意值时，函数 的图象与 有何关系？ 解答： 我们从函数的周期性和图象变换两个角度来分析 对函数 图象的影响。 第一步：回顾基础函数 已知 ，当 时，函数为： 其周期为： 第二步：取 此时函数变为： 根据周期公式 ，得： 即周期变为原来的一半。 进一步分析图象变化： 设点 在函数 的图象上，则有： 现在考虑新函数 。令： 代入原函数，得： 说明：对于同一个函数值 ，新函数中对应的横坐标是原函数横坐标的 。 因此，将原函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），就得到 的图象。 第三步：取 函数为： 周期为： 是原周期的 2 倍。 同样地，令： 说明新函数中达到相同函数值所需的时间是原来的 2 倍。 因此，将原函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），就得到 的图象。 第四步：取 和 当 ，周期为 ，是原周期的 ，图象横坐标缩短为原来的 。 当 ，周期为 ，是原周期的 3 倍，图象横坐标伸长为原来的 3 倍。 第五步：一般情况 函数 的周期为： 与 成反比。 图象变换规律如下： 若 ，则周期变小，图象在水平方向压缩，横坐标变为原来的 ； 若 ，则周期变大，图象在水平方向拉伸，横坐标变为原来的 倍。 综上所述： 将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），即可得到 的图象。 新知巩固 题目： 要得到的图象只需把的图象向右平移（  ） A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度 解答： 我们从函数变换的角度分析这个问题。 已知原函数为： 目标函数为： 第一步：理解负号的作用 函数是原函数关于轴对称的图像，即上下翻转。 但我们题目问的是“通过向右平移”能否实现这一变化。 所以我们需要思考：是否存在某个平移量，使得 利用余弦函数的性质： 因此，若想让，则应有： 解这个等式： 由于题目要求向右平移，即，所以取： 所以当向右平移个单位时， 成立！ 因此，只需将的图象向右平移个单位长度，即可得到的图象。 答案是：B．个单位长度 题目： 把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 解答： 先写出变换过程： 原函数： 向右平移个单位：替换为，得 再向上平移个单位：加，得 记，则 已知：的图象关于点对称。 函数关于某点中心对称的含义： 对于任意，都有 即： 代入表达式验证此性质。 计算左边： 右边： 所以： 利用公式： 令 则 所以： 因此： 要求这对所有恒等于0，即： 注意：不是常数函数，所以其系数必须为0，否则左边随变化不可能恒为0。 所以必须有： 1. 2. 由第1条： 因为，取最小的正，即当时： 检查选项，答案为：B． 题目： 若直线与曲线从左往右仅相交于三点，且，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 解答： 函数： 第一步：确定周期和定义域内的图像特征 周期： 区间长度：，略大于一个周期，所以图像包含一个完整周期多一点。 令，当时，；当时， 所以从到，跨越了两个完整的周期？不对，实际是： 从到，跨度为，对应角度变化大，但关键是看函数行为。 实际上，因周期为，在完成一个周期，在继续半个周期多（） 所以整体图像：从开始，经历一个完整周期（到），再到，即再走。 现在分析函数最大值为2，最小值为-2。 考虑水平线与图像交于三个点，且满足 说明：三点共线于水平线，横坐标依次增大，设为，对应点 则，，条件为： 由于正弦函数在一个周期内关于中间点对称，且在上升段和下降段各有一个相同函数值的点。 考虑到交点只有三个，说明这条水平线没有穿过波峰或波谷（否则可能有两个或四个交点），也不是在端点附近。 典型情况是：在第一个上升段一个交点，第二个周期部分有两个交点，但由于区间只到，我们具体分析。 更有效的方法是：设方程 令，则 在内，求解（其中）有几个解。 ，所以覆盖区间： 即从第一象限开始，经过一、二、三、四、再一、二象限（第二圈到） 在每个周期内通常有两个解（除极值点外）。在两个周期内最多4个解，但这里区间不完整。 详细划分： ：完整两象限？实际是从到，再到 范围： 所以在：接近两个周期（实际是，小于） 然后从到：即第三圈的前半段。 在内一般有两个解：和（第一、二象限） 在下一个周期，又有两个：， 但在本题中，最大为，所以只能包含： 第一圈的两个解（如果存在） 第二圈的第一个解： 第二圈的第二个解：，但？不一定 设，则解为： 1. （若） 2. 3. 4. （但，当时，，等号当） 所以当时，，超出范围，第四个解不存在 所以最多三个解：，， 这三个都在区间内，只要 对应的值： 所以： 现在计算距离： 根据条件： 所以 而 检查，满足起始条件，所有解都在区间内。 答案为：C． 继续探索参数 对函数 图象的影响 探究新知 （一）知识精讲 我们继续探究参数 对函数 图象的影响。为便于研究，设定 ，，先观察当 时，函数为 ，其图象如图所示： 接下来，改变 的取值，令其分别为 2、、3、 等正数，观察函数图象的变化规律。当 时，函数变为 。此时，若点 在函数 的图象上，则点 就在函数 的图象上。这说明，将原图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标保持不变，即可得到新函数的图象。 同理，当 时，函数为 ，此时只需将原图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变，即可得到新的图象。 一般地，对于任意正实数 ，函数 的图象，可以看作是把函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍，而横坐标保持不变所得到的。这种变换称为振幅变换。 由此可知，函数 的值域为 ，其最大值为 ，最小值为 。参数 决定了函数图象在竖直方向上的伸缩程度，也即决定了正弦曲线的振幅。 从上述图示的变换步骤可以看出，从基本函数 出发，可以通过以下三步变换得到 （其中 ）的图象： 第一步，将正弦曲线向左（当 时）或向右（当 时）平移 个单位长度，得到函数 的图象； 第二步，将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象； 第三步，将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），最终得到函数 的图象。 （二）师生互动 教师提问：如果我们将函数 图象上所有点的纵坐标都扩大为原来的 3 倍，横坐标不变，那么所得图象对应的函数表达式是什么？它的最大值和最小值分别是多少？ 学生回答：所得图象对应的函数是 ，其最大值为 3，最小值为 -3。 教师追问：在刚才的变换过程中，为什么横坐标不需要改变？这种只改变纵坐标的变换对函数的整体形状有什么影响？ 学生思考后回答：因为这种变换仅影响函数的输出值（即函数值的大小），不改变自变量的变化节奏，所以横坐标不变。图象整体被纵向拉伸或压缩，但周期和左右位置保持不变。 教师进一步引导：那么，如果我们想让一个正弦型函数的波动幅度更大，应该调整哪个参数？如果只想让它上下起伏更剧烈，而不影响它振动的快慢和起始位置，又该如何操作？ 学生总结：应增大参数 ，即振幅，这样可以在不影响周期和初相位的前提下增强函数的波动幅度。 （三）设计意图 通过设置具体数值的对比实验，引导学生从直观图象出发，逐步归纳出参数 对函数图象的影响规律，有助于实现从具体到抽象的认知过渡。在讲解中保留教材中的几何解释与变换逻辑，强化学生对“纵坐标伸缩”这一变换本质的理解，落实函数图象变换的基本方法。通过师生之间的递进式问答，帮助学生厘清振幅变换与其他变换的区别与联系，提升其基于图象特征反推函数表达式的逆向思维能力。整个过程倡导以观察为基础、以推理为主线的探究式学习方式，使学生在动手想象与逻辑分析中深化对三角函数结构特征的认识，同时渗透数形结合的思想，培养学生用数学语言描述周期性变化现象的意识与能力。 新知应用 例x题目： 探索对图象的影响。 令，，观察当等取不同正值时，函数图象的变化规律。 特别地，比较与的图象关系，并解释其变换过程。 解答： 我们从基础函数 出发（此时 ），研究当振幅参数 改变时，函数图象发生怎样的变化。 第一步：理解原始函数图象 当 ，函数为： 这是标准正弦函数经过相位变换和周期变换后的结果。它的振幅为1，即最大值为1，最小值为-1。 第二步：改变 的值，观察图象变化 1. 当 ，函数变为： 此时，对于每一个相同的 值，新的函数值是原函数值的2倍。例如，若原函数在某点纵坐标为 ，则新函数对应点的纵坐标为 。 因此，图象上所有点的 纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标保持不变。 2. 当 ，函数变为： 同理，每个点的纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不变。 3. 类似地，当 或 ，图象分别纵向拉伸为3倍或压缩为 倍。 第三步：几何解释（结合图示） 如图所示，设点 在函数 的图象上，则点 就在 的图象上。 这说明：将原图象上所有点作 纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变 的变换，即可得到 的图象。 这种变换称为 纵向伸缩变换。 第四步：一般结论 对于任意 ，函数 的图象可由 的图象经过以下变换得到： 若 ：将图象上所有点的纵坐标 伸长到原来的 倍； 若 ：将图象上所有点的纵坐标 缩短到原来的 倍。 最终，函数的值域由 变为 ，最大值为 ，最小值为 。 新知巩固 题目： 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 解答： 我们逐项分析各选项中的两个函数是否可以通过平移使图像重合。注意：题目强调“仅通过平移”，即不能伸缩、翻折等变换。 选项A： ，与 · ，这是一个振幅为的正弦型函数； · 而是标准余弦函数，振幅为1； · 两者振幅不同，无法通过平移重合（平移不改变振幅）； · ❌ 不满足条件。 选项B： （二倍角公式） 第一个函数是，第二个是； 振幅不同（1 vs. 0.5），函数类型也不同（余弦 vs 正弦）； 即使相位不同，也无法仅靠平移使其完全重合（还需纵坐标伸缩）； ❌ 不满足条件。 选项C： ， 分析这两个复合函数： 和 都是以 为周期的函数； 由于内层都是，所以外层输入范围有限； 注意到：，但这不是简单的平移关系； 更重要的是， 是奇函数（因为奇，奇，复合仍奇）； 是偶函数（因为，但）； 一个是奇函数，一个是偶函数 → 图像对称性不同 → 不可能通过平移重合； ❌ 不满足条件。 选项D： ， 我们考察这两个函数能否通过平移重合。 注意： 和 都是周期函数，且定义域为； 关键观察：是否存在某个常数 ，使得 对所有 成立？ 尝试利用恒等式或特殊值验证： 取 ： 若想让 ，在 处需有 这说明只要选择合适的 使得 或 等，可能成立？但这是点对点匹配，不能保证整体一致。 更深入分析： 实际上， 和 具有相同的值域（因为 ，而 在 上单调递增），所以值域均为 ； 二者周期均为 ； 并且，存在一个关键恒等式： 因为 ，所以： 即： 因此，函数 是由 向左平移个单位得到的！✅ 所以这两个函数图像仅通过平移就可以重合。 题目： 将函数右移个单位得到函数，则的一条对称轴为（  ） A． B． C． D． 解答： 已知：，将其向右平移个单位，得到新函数。 根据“左加右减”原则（对整体操作）： 所以 ，即 接下来求该函数的一条对称轴。 对于函数 ，其图像的对称轴位于函数取得最大值或最小值的位置，也就是正弦函数达到峰值的位置。 一般地，正弦函数 的对称轴出现在 （即波峰和波谷处），对应函数的极值点。 令： 解这个方程： 所以对称轴为： （代入: ；: ） 查看选项： A． B． C． D． 其中 在解集中（当时），故是一条对称轴。✅ 正确答案为 D。 板书设计 函数的图象 基础函数：（当，，时） 参数意义 ：振幅，决定纵坐标伸缩，值域为 ：角频率，决定周期，影响横坐标伸缩 ：初相，决定左右平移（相位变换） 图象变换步骤（思维顺序） 第一步：平移 → 左加右减：左移，右移 第二步：横坐标伸缩 → 横坐标变为原来的倍（压缩，拉伸） 第三步：纵坐标伸缩 → 纵坐标变为原来的倍（拉伸，压缩） 变换口诀 “先平移，再伸缩” 平移看，横伸缩看，纵伸缩看 教学反思 本教学设计以教材为基础，围绕探索参数、、对函数图象的影响展开，借助信息技术进行数学实验，引导学生探究各参数变化时图象的改变，并总结从正弦函数图象变换得到图象的过程。通过本堂课教学，基本完成教学任务，多数学生能理解相关知识。成功之处在于利用实验直观呈现，利于学生理解；引导学生探究，发挥其主动性。不足之处在于实验操作过程可能占用较多时间，导致部分学生对知识内化不充分；小组讨论深度可能不够，部分学生未能深入理解参数变化的本质。 学科网（北京）股份有限公司 $