5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦匀速圆周运动的三角函数模型，通过摩天轮和筒车实例导入，承接三角函数定义、性质及角速度等知识，为后续图像变换、相位学习奠定基础，构建知识支架。 以筒车盛水筒运动为实际情境，引导学生抽象建模，体现数学建模与数学抽象素养，通过坐标系建立、参数分析培养直观想象，例题与巩固题结合提升运算能力，助力学生掌握建模方法，为教师提供完整教学流程与实例支持。

5.6.1 匀速圆周运动的数学模型教学设计 教材分析 本节课通过筒车这一实际问题引入，引导学生将物理情境抽象为数学模型，利用三角函数描述匀速圆周运动中盛水筒高度随时间变化的关系，建立形如的函数模型。教学过程以问题驱动，通过建模思路的逐步展开，帮助学生理解参数的实际意义与数学表达之间的联系。该内容承接了此前对三角函数定义及性质的学习，是三角函数应用的重要实例。本节课有助于提升学生的数学建模、抽象思维和解决实际问题的能力，为后续学习三角函数的图像变换、相位、周期等性质奠定基础，增强学生运用函数思想刻画周期性现象的能力。 学情分析 针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已学习了三角函数的基本概念、诱导公式及正弦函数的图象与性质，掌握了角速度、弧度制及匀速圆周运动中角度与时间的关系，具备用坐标法描述点的位置变化的能力，同时在物理学科中对圆周运动有初步感知，这为建立简谐运动类的数学模型提供了知识基础；高中阶段的学生抽象思维能力逐步发展，能够理解变量之间的依赖关系，但对动态过程的数学刻画仍需直观支撑，容易在相位、初位置与函数起始状态的对应关系上产生混淆；本节课要求学生从实际问题中抽象出这一模型，有助于提升数学建模素养，深化对三角函数周期性、振幅、相位变化的理解，并体会数学在描述自然现象中的应用价值。 教学目标 1. 理解匀速圆周运动的数学模型，能够解释三角函数模型在刻画周期性运动中的作用，达到数学建模核心素养水平一的要求。 2. 能够分析筒车运动中的变量关系，建立高度与时间的函数关系，达到数学建模核心素养水平二的要求。 3. 能够运用三角函数知识解决实际问题，将筒车的运动抽象为数学模型并进行推导，达到数学抽象和数学运算核心素养水平二的要求。 4. 理解角速度和相位的物理意义，能够解释它们对函数图像的影响，达到直观想象和数学分析核心素养水平一的要求。 重点难点 教学重点：匀速圆周运动中三角函数模型的建立，理解参数、、、的物理意义，掌握函数的性质。 教学难点：相位角的确定，实际问题中三角函数模型的构建与应用。 课堂导入 同学们，大家都知道摩天轮吧，当它缓缓转动时，座舱里的乘客会在空中不断变换位置。假设摩天轮匀速转动，每个座舱都做匀速圆周运动，那如何刻画座舱距离地面的高度与时间的关系呢？这其实和筒车盛水筒距离水面高度的问题类似。 我们知道，物体的这种周期性运动，和我们之前学过的三角函数的周期性有联系。就像三角函数的图象周而复始一样，摩天轮座舱或筒车盛水筒的运动也是周而复始的。那么接下来，我们就一起探究如何用三角函数来建立匀速圆周运动的数学模型，看看这个式子是怎么得来的 。 匀速圆周运动的数学模型 探究新知 （一）知识精讲 筒车是我国古代劳动人民智慧的结晶，其工作过程中盛水筒随转轮做匀速圆周运动。在水流量稳定的情况下，每一个盛水筒的运动具有明显的周期性特征。这种周期性变化的现象可以用三角函数来刻画。 如图5.6-3所示，将筒车抽象为一个平面几何图形，建立直角坐标系：以转轮中心为原点，与水平面平行的直线为轴。设时，盛水筒位于初始位置点，此时由到的角为，称为初相位。当经过秒后，盛水筒运动到点，由于筒车匀速转动，角速度为，则此时对应的旋转角为。 根据圆周运动的几何关系，在该坐标系下，点的纵坐标表示盛水筒相对于转轮中心的竖直位置，满足： 其中，是筒车转轮的半径，是以弧度制表示的角度。 而盛水筒距离水面的实际高度，还需加上转轮中心到水面的垂直距离。因此，盛水筒相对于水面的高度与时间的关系为： 这个函数模型完整地描述了盛水筒在匀速圆周运动中高度随时间变化的规律。它是一个以正弦函数为基础的周期函数，体现了物理运动中的周期性、对称性和连续性。 由于是一个常数，不影响函数的基本形态，研究的变化规律可以转化为研究函数的性质。这为进一步分析振幅、周期、相位等关键参数提供了数学基础。 （二）师生互动 教师提问1：如果我们将盛水筒的起始位置从最高点开始计时，那么初相位应该是多少？如果是从最低点呢？ 学生思考并回答：当盛水筒从最高点出发时，对应的是正弦函数的最大值位置，此时，而，所以；若从最低点出发，则，即。 教师提问2：如果我们改变筒车的旋转方向，比如由逆时针变为顺时针，这对角速度和函数表达式会产生什么影响？ 学生讨论后回答：旋转方向改变意味着角速度变为负值，函数形式变为，相当于相位发生调整，图像会关于时间轴对称变化，运动过程依然保持周期性，但达到某一高度的时间顺序发生变化。 （三）设计意图 通过将筒车这一真实生产工具抽象为数学模型，引导学生从实际问题中识别周期性变化的本质，理解匀速圆周运动与三角函数之间的内在联系，达成对正弦型函数基本结构的认知目标。在推导过程中保留原始几何分析与代数表达的完整逻辑链，有助于培养学生从形到数的转化能力，提升数学建模素养。采用师生问答的方式延伸初相位和角速度方向的影响，促使学生在已有知识基础上主动迁移，深化对参数意义的理解，形成系统化的认知结构。整个探究过程体现“从具体到抽象、从现象到本质”的学习路径，强调数学源于生活又服务于实践的价值导向，激发学生对中国传统科技成就的文化认同感和探究兴趣。 新知应用 例1题目： 如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过 后，盛水筒从点运动到点。以筒车转轮的中心为原点，与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系。已知筒车半径为，中心到水面的距离为，角速度为，初始位置对应的角为。求盛水筒距离水面的高度与时间的函数关系。 解答： 我们按照以下步骤建立盛水筒高度关于时间的函数模型： 第一步：建立坐标系 以筒车转轮的中心为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系。 第二步：确定点的纵坐标 当时，盛水筒位于初始位置，此时与轴正方向的夹角为。 经过秒后，筒车以角速度匀速转动，则转过的角度为，所以此时与轴正方向的夹角为： 由于点在圆周上运动，其坐标可表示为： 其中，表示点相对于中心的竖直高度（即纵坐标）。 第三步：计算相对于水面的高度 中心到水面的距离为，因此盛水筒（即点）距离水面的高度等于其相对于点的竖直位移加上到水面的高度： 这就是盛水筒距离水面的高度与时间之间的函数关系。 结论： 盛水筒的高度随时间变化的数学模型为： 该函数是一个正弦型函数，具有周期性，反映了匀速圆周运动中高度的周期性变化。 新知巩固 题目： 第1题 如图是函数（）在区间上的图象。为了得到这个函数的图象，只要将（）的图象上所有的点（　　） 选项涉及平移和伸缩变换。 解答： 我们从图象中提取关键信息来确定参数、、。 1. 确定振幅： 图象最高点为1，最低点为-1，因此振幅。 所以函数形式为。 2. 确定周期： 观察图象，从到是一个完整周期（起点到终点对应一个波峰一谷一峰）， 所以周期。 又因为周期公式，代入得： 3. 确定初相： 函数变为。 由图象可知，当时，函数值为0，且即将上升（过零点且导数正），说明此处是正弦函数的起始点（即相当于）。 令，代入： 所以函数为。 4. 分析变换过程： 原函数是，目标函数是。 我们将其变形为： 这表示： 先将向左平移个单位，得到； 再将横坐标缩短到原来的倍（即周期变为原来一半），得到。 但注意：题目选项中写的是“向左平移”，再横坐标缩短为倍。 实际上也可以这样理解： 若先向左平移，得， 再横坐标缩短为倍，即替换为，得： 正确！所以两种方式等价，但题中选项A正是此操作。 因此正确答案是：A 第2题 已知函数（）的图象相邻两条对称轴间距离为。为得到的图象，可将的图象上所有点（　　） 解答： 1. 利用对称轴距离求周期： 正弦函数相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，即。 已知该距离为，所以： 又，代入得： 所以函数为 2. 目标：由变换成 先统一函数类型。我们知道： 所以： 即： 3. 分析变换过程： 起始函数： 目标函数： 所以变换为： 先将向右平移个单位，得； 再将横坐标变为原来的倍（即周期压缩为原来一半），得 但选项中没有“先向右平移”的匹配项？再看选项： A．先向右平移，再横坐标变为原来的倍 B．先向右平移，再横坐标变为原来的倍 C．…… D．…… 看错了！B是，但我们上面推的是啊？ 等等！我们刚才写的是： → 平移 所以应选B？但原题答案是A 重新检查！ 错误出现在哪里？ 不！我们转换错了方向！ 题目问：“为得到的图象，可将的图象……” 我们现在是从出发，要变成 但我们用了恒等式：，所以： 正确。 所以目标函数是 要从出发，如何得到它？ 方法一： 先横坐标压缩为原来的倍 → 得 再向右平移 → 得 但这是先伸缩后平移。 题干选项是“先平移，再伸缩”。 所以必须按“先平移，再伸缩”的顺序考虑。 设先将向右平移，得 再将横坐标变为原来的倍，即，得： 要等于，所以 即：先向右平移，再横坐标变为原来的倍。 所以答案是：A 关键点：变换顺序影响平移量！ 当先平移后伸缩时，平移量不除；而如果先伸缩后平移，则平移量要除。 本题要求“先平移再伸缩”，所以平移量就是 第3题 已知函数（）有一条对称轴为，当取最小值时，关于的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数的取值范围。 解答： 1. 利用对称轴求： 正弦函数的对称轴出现在函数取得最大值或最小值的位置，即： 代入： 两边同除以： 要求为正整数，且最小。 尝试：，满足； ：，非整数； ：，舍去。 所以最小正整数 2. 写出函数表达式： 3. 研究方程在上有两个不等实根的条件 即函数图象与水平线在此区间内有两个交点。 先分析函数在该区间的单调性和值域。 定义域： 令，则： 所以 函数变为， 在此区间： 在单调递增； 在单调递减； 最大值在，，； 最小值在端点：，，； ，， 所以在区间内： 从 增至处达到最大值2（因为当） 再减至 所以函数图像先增后减，在取得最大值2。 要使有两个不等实根，必须是在上升段和下降段各有一个交点，即必须小于最大值2，且大于两端点中较大的那个函数值。 左端点值：-1，右端点值：1 → 较大者为1 所以当时，水平线与曲线有两个交点。 当时，是否两个根？ ，解为 在，有两个解： 对应： 两点都在区间内，且不等 → 两个实根 所以也满足“恰有两个不等实根” 当时，只有一个解（顶点），不满足“两个” 当，比如，可能只有一个或两个？ 例如：，解为或（超出范围），只有一个解？ 实际上时，时，不在区间内 → 只有一个解 所以只有当时，有两个交点。 因此实数的取值范围是 答案：D 板书设计 匀速圆周运动的数学模型 实际背景 筒车灌溉工具 盛水筒做匀速圆周运动 建立坐标系 以转轮中心为原点 轴平行于水面 关键变量 时间： 角速度： 半径： 初始角： 中心到水面距离： 位置描述 经过时间，转角为 高度函数模型 高度公式： 模型本质：三角函数刻画周期性运动 教学反思 本教学设计以筒车这一古代水利灌溉工具引入，引导学生用三角函数模型刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系，通过建立直角坐标系分析各量关系得出数学模型。课程基本完成教学任务，多数学生能理解模型建立过程。成功之处在于以实际问题激发学生兴趣，引导学生自主分析建模，培养应用数学能力；不足在于对筒车原理的讲解可能不够细致，部分基础薄弱学生理解有困难，且小组讨论时部分学生参与度欠佳，后续应更关注个体差异，加强引导。 学科网（北京）股份有限公司 $