精品解析：四川省成都市成华区某校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用的否定为，“”的否定为“”求解. 【详解】的否定为，“”的否定为“”， “，”的否定为“，”， 故选：C. 2. 已知复数，，为虚数单位，若z为纯虚数，则（ ） A. B. 6 C. 12 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算计算，由为纯虚数求得，进而得及. 【详解】， 为纯虚数，且，， ，，. 故选：D. 3. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，由等比数列下标和性质可求得结果. 【详解】是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 4. 在矩形中，为的中点，点满足，则（ ） A. 32 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取为平面向量的一个基底，利用向量线性运算及数量积的运算律求解即得. 【详解】在矩形中，由为的中点，点满足，得， ，而， 所以. 故选：A 5. 在中，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求得，由角的取值范围即可求得. 【详解】由正弦定理可知， 即， ∵，∴. 故选：C. 6. 当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式“”的代换求最小值，注意取值条件即可． 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 7. 若函数有零点，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得方程有根，则，结合，求得或，利用诱导公式和二倍角余弦公式化简求解. 【详解】因为函数有零点，即方程有根， 所以，则， 因为，所以或， 则. 故选：B. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像： 由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第百分位数是 B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 已知随机变量，若，，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数的概念及计算方式可判断A选项；根据相关系数的概念直接可判断B选项；根据二项分布的期望及方差公式可判断C选项；根据正态分布的对称性可判断D选项. 【详解】A选项：个数据从小到大排列，由于， 所以第百分位数应该是第个与第个的平均数，故A选项错误； B选项：因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故B选项正确； C选项：因为，，， 所以，解得，故C选项正确； 对于选项D，由，，得， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有8个实数根，则 D. 若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算；对于B，当时，， 当时，计算；对于C，设，则方程即，由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，，且，，得到，同时构造函数，得到，计算得解； 对于D，作出函数的图像，分析可知当时，直线与函数有两个交点；由时，，当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，，由图知，得到和，由解得，由解得，从而得到的范围，求出用表示的式子，利用 的单调性得到的取值范围. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或， 故有、、共三个实数根，故B正确； 对于C，设，则方程即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，， 且，，则由解得或， 设，依题意，需使，则得到， 综上，可得； 对于D，作出函数的图像，由时，， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点， 故由有4个实数根可得，，由图知，， ，则，解得， 又由解得，由解得，则有， 于是，因函数在单调递减，故， 则， 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂和对数的运算性质可求代数式的值. 【详解】原式， 故答案为： 12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出，由时，求出和，从而可求出的关系式，进而可求出点P的纵坐标 【详解】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒， 所以，得， 所以， 因为当时，盛水筒M位于点， 所以， 所以， 因为， 所以，得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为， 故答案为： 13. 已知函数，，若，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对已知等式进行同构可得，令，利用导数可求得单调递增，由此可得，从而将所求式子化为；令，利用导数可求得，即为所求最大值. 【详解】由得：； 由得：，； ， 令，， ，在上单调递增， ； 令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2）的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为1 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式计算即可； （2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可. 【小问1详解】 依题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得高度在的频率为 ， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 15. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换进行求解； （2）由余弦定理及三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 由正弦定理得： ，再根据两角和的正弦公式展开得： ， 消去，整理得：， ，两边同除以得：， 由辅助角公式得：， 又，则，故，解得． 【小问2详解】 由题意得：， 平方得：，化简得， 解得舍. 由余弦定理得： 的面积 16. 如图1，在梯形中，，为的中点，，，将沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且． （1）若为的中点，证明：平面； （2）求平面与平面所成角的大小． 【答案】（1） 为的中点，， 所以， 将沿折叠后，得到四棱锥， 所以，又为的中点，所以， 又即，， 且，平面，所以平面， 又平面，所以， 又即，所以， 由且，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，再由可得，结合，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据题意得出所在直线两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 将沿折叠后，有 由题意知：， 所以所在直线两两互相垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，令，则，所以， ， 设平面的一个法向量为， 由，令，则，所以， 设平面与平面所成角为， 所以， 又，所以，所以平面与平面所成角的大小为. 17. 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . （3）直线恒过点，理由如下： 因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求实数； （2）若函数有三个极值点， ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】（1）； （2）①； ②由题意，（1）及（2）①证明如下，， 在中，， 有三个极值点，其中， 则另外两个，是方程的根，即的两个根， ∴要证，即证明， 设， 在中，， ∵， ∴，在上单调递减， 要证，即证， ∵，， ∵在上单调递减， ∴要证，即证， ∵， ∴，即为， ∴设，， ， 当时, ， ∴， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴，即， ∴. 【解析】 【分析】（1）设出切点的横坐标，根据直线与曲线相切，即可求出实数； （2）①求出表达式并求导，通过函数有3个极值点得出导数的情况，构造函数，进而将问题转化为直线与函数的交点问题，通过求解的单调性和范围，即可求出实数的取值范围； ②根据其中一个极值点，将问题转化为证明极值点偏移问题，即，根据，将转化为，构造函数的形式，最后对函数进行求导并判断其单调性，从而证明结论成立. 【小问1详解】 由题意，， 在中，， ∵与直线 相切， 设切点的横坐标为， ，解得：. 【小问2详解】 ①由题意及（1）得，，， 在中，， ∴， 在中，， ， ∵有三个极值点， ∴有3个根，即有3个根， 设其中一个根为，则有2个根，且都不为0和1， 即有2个解，即直线与函数有2个交点， 在中，， 当时，解得：， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴函数在处取最大值，， ∵当时，，当时，， ∴， ∵直线与函数有2个交点，且交点横坐标不为1， ∴. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数，，为虚数单位，若z为纯虚数，则（ ） A. B. 6 C. 12 D. 20 3. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 4. 在矩形中，为的中点，点满足，则（ ） A. 32 B. 16 C. D. 5. 在中，，则（ ） A. 或 B. C. D. 6. 当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有零点，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第百分位数是 B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 已知随机变量，若，，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有8个实数根，则 D. 若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. _____． 12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________． 13. 已知函数，，若，，则的最大值为______． 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 15. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 16. 如图1，在梯形中，，为的中点，，，将沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且． （1）若为的中点，证明：平面； （2）求平面与平面所成角的大小． 17. 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 18. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求实数； （2）若函数有三个极值点， ①求实数的取值范围； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $