5.1 导数的概念及其意义 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本高中数学讲义聚焦“导数的概念及其意义”核心知识点，从变化率问题切入，通过平均速度到瞬时速度、割线斜率到切线斜率的具体实例，逐步抽象出导数的定义、几何意义及导函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以实例驱动概念建构，如用自由落体运动分析瞬时速度、抛物线切线斜率探究，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。题型设计从具体计算到形式化定义运用，强化数学思维中的推理与运算能力，规范的符号表达助力数学语言运用。课中例题典型易讲解，课后跟踪训练与练习题系统，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

5.1 导数的概念及其意义 知识点一、变化率问题 1.从平均速度到瞬时速度 （1）平均速度：一般地，把位移s看成是关于时间t的函数s(t)，当时间从t0变化到t0+Δt（Δt≠0）时，位移的变化量为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)，则这段时间内的平均速度，物体某一段时间的平均速度近似地刻画了物体运动的快慢。 （2）瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设Δt是时间改变量，物体在t0时刻附近的某一时间段[t0,t0+Δt](Δt>0)或[t0+Δt,t0](Δt＜0)的平均速度是，当不断缩短上述时间段的长度，即当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t0时的瞬时速度，因此，物体在t=t0时的瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度精确刻画了物体的运动状态. 2.从抛物线的割线斜率到切线斜率 （1）割线的斜率：设点，是抛物线上任意两点，记Δx为自变量从x0变化到x的变化量，则割线PP0的斜率. （2）切线的定义：在抛物线上任取一点，如果当点沿着抛物线无限趋近于点时，割线PP0无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. （3）切线的斜率：切线的斜率. 知识点二、导数的概念及其几何意义 1.平均变化率 （1）定义：对于函数，设自变量x从x0变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，x的变化量为，的变化量为=-.我们把叫做函数从x0到的平均变化率. （2）平均变化率的几何意义：平均变化率表示割线的斜率. 2.导数 （1）导数的定义：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在x=x0处可导，并把这个确定的值叫作在x=x0处的导数（也称瞬时变化率），记作f'(x0)或，即. （2）导数的几何意义：函数在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率k0,即.如果切线的倾斜角为，则tan=f'(x0). 知识点三、导函数 从求函数在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当变化时，就是x的函数，我们称它为的导函数（简称导数）. 的导函数有时也记作，即： 题型一：变化率问题 例1.某物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为（g≈10m/s2，位移单位：m，时间单位：s），求： （1）物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度； （2）物体在t=t0时的瞬时速度. 例2.抛物线在点（2，4）处切线的斜率为 . 例3.已知某物体的位移S（米）与时间t（秒）的关系是S（t）＝3t﹣t2． （1）求t＝0秒到t＝2秒的平均速度； （2）求此物体在t＝2秒的瞬时速度． 跟踪训练： 1.遥控飞机上升后一段时间内，第ts时的高度为f（t）＝5t2+45t+4，其中上升高度f（t）的单位为m，t的单位为s． （1）求飞机在[1，2]时间段内的平均速度； （2）求飞机在t＝2s时的瞬时速度． 2.已知某质点的运动方程为s（t）＝3t2+2t+1（s的单位为m，t的单位为s）． （1）求从t＝2s到t＝（2+Δt）s的平均速度； （2）求当Δt＝0.1s时的平均速度； （3）求当t＝2s时的瞬时速度． 3.函数在点（1，5）处切线的斜率为 . 题型二：导数的概念及其几何意义 例1.函数在x=1处的导数为 . 例2.（1）求函数f（x）在x＝1处的导数； （2）已知f′（x0）＝2，求的值． 例3.求下列曲线在给定点处切线的斜率． （1）y＝3x﹣5，点（2，1）； （2）y＝x2+1，点（1，2）． 例4.已知函数f（x）＝10x+x2． （1）用导数的定义求函数y＝f（x）的导数； （2）求出f′（5），f′（0）的值． 跟踪训练： 1.曲线f（x）＝x3+2x+1在点M处的切线斜率为2，求点M的坐标． 2.求下列函数的导数，并求出在给定点的切线的斜率及切线方程： （1）y＝2x2，（1，2）； （2）y＝x2+1，（1，2）； （3）y＝3x﹣5，（2，1）； （4）y，（1，1）． 题型三：导数形式化定义的运用 例1.已知f′（x）为f（x）的导数，且f′（2）＝2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 跟踪训练： 1.设，则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．1 D．4 2.设f（x）是可导函数，且，则f′（x0）＝　 　． 3.若f′（x0）＝2，求． 1．函数y＝f（x），自变量x由x0改变到x0+kΔx（k为常数）时，函数的改变量Δy为（　　） A．f（x0+kΔx） B．f（x0）+kΔx C．f（x0）•kΔx D．f（x0+kΔx）﹣f（x0） 2．一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（　　） A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6 3.已知函数f（x）＝x3+2x，则（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 4.已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则（　　） A．3 B． C．6 D． 5.设P（x0，y0）是曲线y＝3﹣x2上一点，求曲线在点P处切线的斜率． 6.已知函数f（x）＝10x+x2； （1）写出Δy＝f（x+Δx）﹣f（x）； （2）求出； （3）求出； （4）写出f′（x），f′（5），f′（0）． 1.已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 2.已知，则等于（ ） A.1 B.-1 C.3 D. 3.若，则f'（2）＝（　　） A． B．6 C．3 D．﹣3 4.函数在[1,2]内的平均变化率为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 5.若为可导函数，且满足，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线斜率为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.-2 6.已知，若，则a的值为（ ） A. B. C. D. 7.（多选）已知函数f（x）满足f（1）＝3，f′（1）＝﹣3，则下列关于f（x）的图象描述正确的是（　　） A．f（x）的图象在x＝1处的切线斜率大于0 B．f（x）的图象在x＝1处的切线斜率小于0 C．f（x）的图象在x＝1处位于x轴上方 D．f（x）的图象在x＝1处位于x轴下方 8.函数在处的导数为 . 9.已知直线x-y-1=0与抛物线相切，则a的值为 . 10.设函数f（x）＝x2﹣1．求： （1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率； （2）函数在x＝1处的导数． 11.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+2bx经过点（1，0），且． （1）求f（x）在（1，0）的切线方程； （2）求f（x）的解析式． 12.已知f（x）在x0处的导数f′（x0）＝k，求下列各式的值： （1）； （2）． 13.求函数f（x）＝3x2+x在x＝1处的瞬时变化率． 14.已知曲线y＝x2，分别求出曲线在点（0.3，0.09），（1，1），（3，9）的切线的斜率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 导数的概念及其意义 知识点一、变化率问题 1.从平均速度到瞬时速度 （1）平均速度：一般地，把位移s看成是关于时间t的函数s(t)，当时间从t0变化到t0+Δt（Δt≠0）时，位移的变化量为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)，则这段时间内的平均速度，物体某一段时间的平均速度近似地刻画了物体运动的快慢。 （2）瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设Δt是时间改变量，物体在t0时刻附近的某一时间段[t0,t0+Δt](Δt>0)或[t0+Δt,t0](Δt＜0)的平均速度是，当不断缩短上述时间段的长度，即当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t0时的瞬时速度，因此，物体在t=t0时的瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度精确刻画了物体的运动状态. 2.从抛物线的割线斜率到切线斜率 （1）割线的斜率：设点，是抛物线上任意两点，记Δx为自变量从x0变化到x的变化量，则割线PP0的斜率. （2）切线的定义：在抛物线上任取一点，如果当点沿着抛物线无限趋近于点时，割线PP0无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. （3）切线的斜率：切线的斜率. 知识点二、导数的概念及其几何意义 1.平均变化率 （1）定义：对于函数，设自变量x从x0变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，x的变化量为，的变化量为=-.我们把叫做函数从x0到的平均变化率. （2）平均变化率的几何意义：平均变化率表示割线的斜率. 2.导数 （1）导数的定义：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在x=x0处可导，并把这个确定的值叫作在x=x0处的导数（也称瞬时变化率），记作f'(x0)或，即. （2）导数的几何意义：函数在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率k0,即.如果切线的倾斜角为，则tan=f'(x0). 知识点三、导函数 从求函数在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当变化时，就是x的函数，我们称它为的导函数（简称导数）. 的导函数有时也记作，即： 题型一：变化率问题 例1.某物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为（g≈10m/s2，位移单位：m，时间单位：s），求： （1）物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度； （2）物体在t=t0时的瞬时速度. 解：（1）平均速度计算： 位移变化量，则平均速度. （2）瞬时速度计算： 当时，物体在t=t0瞬时速度. 例2.抛物线在点（2，4）处切线的斜率为 . 解：，则其斜率. 例3.已知某物体的位移S（米）与时间t（秒）的关系是S（t）＝3t﹣t2． （1）求t＝0秒到t＝2秒的平均速度； （2）求此物体在t＝2秒的瞬时速度． 解：（1）米/秒. （2）∵在t＝2秒的瞬时速度为米/秒． 跟踪训练： 1.遥控飞机上升后一段时间内，第ts时的高度为f（t）＝5t2+45t+4，其中上升高度f（t）的单位为m，t的单位为s． （1）求飞机在[1，2]时间段内的平均速度； （2）求飞机在t＝2s时的瞬时速度． 解：（1）（m/s）． （2）第2s末的瞬时速度为 （5Δt+65）＝65． 因此，第2s末的瞬时速度为65m/s． 2.已知某质点的运动方程为s（t）＝3t2+2t+1（s的单位为m，t的单位为s）． （1）求从t＝2s到t＝（2+Δt）s的平均速度； （2）求当Δt＝0.1s时的平均速度； （3）求当t＝2s时的瞬时速度． 解：（1）从t＝2s到t＝（2+Δt）s的平均速度为3△t+14； （2）由（1）可知，当Δt＝0.1s时的平均速度为3×0.1+14＝14.3； （3）当Δt→0时，则，∴当t＝2s时的瞬时速度为14． 3.函数在点（1，5）处切线的斜率为 . 解：． 题型二：导数的概念及其几何意义 例1.函数在x=1处的导数为 . 解：． 例2.（1）求函数f（x）在x＝1处的导数； （2）已知f′（x0）＝2，求的值． 解：（1）∵， 则．故函数f（x）在x＝1处的导数为f '（1）； （2）∵f '（x0）＝2，则f '（x0）＝﹣1． 例3.求下列曲线在给定点处切线的斜率． （1）y＝3x﹣5，点（2，1）； （2）y＝x2+1，点（1，2）． 解：（1）， ∴x＝3时，y'＝3，即该曲线在定点处切线的斜率为3； （2）， ∴x＝1时，y'＝2，即该曲线在定点处切线的斜率为2． 例4.已知函数f（x）＝10x+x2． （1）用导数的定义求函数y＝f（x）的导数； （2）求出f′（5），f′（0）的值． 解：（1）函数f（x）＝10x+x2， 则Δy＝f（x+Δx）﹣f（x）＝10（x+Δx）+（x+Δx）2﹣10x﹣x2＝（Δx）2+（2x+10）Δx， 所以，则当Δx→0时，， 故＝2x+10； （2）由（1）可知f '（x）＝2x+10，所以f '（5）＝2×5+10＝20，f '（0）＝2×0+10＝10 跟踪训练： 1.曲线f（x）＝x3+2x+1在点M处的切线斜率为2，求点M的坐标． 解：＝3x2+2，∴3x2+2＝2，解得x＝0， ∴f（0）＝1， ∴M（0，1）． 2.求下列函数的导数，并求出在给定点的切线的斜率及切线方程： （1）y＝2x2，（1，2）； （2）y＝x2+1，（1，2）； （3）y＝3x﹣5，（2，1）； （4）y，（1，1）． 解：（1）y＝2x2，其导数y′＝4x， 则有y′|x＝1＝4，即y＝2x2在（1，2）处切线的斜率k＝4； （2）y＝x2+1，其导数y′＝2x， 则有y′|x＝1＝1，即y＝x2+1在（1，2）处切线的斜率k＝2； （3）y＝3x﹣5，其导数y′＝3， 则y＝3x﹣5在（2，1）出切线的斜率k＝3； （4）y，其导数y′， 则有y′|x＝1＝﹣1，即y在（1，1）处切线的斜率k＝﹣1． 题型三：导数形式化定义的运用 例1.已知f′（x）为f（x）的导数，且f′（2）＝2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 解：f′（2）＝2，则． 故选：B． 跟踪训练： 1.设，则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．1 D．4 解：因为，则2f'（2）＝﹣2，解得f′（2）＝﹣1， 则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣1． 故选：A． 2.设f（x）是可导函数，且，则f′（x0）＝　6　． 解：，则，解得f′（x0）＝ 6．故答案为：6． 3.若f′（x0）＝2，求． 解：f′（x0）（这时△x＝﹣k）． ∴[•] • f′（x0）＝﹣1． 1．函数y＝f（x），自变量x由x0改变到x0+kΔx（k为常数）时，函数的改变量Δy为（　　） A．f（x0+kΔx） B．f（x0）+kΔx C．f（x0）•kΔx D．f（x0+kΔx）﹣f（x0） 解：∵自变量x由x0改变到x0+k△x，当x＝x0，y＝f（x0）， 当x＝x0+△x，y＝f（x0+k△x），∴△y＝f（x0+k△x）﹣f（x0）．故选：D． 2．一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（　　） A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6 解：，故选：D． 3.已知函数f（x）＝x3+2x，则（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 解：函数f（x）＝x3+2x，求导得f′（x）＝3x2+2，f′（1）＝3×12+2＝5， 所以2f′（1）＝2×5＝10．故选：B． 4.已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则（　　） A．3 B． C．6 D． 解；因为函数f（x）在x＝x0处的导数为3，所以， 所以．故选：B． 5.设P（x0，y0）是曲线y＝3﹣x2上一点，求曲线在点P处切线的斜率． 解：y＝3﹣x2，则y'＝﹣2x，当x＝x0时，切线在点P处切线的斜率为﹣2x0． 6.已知函数f（x）＝10x+x2； （1）写出Δy＝f（x+Δx）﹣f（x）； （2）求出； （3）求出； （4）写出f′（x），f′（5），f′（0）． 解：（1）Δy＝f（x+Δx）﹣f（x）＝10（x+Δx）+（x+Δx）2﹣10x﹣x2 ＝10Δx+2xΔx+Δx2； （2）； （3）； （4）由（2）知， 则f′（5）＝10+2×5＝20，f′（0）＝10+2×0＝10． 1.已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 解：∵物体做直线运动的方程为， 根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度， ∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s． 故选：D． 2.已知，则等于（ ） A.1 B.-1 C.3 D. 解：，故选C. 3.若，则f'（2）＝（　　） A． B．6 C．3 D．﹣3 解：若，则＝6．故选：B． 4.函数在[1,2]内的平均变化率为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 解：在[1,2]的平均变化率为,故选B. 5.若为可导函数，且满足，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线斜率为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.-2 解：，故选：B. 6.已知，若，则a的值为（ ） A. B. C. D. 解：， 所以，，解得：。 7.（多选）已知函数f（x）满足f（1）＝3，f′（1）＝﹣3，则下列关于f（x）的图象描述正确的是（　　） A．f（x）的图象在x＝1处的切线斜率大于0 B．f（x）的图象在x＝1处的切线斜率小于0 C．f（x）的图象在x＝1处位于x轴上方 D．f（x）的图象在x＝1处位于x轴下方 解：函数f（x）满足f（1）＝3，f′（1）＝﹣3， 由f′（1）＝﹣3＜0，则f（x）的图象在x＝1处的切线斜率小于0；A错，B对； 由f（1）＝3＞0，所以f（x）的图象在x＝1处位于x轴上方，C对，D错．故选：BC． 8.函数在处的导数为 . 解：，所以. 9.已知直线x-y-1=0与抛物线相切，则a的值为 . 解：设切点为P(x0,y0), 则， 即，解得：. 10.设函数f（x）＝x2﹣1．求： （1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率； （2）函数在x＝1处的导数． 解：（1）因为f（x）＝x2﹣1， 所以当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为2.1； （2）因为f′（x）＝2x，故函数在x＝1处的导数为f′（1）＝2． 11.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+2bx经过点（1，0），且． （1）求f（x）在（1，0）的切线方程； （2）求f（x）的解析式． 解：（1）∵，且， ∴f'（1）＝6，又切点为（1，0）， ∴切线方程为y﹣0＝6（x﹣1），即6x﹣y﹣6＝0； （2）由（1）知，f'（1）＝6且f'（x）＝3x2﹣2ax+2b，f（1）＝0， ∴，解得：，∴f（x）＝x3﹣4x2﹣5x． 12.已知f（x）在x0处的导数f′（x0）＝k，求下列各式的值： （1）； （2）． 解：（1）∵，即， ∴； （2）∵， 即为函数f（x）在区间[x0﹣Δx，x0+Δx]上平均变化率， ∴， ∴． 13.求函数f（x）＝3x2+x在x＝1处的瞬时变化率． 解：由题意可知，7，即函数f（x）＝3x2+x在x＝1处的瞬时变化率为7． 14.已知曲线y＝x2，分别求出曲线在点（0.3，0.09），（1，1），（3，9）的切线的斜率． 解：根据题意，y＝x2，则 ∴y′＝2x，则有y′|x＝0.3＝2×（0.3）＝0.6，即曲线在点（0.3，0.09）的切线的斜率k＝0.6； y′|x＝1＝2×1＝2，即曲线在点（1，1）的切线的斜率k＝2； y′|x＝3＝2×3＝6，即曲线在点（3，9）的切线的斜率k＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $