4.5 角的比较与补（余）角 第2课时 （课件）2025-2026学年沪科版数学七年级上册

七年级上册数学（沪科版） 4.5 角的比较与补 (余) 角 第4章 几何图形初步 第 2 课时 余角和补角 1 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 教学目标 1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质； 2. 并能利用余角、补角的知识解决相关问题 重点：掌握余角和补角的性质. 难点：利用余角、补角的知识解决相关问题. e7d195523061f1c0c2b73831c94a3edc981f60e396d3e182073EE1468018468A7F192AE5E5CD515B6C3125F8AF6E4EE646174E8CF0B46FD19828DCE8CDA3B3A044A74F0E769C5FA8CB87AB6FC303C8BA3785FAC64AF5424764E128FECAE4CC72932BB65C8C121A0F41C1707D94688ED66335DC6AE12288BF2055523C0C26863D2CD4AC454A29EEC183CEF0375334B579 如图，∠1 +∠2 = 5 6 3 4 O A C B A B C O O A B C 当∠AOB = 90° 时， ∠3 +∠4 = 当∠AOB = 180° 时， ∠5 +∠6 = 90°. 180°. ∠AOB 1 2 3 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 补角和余角的概念 1 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么我们就称这两个角互为补角 ( 简称互补 ). 1 2 知识要点 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的补角，或 ∠2是 ∠1 的补角，或 ∠1 和 ∠2 互补. 几何语言表示为： 若∠1+∠2 = 180°， 则∠1 与∠2 互为补角 1 2 知识要点 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 2 如果两个角的和等于一个直角 ( 90° )，那么说这两个角互为余角 ( 简称互余 ). 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和 ∠2互余. 1 几何语言表示为： 若∠1 +∠2 = 90°， 则∠1与∠2互为余角. 知识要点 1. 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15° 24° 66° 75° 46.2° 43.8° 练一练 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 2. 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10° 30° 60° 80° 100° 120° 150° 170° ∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90) 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° (90－x)° (180－x)° 观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____. 90° 观察与思考 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 5）如果∠1 = 30°，∠2 = 25°，∠3 = 35°，那么∠1、∠2、∠3 这三个角互为余角. （ ） 3）同一个角的补角比它的余角大 90 度. （ ） 4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. （ ） 2）一个角的补角必为钝角. （ ） 1）一个角的余角必为锐角. （ ） × √ × √ × 判一判 余角和补角的性质 2 (1) 如图 (a)， ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2 与∠3 有什么大小关系? 想一想 由于∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180° 所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1. 因此 ∠2 =∠3 (等量代换) . 同角(或等角)的补角相等. 1 2 3 (a) 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 (2) 如图 (b)，∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，那么∠5 与∠6 有什么大小关系? 由于∠4 +∠5 = 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以∠5 = 9° - ∠4，∠6 = 90° - ∠4. 因此 ∠5 =∠6 (等量代换) . 同角(或等角)的余角相等. 4 5 6 (b) 例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数. 解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOD = 90° -∠AOB = 90° - 29.66° = 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 29.66° 60.34° 所以 30.17° 典例精析 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 例2 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个 角的度数. 解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°， 补角为 (180 - x)°. 根据题意，得 ， 解得 x = 45. 因此，这个角为 45°. 典例精析 练一练 1. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = . 2. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 . 155° 分析：1. ∠2 = 90° - ∠1 2. 设这个角的余角为 α，则这个角为 1.5α. 126° = 90° - 65° = 25° ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 25° = 155° α + 1.5α = 90° 解得 α = 36°，1.5α = 54°. 方程思想 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 作一个角等于已知角 3 例3 如图，已知∠M，画∠AOB，使得∠AOB =∠M. 合作探究 M O A B 解 用量角器量得∠M = 110. 画∠AOB = 110°，∠AOB 即为符合题意的角[如右图]. 1.度量法 如图，张开圆规，当圆规两足末墙的距离为 α 时，圆规的张角为∠α，将圆规闭合后重新张开，如何调整圆规使张角仍为∠α？ 合作探究 α a 需要确保在闭合圆规后重新张开时，两脚间的距离与之前的距离相同. 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 例4 作一个角等于已知角 已知： 如图，∠AOB. 求作： ∠A'O'B' 使∠A'O'B' =∠AOB. B O A 想一想：如果没有三角尺和量角器，只用尺规作图能画出一个角等于已知角吗？ B O A O′ A′ (2) 以点 O 为圆心， 任意长为半径画弧， 交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； (3) 以点 O' 为圆心， C D 同样(OC)长为半径画弧， C′ (4) 以点 C' 为圆心， CD 长为半径画弧， D′ (5) 过点 D' 作射线 O'B'. B′ A′ O′ B′ ∠A'O'B' 就是所求的角. 作 法 示 范 交 O'A' 于点 C'； 交前面的弧于点 D'； (1) 作射线 O'A'； 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹. 已知：∠AOB. 利用尺规作：∠A'O'B'， 使∠A'O'B' = 2∠AOB. B O A 作法一： A' B' ∠A'O'B'为所求. B O A 作法二： C D ∠AOB +∠AOB′ E B' O' A ∠A'O'B'为所求. C C' (O') 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 2 1 4 3 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠3 +∠4 = 180° 或∠3 = 180° -∠4 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 2. 一个角的余角是它的 2 倍，这个角的度数是（ 　） A．30° B．45° C．60° D．75° A 1. 下列说法正确的是（　　） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角 D 3. 已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A = 60°，则∠C 的度数是_______. 150° 4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= . 62° 28° 在函数基础的探究活动中，学生需要自主可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。几何画板应用的教学重点应该放在如何相交上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。变异系数的教学重点应该放在如何区分上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要量化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 5. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 (180－x)°， 余角是 (90－x)°. 根据题意，得 180－x = 4(90－x). 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60°. $