4.1 指数 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 1.理解n次方根、根式、分数指数幂、无理数指数幂等概念（数学抽象） 2.能正确运用根式性质与运算法则化简求值； 3.掌握根式与分数指数幂之间的相互转换 4.掌握有理数指数幂的运算性质，并用其解决实际问题（数学运算）. 学习目标 正整数指数幂幂： 即 负整数指数幂： 个 知识回顾 底数 指数 幂 ， ≠0“底倒指反”. 零指数幂： 整数指数幂 同底数幂乘：= 。 幂的乘方:(= 。 积的乘方:(b)m= 。 同底数幂除 。 整数指数幂的运算性质 知识回顾 （1） ; (2) = ; (3) = ; (4) = ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) = ; 3 125 内容检测 9 新知探究 旧知引入 如果,那么就称为的平方根，记作 ，∴4的平方根为，记作 如果,那么就称的立方根，记作 如：∵， ∴8的立方根为，记作 ∵， ∴0的立方根为，记作0 ∵，∴-8的立方根为，记作 若将二次根式与三次根式根指数2与3变成4,5,6,……n等更大的正整数，那么这样的根式叫什么根式？它们又具有哪些性质呢？ 问题探讨 新知次方根 1.次方根的定义：一般地,如果数 的 次方等于 , 即 那么称数为的 . 次方根 2.根式 次方根可表示为 ，称为 ，为根指数，叫做被开方数。 3.n次方根性质： 为奇数 为偶数 ＞0 =0 ＜0 。 。 0 ∵，∴16的4次方根为，记作 观察下列运算 ∵， ∴32的5次方根为，记作 ∵，∴-32的5次方根为，记作 0的任何次方根都是0（∵），记作 不存在 负数没有偶次方根. （1）根式的定义 形如的式子称为 , 其中” ”称为 ，称为 , 称为 . （2）根式的性质（据次方根的定义可得） 例如：， ①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作0 ④当为奇数时，； 当为偶数时， (注：绝对值性的被开方数为) ③（还原性）： (注：还原性的被开方数为)例如：， 4.根式的性质： 根式 次根号 根指数 被开方数 课本例1 求下列各式的值 （1） ； （2）； （3）； （4） 巩固提升 解：（1） （2） （3） （4） 新知分数指数幂 观察下列各个次根式的运算与变形过程，你能从中发现什么规律？ 1. 2. 3. 当根式的被开方数能化为某个正数幂的形式时，结果都可以转换为这个正数的分数指数幂， 由上探究，我们规定： 1.正数的正分数指数幂： 例如： 正数的正分数指数幂满足： ①分数指数幂中的底数与根式中被开方数 相同； ②分数指数幂中指数的分子为根式中被开方数的 ； ③分数指数幂中指数的分母为根式中的 . 新知分数指数幂 底数 指数 根指数 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，于是，我们规定： 2.正数的负分数指数幂： 即正数的负分数指数幂满足 ： （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：特别地，1的任何次幂都为1，即 注：规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数. 例如：。 3.有理数指数幂的运算法则 即,均有 （1） 。 （2） （3） （4） （5） （6） 当 （7） 正数整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用 例2 计算下列分数指数幂的值 （1） ； （2）； （3）； （4） 巩固提升 解：（1）法1： 法2： （2）法1： 法2： 解：（3）法1： （4）法2： 前面已将的指数的取值从整数延升到了有理数.那么，当指数是无理数时，是否仍有意义?它是一个确定的数吗?如果是，有什么运算性质? 问题探讨 观察(表 4.1-1)，的变化趋势，你有什么发现? 1.当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数 2.数轴表示： 一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数.所以，现将指数幂 中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数,且实数指数幂是一个确定的实数. 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂， 新知无理数指数幂及其运算性质 即,均有 （1） 。 （2） （3） （4） （5） （6） 当 （7） 题型探究 -素养达成 1.化简下列各式 （+= 。 （+= 。 （-3＜＜3，求- 。 1.根式与分数指数幂的转化：（其中）： 将下列各式进行分数指数幂与根式的转化并计算各式的值 ; ; ; ; ; ; ；；； ; 题型探究 -素养达成 解：指数的运算性质可得 ； ; ； ；=[（-）3]=- 提升演练 2.实数指数幂的综合运用： = 。 （2）_ (_+(= 。 (3) = 。 （4） 。 题型探究 -素养达成 2 24 本节课你学到了什么内容？ 课堂总结 $