专题27.3 点和圆、直线和圆的位置关系（高效培优讲义）数学华东师大版九年级下册

本讲义聚焦“点和圆、直线和圆的位置关系”核心知识点，构建从定义分类（点的圆内、圆上、圆外，直线的相离、相切、相交）到数量关系（d与r的等价判定），再到应用（过三点作圆、三角形外接圆性质）的递进式学习支架。 资料以模块化设计整合知识点与分层题型，通过表格对比直线与圆位置关系培养几何直观，典例结合变式题（如外心位置判断、直线与圆公共点个数确定）发展推理意识，综合题（如外接圆性质求线段长）强化模型应用，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺。

专题27.3 点和圆、直线和圆的位置关系 教学目标 1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系. 2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法. 3.掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法. 教学重难点 1.重点：（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆. （3）直线与圆的三种位置关系及其数量关系. 2.难点：（1）点与圆的三种位置关系及其数量关系；（2）通过数量关系判断直线与圆的位置关系. 知识点01 点和圆的位置关系 ◆点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点02 圆的确定 ◆1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才 唯一确定； ◆2、过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. ◆3、不在同一条直线上的三点确定一个圆. 知识点03三角形的外接圆 ◆1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. ◆2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 知识点04 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 题型01 点和圆的位置关系 【典例1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）在所在平面内有一点，若，半径为5，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离d与半径r比较，若，则点在圆外，即可求解． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴ 点P在外． 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知的半径，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径，且， ∴点在内， 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（  ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系． 根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小：若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内；若距离大于半径，则点在圆外． 【详解】解：∵，的半径， ∴， ∴ 点在上． 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）平面内有两点P，O，的半径为5，若，则点P与的位置关系是 （填写“圆内”“圆外”和“圆上”其中一个） 【答案】圆内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 根据点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，，且， ∴点P在内部，即点P与的位置关系是圆内． 故答案为：圆内． 题型02 利用点与圆的位置关系求半径 【典例2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系， 点A在圆外，因此点A到圆心的距离大于圆的半径，据此确定半径的取值范围即可得到答案． 【详解】∵点A在圆O外， ∴的长大于圆O的半径， ∵， ∴圆O的半径小于4， ∴圆O的半径可能是3， 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）若点M在外，且，则的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点在圆外时，点到圆心的距离大于半径；注意半径为正数． 根据点与圆的位置关系，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 【详解】解：∵点M在外， ∴， ∵， ∴，即， 又∵圆的半径， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，先根据勾股定理算出，再结合点与圆的位置关系进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内， ∴， 即， 故答案为：． 题型03 确定三角形外心的位置 【典例3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 【变式3-2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)判断点与的位置关系，点D在_____；（填内、外、上） (4)若与y轴交于点N，则______． 【答案】(1) (2) (3)外 (4) 【分析】（1）先确定圆心点M在直线上，设点M的坐标为，根据半径相等列方程求解即可； （2）根据两点之间的距离公式计算即可； （3）先计算，再根据点与圆的位置关系判断即可； （4）如图，取格点E，根据网格特点和等腰三角形的性质求得，再利用圆内接四边形性质求解即可． 【详解】（1）解：、， 的垂直平分线是直线， 圆心点M在直线上， 设点M的坐标为， 则， ， 解得， 圆心的坐标为． 故答案为：． （2）解：，， ， 这个圆的半径长为． 故答案为：． （3）解：，， ， ， 点在外． 故答案为：外． （4）解：如图，取格点E，则，，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，两点间的坐标距离公式，点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系及相关计算是解决问题的关键． 题型04 利用外心的性质求角的度数 【典例4】如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（　　） A．100° B．160° C．150° D．130° 【分析】根据圆周角定理即可得到∠BOC的度数． 【解答】解：∵点O是△ABC的外接圆的圆心， ∴∠A、∠BOC同对着， ∵∠A＝80°， ∴∠BOC＝2∠A＝160°， 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 【变4-1】（2024•越秀区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠DAC＝52°，则∠B的大小为（　　） A．38° B．40° C．48° D．65° 【答案】A． 【分析】连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠DCA＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠D＝38°，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D＝38°，即可解答． 【详解】解：连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DCA＝90°， ∵∠DAC＝52°， ∴∠D＝90°﹣∠DAC＝38°， ∴∠B＝∠D＝38°， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式4-2】（2024•宝鸡模拟）如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【答案】D． 【分析】连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，可得∠OBC＝20°，再证EBC＝∠EAC＝∠EAB∠BAC＝35°，由三角形内角和定理求∠OEB即可． 【详解】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝20°， ∵E是的中点， ∴， ∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB∠BAC＝35°， ∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°， ∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE＝55°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 【变式4-3】（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，连接BO并延长交AC于点D，交⊙O于点E，若∠C＝40°，则∠ADB的度数为 （　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】B． 【分析】连接CE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ECB＝90°，从而可得∠ECA＝50°，进而利用同弧所对的圆周角相等可得∠ECA＝∠EBA＝50°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠ABC＝70°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接CE， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝40°， ∴∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝50°， ∴∠ECA＝∠EBA＝50°， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC（180°﹣∠ACB）＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型05 利用外心的性质求线段长 【典例5】如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点O为△ABC的外心，连接OA交BC于点M．若OA＝AC＝1，则BC的长为（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】A． 【分析】连接OC，证明△OAC为等边三角形，求出∠OAC＝60°，求出MC后再求BC即可． 【详解】解：连接OC， ∵O为△ABC的外心， ∴OA＝OC， ∵OA＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠OAC＝60°， ∵AB＝AC， ∴AM⊥BC， 在Rt△ACM中， MC＝AC•， ∴BC＝2MC． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形外心性质、垂径定理性质的应用，等边三角形及三角函数的应用是解题关键． 【变式5-1】（2024•雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，连接OC，若∠COD＝2∠B，AC＝8，则OA的长为（　　） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A． 【分析】根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B，求得∠AOC＝∠COD＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到OA． 【详解】解：∵AD为⊙O的直径， ∴∠AOC＝2∠B， ∵∠COD＝2∠B， ∴∠AOC＝∠COD＝90°， ∵OA＝OC，AC＝8， ∴OA＝OC＝4， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式5-2】如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝　 　． 【答案】1.5． 【分析】连接DE，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到D为AB的中点，E为AC的中点，利用三角形的 中位线定理即可求得结论． 【详解】解：连接DE，如图， ∵点O是△ABC的外心， ∴O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴D为AB的中点，E为AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝3． ∵点M、N分别是OD、OE的中点， ∴MN是△ODE的中位线． ∴MNDE＝1.5． 故答案为：1.5． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解题的关键． 【变式5-3】如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论； （2）连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形 的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵OD⊥BC， ∴， ∴AB＝AC； （2）解：连接OB， ∵OD⊥BC，BC＝8， ∴BD＝DCBC8＝4， 在Rt△ODB中，OD3， ∴AD＝5+3＝8， ∴S△ABC8×8＝32． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键． 题型06 三角形外接圆的综合题 【典例6】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高线上． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由垂径定理可得，即是线段的垂直平分线，则，即可证明结论； （2）由垂径定理可得，根据勾股定理可得，如图：连接，设的半径为r，则，最后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵圆心在这个三角形的高线上， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵圆心在这个三角形的高线上， ∴， ∴， 如图：连接，设的半径为r，则， ∵， ∴，解得：， ∴的半径为． 【变式6-1】如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D，直径AE平分∠BAD交BC于点F，连接BE． （1）证明：∠AEB＝∠AFD； （2）若AB＝10，BF＝5，求AF的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点B作BH⊥AE于H，根据勾股定理求出AE，根据三角形的面积公式求出BH，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵AD⊥BC， ∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠AEB+∠BAF＝90°， ∴∠AEB＝∠AFD； （2）解：过点B作BH⊥AE于H， ∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB， ∴∠BFE＝∠AEB， ∴BE＝BF＝5， 在Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝90°， 则AE5， ∵S△ABEAB•BEAE•BH， ∴BH2， ∴EH＝FH， ∴AF＝AE﹣EF＝AE﹣2EH＝3． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、勾股定理，掌握圆周角定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 【变式6-2】已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点 （1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD； （2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）如图1，延长DO交BC于F，根据垂径定理得到DF⊥BC，根据圆周角定理得到AB⊥BC根据平行线的判定定理即可得到AB∥OD； （2）连接DO并延长交BC于F，由垂径定理得到DF⊥CB，求得CFBC＝4，根据全等三角形的性质得到OF＝OE＝OA﹣3，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，延长DO交BC于F， ∵点D为优弧BC的中点， ∴， ∴DF⊥BC， ∵AC为⊙O的直径， ∴AB⊥BC， ∴AB∥OD； （2）连接DO并延长交BC于F， ∵点D为优弧BC的中点， ∴， ∴DF⊥CB， ∴CFBC＝4， ∵DE⊥AC， ∴∠DEO＝∠OFC＝90°， ∵∠DOE＝∠COF，OC＝OD， ∴△DOE≌△COF（AAS）， ∴OF＝OE＝OA﹣3， ∵OC2＝OF2+CF2， ∴OC2＝（OC﹣3）2+42， ∴OC， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式6-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知三角形中，，D是的外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长至E．    (1)求证：的延长线平分 (2)若，中边上的高为，求外接圆的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证明的延长线平分，即证明，转化为证明，再根据A，B，C，D四点共圆的性质和等腰三角形角之间的性质，即可得到． （2）求外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆的面积， 【详解】（1）证明：      ∵A，B，C，D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的延长线平分； （2）解：设O为外接圆圆心，连接并延长交于H，交于点M，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设圆半径为r， ∴， ∵中边上的高为， ∴， 解得∶． ∴的外接圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 题型07 判断直线和圆的位置关系 【典例7】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据垂线段最短，圆心到直线上一点的距离为5，则圆心到直线的距离，结合半径，判断直线与圆的位置关系为相交或相切. 【详解】解：∵ 圆心O到直线上一点P的距离， 且圆心到直线的距离d为垂线段的长， ∴（垂线段最短）。 ∴ , ∵ 圆的半径， ∴ 当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切, ∴ 直线与圆相交或相切, 故选D. 【变式7-1】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 【答案】B 【分析】本题考查圆与坐标轴的位置关系，熟练掌握圆心到坐标轴的距离等于半径则相切，距离小于半径则相交是解题的关键． 通过计算圆心到x轴和y轴的距离，与半径比较，判断圆与坐标轴的位置关系即可． 【详解】解：圆心到x轴的距离为，等于半径4， 则圆与x轴相切； 圆心到y轴的距离为，小于半径4， 则圆与y轴相交， 故选：B． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作，根据30度角的直角三角形的性质，得，再结合以点为圆心，以的长为半径作圆，进行分析，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作圆，且， ∴与的位置关系是相交， 故选：C． 【变式7-3】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 题型08 根据直线和圆的位置关系确定公共点的个数 【典例8】（2025九年级上·浙江·专题练习）已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（    ） A．1或2 B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据圆心到直线的距离d与半径R的关系判断直线与圆的位置关系，由于P在直线l上且，故，从而直线l与圆相切或相交，公共点个数为1或2，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵P在直线l上且， ∴ 圆心O到直线l的距离， ∵的半径， ∴， ∴ 直线l与相切或相交， ∴公共点个数为1或2， 故选：A 【变式8-2】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数为（   ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离d，圆的半径r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交． 根据直线与圆的位置关系得到直线与相交，进而可知直线和有两个公共点. 【详解】解：， ， 直线与相交， 直线和有两个公共点， 故选：A． 【变式8-2】（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）已知圆的半径为5，且该圆的圆心到一直线的距离为7，则该直线与圆的公共点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较半径与圆心到直线的距离即可判断． 【详解】解：∵圆的半径为5，且该圆的圆心到一条直线的距离为7， ， ∴直线与圆相离， ∴直线与圆没有交点． 故选：A． 【变式8-3】已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【详解】解：∵⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm， ∴⊙O的半径等于4cm，圆心O到直线l的距离≤4cm 即圆心O到直线l的距离≤圆的半径， ∴直线l和⊙O相切或相交， ∴直线l与⊙O有1个或2个有公共点． 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 题型09 由直线和圆的位置关系确定取值范围 【典例9】（2025九年级上·山东·专题练习）直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直线l与相交， ∴点O到直线l的距离， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式9-1】在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法， 熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 过点C作，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出的长，即为所求的r． 【详解】解：如图，过点C作， ∵在中，，，， ∴， ， ， 解得：， ∵以点C为圆心，r为半径的与直线相切， ∴， 故选：C． 【变式9-2】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相离得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 【变式9-3】（25-26九年级上·全国·周测）在平面直角坐标系中，点M的坐标为．以点M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标和直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系是解题关键． 先求出点到轴、轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出答案即可． 【详解】解：圆心到轴的距离为，到轴的距离为， ∵圆与轴相交， ∴； ∵圆与轴相离， ∴． ∴的取值范围为． 故答案为：． 题型10 由直线和圆交点个数确定取值范围 【典例10】（23-24九年级上·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】D 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，圆与直线的距离，勾股定理，利用分类讨论的关系解决问题是关键．由题意可知，圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：圆心的坐标为， 圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3， 当圆与轴相切时，与轴相交，此时圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 当圆经过原点时，圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 即r的值是4或5， 故选：D． 【变式10-1】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键． 根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到与的大小关系． 【详解】解：这个圆与这条直线有公共点， 直线与圆相切或相交， 圆心到直线的距离为， ， 故选：B． 【变式10-2】（2025九年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 【变式10-3】（23-24九年级上·湖北鄂州·期末）在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，①相切，画出符合条件的图形，然后根据切线性质和三角形的面积即可求出答案； ②相交，画出图形如图所示，进而确定R的取值范围，从而使问题得解． 【详解】∵ ∴， 分为两种情况：①如图1，当与相切时，只有一个公共点，则．    由三角形的面积公式得：， ∴， ∴， 即． ②如图2，当时，与只有一个公共点，    故答案为：或． 【点睛】本题侧重考查直线与圆的位置关系类型的习题，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知识． 题型11由直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例11】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 【变式11-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键． 【详解】解： 的半径为5，若直线与相离， 由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5， 根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求， 故选：A． 【变式11-2】（2024·广西梧州·二模）已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一般地，直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，直线与圆没有交点；当时，直线与圆有一个交点；当时，直线与圆有两个交点，据此求解即可． 【详解】解：∵直线l与圆有公共点， ∴直线l与圆的圆心的距离小于等于半径， ∵的半径为， ∴， 故选：B． 【变式11-3】（23-24九年级上·江苏连云港·期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】解：∵直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d， ∴d的取值范围是； 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交；反之也成立. 题型12 由圆平移与直线相切时圆心经过的距离 【典例12】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 【变式12-2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【变式12-3】（23-24九年级上·江苏泰州·月考）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 题型13 利用直线和圆的位置关系求最值 【典例13】点A是半径为3的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为4．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 　 　． 【答案】5． 【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：∵∠POA＝90°， ∴PA， 当OP最小时，PA取最小值， 由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为4， ∴PA的最小值为：5， 故答案为：5． 【点睛评】本题考查的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的长是解题的关键． 【变式13-1】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】D． 【分析】连接PA，OA，由切线的性质得到OA⊥PA，求出PO2＝m24m2+12m+12，由勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝42，即可求出PA的最小值是． 【解答】解：连接PO，OA， ∵PA切圆于A， ∴OA⊥PA， ∵点， ∴PO2＝m24m2+12m+12， ∵圆的半径是1， ∴OA＝1， ∴PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝42， ∴PA2的最小值是2， ∵PA＞0， ∴PA的最小值是． 故选：D． 【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，关键是由切线的性质，勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝42，即可求出PA的最小值． 【变式13-2】（2024秋•常熟市期中）如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A． 【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题 【详解】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F． ∵C（1，0），直线AB的解析式为yx+3， ∴直线CH的解析式为yx， 由 解得， ∴H（，）， ∴CH3， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3，AB＝5， ∴EH＝3﹣1＝2， 当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值5×2＝5， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心D（2，4），则过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为 　 　． 【答案】4． 【分析】设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C，根据勾股定理得到DE，根据D（2，4），B（2，3），得到DB∥y轴，推出过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C， ∵⊙D与y轴相交的弦长为6， ∴AE＝6， ∴CE＝3， ∵D（2，4）， ∴CD＝2， ∴DE， ∵D（2，4），B（2，3）， ∴DB∥y轴， ∴过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦， 过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN， 在Rt△DBN中，∠DBN＝90°，DB＝1，DN， ∴BN2， ∴MN＝2BN＝4， 故过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 一、选择题 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，若点在圆内，则到圆心的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．因为点A在圆内，则点A到圆心的距离小于圆的半径，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵点在圆内，的半径为， ∴， 观察四个选项，只有， 故选：A． 2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A． 【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知，点D是△ABC外心． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，属于基础题型，比较简单． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，，为上一点，且．以点为圆心，2为半径的与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握通过作垂线求圆心到直线的距离，结合半径判断位置关系是解题的关键． 作点到的垂线，求出垂线段的长度，再与圆的半径比较，判断圆与直线的位置关系． 【详解】解：过点作于点． 在中，，则， 的半径为2，且等于半径， 与相切． 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列命题是真命题的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，圆的基础知识，垂径定理，三角形外心，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不共线的三点可以确定一个圆，原说法错误，故该选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，故该选项不符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，原说法正确，故该选项符合题意； D、在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C 5．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 7．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可． 【详解】设圆与直线b交于A、B两点， 当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1， 当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切， 当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题． 8．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图， 取的中点，连接、， ∵M为的中点， ∴， ∴的中点M的轨迹是以为圆心，1为半径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故选D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·重庆永川·期中）已知圆的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且为非负数． 【详解】解：圆的半径为，点在圆内， 点到圆心的距离满足， 又距离为非负数， 的取值范围为． 故答案为：． 10．（2025·青海西宁·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据直线与相切得出，推出方程有两个相等的实数根，再根据即可求出的值． 【详解】解：的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切， ， 、是方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：4． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：连接，如下图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， 在直角中，， ∴， 由图可知，的取值范围为：， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏南京·月考）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 3、 解答题 14．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，的平分线交的外接圆于点D，若，．求外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理等知识，先根据圆周角定理可知，为的直径，再结合题意得到，利用勾股定理求出的长，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径为． 15．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 【答案】(1) (2) (3)内 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了点与圆的位置关系，勾股定理． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为； ； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 即的半径为； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点在内． 故答案为：内． 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理逆定理： （1）根据勾股定理逆定理可得，作于点D，根据，可求出，再根据直线与圆的位置关系解答，即可； （2）根据直线与圆的位置关系解答，即可； （3）根据直线与圆的位置关系，分两种情况：圆与相切时；点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 作于点D，如图， ， ∵， ∴， ∵以点C为圆心，长为半径画，且， ∴直线与的位置关系是相离． （2）解：∵直线与半径为r的相切， ∴． （3）解：∵， ∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，分两种情况： ①圆与相切时，即； ②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时， 此时，即． ∴r的取值范围是或． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 18．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）观察图形可以看出和这两条边分别在和两个三角形中，所以只要证明就可以解答． （2）用上述的结论，可推出的长，再证得，运用相似三角形的性质可得．从而可求得，即可求得．再由勾股定理求得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， 为直径， ． 是的角平分线， ． 在和中， ， ， ； （2）解：在中，，，， ． ，， ． ， ． ，， ， ． ，，，， ， ． 在中，，，， ， 的外接圆的半径为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.3 点和圆、直线和圆的位置关系 教学目标 1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系. 2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法. 3.掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法. 教学重难点 1.重点：（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆. （3）直线与圆的三种位置关系及其数量关系. 2.难点：（1）点与圆的三种位置关系及其数量关系；（2）通过数量关系判断直线与圆的位置关系. 知识点01 点和圆的位置关系 ◆点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点02 圆的确定◆1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才 唯一确定； ◆2、过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. ◆3、不在同一条直线上的三点确定一个圆. 知识点03三角形的外接圆 ◆1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. ◆2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 知识点04 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 题型01 点和圆的位置关系 【典例1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）在所在平面内有一点，若，半径为5，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知的半径，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（  ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）平面内有两点P，O，的半径为5，若，则点P与的位置关系是 （填写“圆内”“圆外”和“圆上”其中一个） 题型02 利用点与圆的位置关系求半径 【典例2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）若点M在外，且，则的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在外，点B在内，则r的取值范围是 ． 题型03 确定三角形外心的位置 【典例3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)判断点与的位置关系，点D在_____；（填内、外、上） (4)若与y轴交于点N，则______． 题型04 利用外心的性质求角的度数 【典例4】如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（　　） A．100° B．160° C．150° D．130° 【变4-1】（2024•越秀区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠DAC＝52°，则∠B的大小为（　　） A．38° B．40° C．48° D．65° 【变式4-2】（2024•宝鸡模拟）如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【变式4-3】（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，连接BO并延长交AC于点D，交⊙O于点E，若∠C＝40°，则∠ADB的度数为 （　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 题型05 利用外心的性质求线段长 【典例5】如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点O为△ABC的外心，连接OA交BC于点M．若OA＝AC＝1，则BC的长为（　　） A． B． C．3 D．2 【变式5-1】（2024•雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，连接OC，若∠COD＝2∠B，AC＝8，则OA的长为（　　） A．4 B．1 C．2 D． 【变式5-2】如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝　 　． 【变式5-3】如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 题型06 三角形外接圆的综合题 【典例6】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高线上． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的半径． 【变式6-1】如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D，直径AE平分∠BAD交BC于点F，连接BE． （1）证明：∠AEB＝∠AFD； （2）若AB＝10，BF＝5，求AF的长． 【变式6-2】已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点 （1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD； （2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径． 【变式6-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知三角形中，，D是的外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长至E．    (1)求证：的延长线平分 (2)若，中边上的高为，求外接圆的面积 题型07 判断直线和圆的位置关系 【典例7】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交或相切 【变式7-1】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 【变式7-2】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式7-3】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 题型08 根据直线和圆的位置关系确定公共点的个数 【典例8】（2025九年级上·浙江·专题练习）已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（    ） A．1或2 B．2 C．0 D．1 【变式8-2】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数为（   ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法判断 【变式8-2】（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）已知圆的半径为5，且该圆的圆心到一直线的距离为7，则该直线与圆的公共点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式8-3】已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 题型09 由直线和圆的位置关系确定取值范围 【典例9】（2025九年级上·山东·专题练习）直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【变式9-2】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·全国·周测）在平面直角坐标系中，点M的坐标为．以点M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，则r的取值范围是 ． 题型10 由直线和圆交点个数确定取值范围 【典例10】（23-24九年级上·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【变式10-1】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025九年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24九年级上·湖北鄂州·期末）在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 题型11由直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例11】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【变式11-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式11-2】（2024·广西梧州·二模）已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24九年级上·江苏连云港·期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ． 题型12 由圆平移与直线相切时圆心经过的距离 【典例12】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【变式12-2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【变式12-3】（23-24九年级上·江苏泰州·月考）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 题型13 利用直线和圆的位置关系求最值 【典例13】点A是半径为3的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为4．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 　 　． 【变式13-1】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【变式13-2】（2024秋•常熟市期中）如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心D（2，4），则过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为 　 　． 一、选择题 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，若点在圆内，则到圆心的距离可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，，为上一点，且．以点为圆心，2为半径的与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列命题是真命题的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D．相等的圆心角所对的弧相等 5．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 8．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·重庆永川·期中）已知圆的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，则的取值范围是 ． 10．（2025·青海西宁·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·江苏南京·月考）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    3、 解答题 14．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，的平分线交的外接圆于点D，若，．求外接圆的半径． 15．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 18．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $