16.3.2完全平方公式 课时作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册

§16.3.2 完全平方公式 课时作业 解析版 一、单选题 1．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式的判定，依据完全平方公式结构特征分析，关键是准确把握 的形式，易错点是对中间项系数和常数项的判断不准确； 解题思路是根据完全平方公式的结构，逐一分析选项是否符合 的形式即可． 【详解】解：完全平方式必须能表示为 ， 选项 A：，若 , ，则 ，不符合题意； 选项 B：，可化为 ，符合题意； 选项 C：，若 ,，则 ，不符合题意； 选项 D：，常数项为负，不符合题意； 故选 B． 2．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、幂的运算、平方差公式和完全平方公式．根据运算法则逐一判断选项的正确性即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 4．已知，则的值为（   ） A．19 B．22 C．25 D．28 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键． 先利用完全平方公式的变形，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选A． 5．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A； 6．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式，确定a和b的值，直接计算即可． 【详解】∵在公式中，对应，有，， ∴， 故公式中的对应的是， 故选B． 7．如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查平方差公式的几何解释，数形结合，分情况表示阴影部分面积是解决问题的关键． 分别表示出图1阴影部分面积，再表示图2阴影部分面积，由两个图的阴影部分面积相等即可得到答案． 【详解】解：由图1可知，； 如图所示： ， 由两个图的阴影部分面积相等可得，， 故选：C． 8．若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】4 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握是解答本题的关键． 观察算式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用完全平方公式计算． 【详解】解：． 故答案为 4． 11．若是完全平方式，那么k的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式的性质，可得出答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．将方程中的提取公因式转化为，把看作一个整体，将方程转化为完全平方式求解． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故答案为：． 13．（1）若，则 （2）已知，则 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 14．已知：如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由可得，则有，然后根据图形可求阴影部分的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴； 阴影部分的面积为：； 故答案为：． 三、解答题 15．利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式求解（1）（2）（3）（4）即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； （3）原式根据完全平方公式进行计算即可； （4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 17．运用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． （1）利用完全平方公式进行简便计算； （2）利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 【答案】（1），；（2）， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，然后代入求解即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，最后进行多项式除以单项式计算，然后再代入求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： ， 当，时， 原式 ． 19．解方程：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据乘法公式去括号，进而进行求解即可． 【详解】解：， 化简，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)52； (2)； (3)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形得到，再整体代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 21．阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查乘法公式，非负性的运用，理解材料，掌握乘法公式是关键． （1）根据材料提示将原式变形得到，根据非负性得到，，代入求解即可； （2）根据材料提示将原式变形得到，根据非负性得到，，根据三角形三边数量关系即可得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：对式子进行变形得， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：对式子进行变形得， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴，即， ∴当时，的周长取最大值，最大值为． 22．实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，，三者之间的等量关系式：______； 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，，求的值； 【类比迁移】（3）如图3，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）80；（3）30 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）图2中大正方形面积为；边上的四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，即可找到面积相等的数量关系； （2）结合第一问的，即可得代入即可； （3）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中大正方形边长为，则面积可以表示为； 图2中的边上的四个小长方形面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则面积可以表示为， 那么； （2）∵，，， ∴； （3）∵，， ∴ ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第十六章 整式的乘法 §16.3.2 完全平方公式 课时作业 【知识解读】 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 特点：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同； (2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同. 【知识拓展】 【题型练习】 一、单选题 1．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（   ） A．19 B．22 C．25 D．28 5．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 6．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 7．如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（   ） A． B． C． D． 8．若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 二、填空题 9．计算： ． 10．计算： ． 11．若是完全平方式，那么k的值是 ． 12．已知，则 ． 13．（1）若，则 （2）已知，则 14．已知：如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题 15．利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3) (4)． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．运用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 18．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 19． 解方程：． 20．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 21．阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 22．实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，，三者之间的等量关系式：______； 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，，求的值； 【类比迁移】（3）如图3，若，，求阴影部分的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $