期末复习06：除数是两位数的除法（知识梳理+14个易错点练习+拔尖训练）-四年级数学上学期易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理了除数是两位数的除法知识体系，涵盖口算除法、笔算法则、试商方法等七个核心知识点，以定义、核心要点、注意事项的结构呈现，并用对比归纳等方式突出商的变化规律、实际问题解决等重难点的内在联系。 讲义亮点在于易错点分类训练设计，14个易错点均配例题与变式训练，如单归一问题（上传照片计算时间）培养应用意识，试商方法（288÷32判断商的大小）提升运算能力，拔尖训练分层设置，助力不同学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

期末复习06：除数是两位数的除法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：口算除法 2 知识点二：笔算除法的计算法则 2 知识点三：试商方法 3 知识点四：商的位数判断 3 知识点五：商的变化规律 4 知识点六：解决实际问题 4 知识点七：易错点与辨析技巧 5 易错点练习 6 易错点一：口算除法 6 易错点二：除数是整十数的笔算除法 6 易错点三：除数是两位数的笔算除法 7 易错点四：多位数除以两位数的试商 8 易错点五：判断商是几位数（除数是两位数） 8 易错点六：单归一问题 9 易错点七：双归一问题 10 易错点八：归总问题 10 易错点九：商的变化规律及应用 11 易错点十：商不变的规律及应用 11 易错点十一：相遇问题 12 易错点十二：追及问题 12 易错点十三：流水行船问题 13 易错点十四：火车过桥问题 14 拔尖训练 14 知识梳理 知识点一：口算除法 定义：口算除法是指通过心算直接得出除法算式结果的计算方法，主要包括整十数除整十数、整十数除几百几十数的口算。 核心要点： 1.整十数除整十数的口算方法： 利用表内除法口算：如80÷20，想8÷2=4，所以80÷20=4 想乘法算除法：如80÷20，想20×4=80，所以80÷20=4 2.整十数除几百几十数的口算方法： 利用表内除法口算：如150÷30，想15÷3=5，所以150÷30=5 想乘法算除法：如150÷30，想30×5=150，所以150÷30=5 注意事项： 口算时要注意末尾0的个数，避免多写或少写0 可以同时去掉被除数和除数末尾相同个数的0，再进行口算 除法口算要与乘法口算相结合，培养"想乘算除"的思维习惯 知识点二：笔算除法的计算法则 定义：笔算除法是指通过竖式计算得出除法算式结果的计算方法，包括除的顺序、商的书写位置、余数处理等环节。 核心要点： 1.计算法则： 从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，再试除前三位 除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面 每次除后余下的数必须比除数小 2.商是一位数的笔算除法： 整十数除两位数：如78÷30 整十数除三位数：如140÷30 3.商是两位数的笔算除法： 两位数除三位数：如197÷28 两位数除多位数：如644÷23 注意事项： 除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面 每次除得的余数必须比除数小 不够商1时，要在商的对应位上写0占位 知识点三：试商方法 定义：试商是指在笔算除法中，根据除数和被除数的特点，估计商的大致范围，并通过计算验证调整的过程。 核心要点： 1.四舍五入法试商： "四舍"法：当除数的个位数小于5时，把除数看作和它接近的整十数试商（如23看作20） "五入"法：当除数的个位数大于或等于5时，把除数看作和它接近的整十数试商（如28看作30） 2.口算试商法： 直接口算出商的大致值，适用于除数是十几的除法 如84÷14，直接看出商是6 3.调商方法： 初商过大：如果余数大于或等于除数，说明商小了，需要调大 初商过小：如果商与除数的积大于被除数，说明商大了，需要调小 注意事项： 试商后要及时检查余数是否比除数小 熟练掌握"四舍五入"法试商，提高计算速度 根据实际情况灵活调整商的大小 知识点四：商的位数判断 定义：商的位数判断是指根据被除数和除数的特点，不进行完整计算就能确定商是几位数的方法。 核心要点： 1.判断方法： 两位数除三位数：如果被除数的前两位大于或等于除数，商是两位数；如果被除数的前两位小于除数，商是一位数 两位数除多位数：从被除数的最高位开始，比较被除数的前两位与除数的大小 2.典型示例： 商是一位数：如324÷48（32<48） 商是两位数：如324÷28（32>28） 注意事项： 判断时要从被除数的最高位开始比较 牢记"被除数的前两位大于等于除数，商是两位数；小于除数，商是一位数"的规律 商的位数判断可以帮助检查计算结果是否正确 知识点五：商的变化规律 定义：商的变化规律是指在除法中，当被除数或除数发生变化时，商随之变化的规律。 核心要点： 1.基本规律： 除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几 被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几 被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变 2.商不变的性质应用： 简便计算：如300÷25=(300×4)÷(25×4)=1200÷100=12 解决实际问题：利用商不变的性质解决生活中的问题 注意事项： 运用商的变化规律时，要注意"0除外"的条件 被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变，但余数会发生变化 熟练掌握商的变化规律，可以灵活解决实际问题 知识点六：解决实际问题 定义：解决实际问题是指运用除数是两位数的除法知识，解决生活中的实际问题，包括简单问题和复杂问题。 核心要点： 1.常见问题类型： 平均分问题：把一个数平均分成若干份，求每份是多少 包含问题：求一个数里面包含几个另一个数 倍数问题：求一个数是另一个数的几倍 行程问题：速度=路程÷时间 工程问题：工作效率=工作总量÷工作时间 2.解决问题的步骤： 理解题意，找出已知条件和问题 分析数量关系，确定解题方法 列出算式，计算结果 检验答案，写出答语 注意事项： 认真审题，明确题目中的数量关系 注意单位名称的统一和书写 对于有余数的除法，要根据实际情况确定商的取值（进一法或去尾法） 养成检验的好习惯，确保答案正确 知识点七：易错点与辨析技巧 定义：易错点与辨析技巧是指总结除数是两位数的除法学习中常见的错误认识和判断技巧，帮助准确理解概念和正确计算。 核心要点： 1.常见易错点： 商的书写位置错误：把商写在了错误的数位上 余数处理不当：余数大于或等于除数，或忘记写余数 试商不准确：没有掌握"四舍五入"法试商 商中间或末尾有0的除法：漏写0占位 计算过程中数字抄错：导致整个计算错误 2.辨析技巧： 商的定位：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面 余数检查：每次除得的余数必须比除数小 0的处理：不够商1时要写0占位 估算检验：通过估算判断商的大致范围，检查计算结果 注意事项： 计算时要集中注意力，避免数字抄错 掌握验算方法，养成验算习惯 认真分析错误原因，及时纠正 易错点练习 易错点一：口算除法 例题：直接写出得数。 40×70＝    18×30＝    250×4＝    360÷60＝    720÷80＝ 150×60＝    800÷20＝    450×2＝    402×19≈    698×31≈ 【变式训练1】直接写出得数。 500×40＝       240÷80＝       15×40＝       2000÷50＝      40×25＝     60×60＝ 【变式训练2】直接写出得数。 200×30＝        60×16＝       210÷70＝        25×400＝     712×0＝         960÷16＝      30×50＝         62×80＝ 【变式训练3】直接写出得数。 150×4＝          23×30＝          60×70＝          120×50＝ 400÷80＝         720÷90＝         360÷60＝         480÷12＝ 易错点二：除数是整十数的笔算除法 例题：下面速度最快的是（    ）。 A．某运动员9.99秒跑完了100米 B．某动物奔跑速度是1800米/分 C．某轮船10分钟行了15千米 D．某车行驶速度是32米/秒 【变式训练1】工地有720袋水泥，用3辆卡车运送，每辆卡车每次运40袋，需要运多少次？ 【变式训练2】三门峡灵宝市寺河山果园，素有“亚洲第一高山果园”的美誉。乐乐和爸爸妈妈星期天去那里游玩，他的爸爸买了3箱苹果，每箱里面有20个苹果，总共花了240元。每个苹果多少元？ 【变式训练3】2024年5月28日，神舟十八号航天员乘组圆满完成大约8小时30分钟的首次出舱任务。空间站绕地球一周大约90分钟，首次出舱任务期间，空间站能绕地球飞行几圈？ 易错点三：除数是两位数的笔算除法 例题：列竖式计算。 308×25＝         450×18＝        632÷21＝        840÷35＝ 【变式训练1】列竖式计算，带※的要验算。 248×18＝           40×205＝           ※37×23＝ 703÷90＝           104×26＝           ※681÷85＝ 【变式训练2】列竖式计算，带☆号的要验算。 182÷26    450÷30    ☆850÷21 【变式训练3】用竖式计算。（带★的要验算） 480×65        345×28          576÷18        ★988÷27 易错点四：多位数除以两位数的试商 例题：计算288÷32时，把除数看作30来试商，商可能会（    ）。 A．正好 B．偏小 C．偏大 【变式训练1】计算278÷60时，想：60×( )接近278，且小于278，所以商( )，商写在( )位上。 【变式训练2】如图，聪聪在做三位数除以两位数的除法竖式时，发现商5小了，改商6，这道竖式的除数是( )，被除数是( )。 【变式训练3】在计算43÷49试商时，可以把除数49看成( )来试商，要使商是一位数，里最大填( )，要使商是两位数，里最小填( )。 易错点五：判断商是几位数（除数是两位数） 例题：要使□66÷62的商是一位数，□里最大填( )；要使4□8÷46的商是两位数，□里最小填( )。 【变式训练1】□67÷67，商如果是一位数，□里最大应填( )；商如果是两位数，□里最小应填( )。 【变式训练2】明明认为：“三位数除以两位数的结果一定是两位数。”下面例子可以帮助明明认识到错误的是（    ）。 A．830÷41 B．960÷24 C．861÷27 D．128÷14 【变式训练3】在算式“□64÷37”中，如果商是一位数，□里最大能填( )；如果商是两位数，□里最小能填( )。 易错点六：单归一问题 例题：王老师要把95张照片上传至班级相册，上传13张花了39秒。照这样计算，全部上传完一共要用多少时间？ 【变式训练1】小明爷爷去年养了3箱蜜蜂，一年收获蜂蜜225千克，照这样计算，小明爷爷今年收获蜂蜜825千克，一共养了多少箱蜜蜂？ 【变式训练2】学校开展节约用水活动，前3个月节约用水240吨，照这样计算，学校一年（按12个月计算）能节约用水多少吨？如果每人每年用水48吨，学校一年节约的水可以供一个人用几年？ 【变式训练3】李奶奶的苹果园丰收了，一共收获了240箱。一辆汽车已经运了3次，共运了72箱。照这样计算，剩余的苹果还需要多少次才能运完？ 易错点七：双归一问题 例题：一个家属院开展节约用水活动，38户一年可以节约用水912吨水，平均每户一个月节约用水多少吨水？ 【变式训练1】有4组同学去植树，每组12人，一共植树144棵，平均每人植树多少棵？（用两种方法解） 【变式训练2】某村共有4个小组，每个小组有小麦种植户20户，该村小麦种植面积共计720亩，照这样计算，平均每户小麦种植户种植小麦多少亩？ 【变式训练3】废弃的中性笔芯属于垃圾，新华路小学四年级学生决定集中收集。四年级有4个班，每个班有42个学生，四年级全体学生一共收集废笔芯672根，平均每个学生收集废笔芯多少根？ 易错点八：归总问题 例题：5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜。照这样计算，20箱蜜蜂一年可以酿多少千克蜂蜜？一年要酿 1725千克蜂蜜需要养多少箱蜜蜂？ 【变式训练1】学校计划举办新年游园会，原本安排按每行26人，正好站成48行排队。现为让大家更好的参与，调整为每行32人，需要站多少行？ 【变式训练2】花如海，人如潮，“汉服热”带动了洛阳今年的文旅热。洛阳一家汉服服装厂接到一个订单，如果每天加工500套汉服，8天可以完成订单任务，现在需求方让服装厂5天完成订单任务，平均每天需要加工多少套汉服？ 【变式训练3】星期天，王亮去爬山，他从山脚爬到山顶用了20分钟，从山顶按原路返回到山脚，用了15分钟，已知王亮上山的速度是45米/分，王亮返回时每分钟走多少米？ 易错点九：商的变化规律及应用 例题：两个数相除，商是23，如果在被除数和除数的末尾都添上两个0，商( )；如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，商( )。 【变式训练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 56÷6( )56÷3        45×24( )24×44      400÷2( )800÷4 280÷7( )140÷2      0×26( )0÷26        648÷3( )108×2 【变式训练2】两个数的商是36，如果被除数不变，除数乘9，则商是( )；两个因数的积是30，一个因数扩大为原来的4倍，另一个因数不变，积是( )。 【变式训练3】已知 A÷B＝50，如果A扩大到原来的5倍，B不变，则商是( )；如果A不变，B扩大到原来的5倍，则商是( )；如果A和B同时扩大到原来的5倍，则商是( )。 易错点十：商不变的规律及应用 例题：已知A÷B＝8……3，当A＝51时，B＝( )；当B＝8时，A＝( )；当A与B同时扩大到原来的10倍后，商是( )，余数是( )。 【变式训练1】在算式☐÷△＝23……5中，如果☐和△同时乘100，那么商是( )，余数是( )。 【变式训练2】一道除法算式的商是26，如果除数和被除数同时乘10，则商是( )；如果被除数不变，除数除以3，则商是( )。 【变式训练3】新华书店新到840本书，每50本放一个书架。计算如图所示，可以放满( )个书架，还剩( )本。 易错点十一：相遇问题 例题：大雪过后，工人师傅开着除雪车清除马路上的积雪。甲、乙两辆除雪车分别从马路两端同时出发，相对而行，甲车每分钟行180米，乙车每分钟行220米。5分钟后相遇，这条马路长多少米？ 【变式训练1】甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，相遇时乙车比甲车多行45千米。两地相距多少千米？ 【变式训练2】甲、乙两人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。如果两人的速度各增加1千米/时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。甲、乙两人原来的速度各是多少？ 【变式训练3】A、B两城相距560千米，甲、乙两车同时分别从A、B两城相对开出，甲车每小时行65千米，乙车每小时行75千米。几小时后两车相遇？ 易错点十二：追及问题 例题：小芳从学校以每分钟200米的速度骑车回家，3分钟后，小红也从学校出发，在距离学校1000米处追到小芳。小红的速度是多少？ 【变式训练1】有一个队伍全长800米，以60米每分钟的速度行进，现小明因事需立马跑到队伍前面再回到队尾，他的速度是每分钟100米，则小明往返一趟需用多少时间？ 【变式训练2】小明和小刚沿大龙湖环湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是160米/分，小刚的速度是140米/分，25分钟后两人第一次相遇。如果相遇后两人改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距400米？ 【变式训练3】乌龟和蜗牛在直的花坛边上爬行，它们从同一点出发，同时反方向爬行。乌龟每分钟爬75厘米，蜗牛每分钟爬50厘米，各自爬了10分钟后，乌龟又转头去追蜗牛，它要多少分钟才能追上蜗牛？ 易错点十三：流水行船问题 例题：甲、乙两船在静水中的速度分别是24千米／时和32千米／时。两船从相距336千米的A、B两港同时出发相向而行，几小时后相遇？ 【变式训练1】甲、乙两码头相距144千米，一只船从甲码头顺水航行8小时到达乙码头，已知船在静水中每小时行驶15千米，这只船返回甲码头需几小时？ 【变式训练2】一艘轮船在静水中航行，每小时行15千米，水流的速度为每小时3千米。这艘轮船顺水航行270千米到达目的地，用了几个小时？ 【变式训练3】一艘轮船顺流航行140千米，逆流航行80千米，共用了15小时，顺流航行60千米，逆流航行120千米，也用了15小时，求水流速度？ 易错点十四：火车过桥问题 例题：一列火车匀速通过360米长的隧道用了18秒，以同样的速度通过216米长的隧道用了14秒。求这列火车的速度和车长？ 【变式训练1】一条隧道长360米，其中火车从车头入洞到全车进洞共用了8秒，从车头入洞到全车出洞共用了20秒。这列火车长多少米？ 【变式训练2】一列火车车长220米，每秒行20米，这列火车要通过600米的山洞，请问火车有多少秒是完全在山洞里的？ 【变式训练3】一列火车长 700米，以每分钟 500 米的速度通过一座长1300米的大桥。从车头上桥到车尾离桥要多少分钟？ 拔尖训练 1．403×（    ）＞2400，括号里最小填（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 2．在下边的算式中，→所指的这一行应填（    ）。 A．213 B．852 C．5112 D．402 3．一片树林的占地面积约为25公顷，（    ）片这样的树林的占地面积约为1平方千米。 A．2 B．4 C．8 D．10 4．小明决定存钱去买如图这套书，如果小明从月份开始，平均每个月存钱元，到（    ）月底时，小明就能买到这套书了。 A． B． C． D． 5．四2班的同学在研究“13亿粒米有多重”的活动课上数出了200粒米，称出质量为4g。再计算13亿粒米有多重，请你参与进来一起计算，这个结果是（    ）。 A．26吨 B．2600千克 C．26000吨 D．26千克 6．有120千克苹果要装箱，平均每箱可以装17千克苹果，至少需要准备( )个箱子才能把这些苹果装完。 7．永辉超市促销，某款面条每袋价格为16元，现在买10袋送2袋，李阿姨带了300元，最多可以买( )袋。 8．体育商店现在搞促销活动，足球原来的单价是120元，现在买4个送1个。学校要买20个足球，至少得花( )元钱，每个足球便宜了( )元钱。 9．一条公路长350千米，一辆汽车平均每小时行驶70千米，这辆汽车( )小时行完全程。 10．王明计算一道有余数的除法时，在被除数和除数的末尾同时去掉一个“0”后，算得的商是12，余数是5，这道除法算式的商是( )，余数是( )。 11．双十一网店促销活动中，一家店铺中的一条裤子售价68元，买两条送一条，妈妈有700元钱，准备买一批裤子，最多可以买( )条。 12．商店购进8箱笔记本，一共花了960元，每箱笔记本的价格是( )元，若每箱有30本，每本笔记本( )元，用到的数量关系式有( )和( )。 13．小明步行的速度是每分钟65米，他从家到学校走了20分钟，家到学校的距离是( )米；如果他要在13分钟内走到学校，每分钟至少要走( )米。 14．口算。 120×5＝             25×8＝             420÷70 ＝              560÷80＝ 30×13＝             600÷30＝            96÷3 ＝                14×50＝ 15．列竖式计算。 652÷79＝                    36×25＝                        960÷40＝ 16．市政府广场占地面积约是8公顷，如果将这个广场铺上边长为4分米的正方形地砖，一共需要多少块地砖？ 17．小明、小红同时从城沿相反方向出发，两人速度相同。上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒；上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明，那么火车每秒行多少米？小明和小红出发时间是几点？ 18．哥哥是物流公司的司机，一天早上8：00他从公司出发去某县城送货，去时的速度是60千米/时，中午12：00到达目的地；原路返回时每小时多行20千米，哥哥返回时用了多少小时？ 19．四年级同学乘大巴车从学校出发到研学基地，去的时候速度是60千米/时，用了2小时，活动结束后原路返回用了3小时，返回时平均每小时行多少千米？ 20．学校长方形运动场的面积是1250平方米，长是50米，如果把长增加到150米，宽不变，那么运动场的面积是多少平方米？比原来增加了多少平方米？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习06：除数是两位数的除法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：口算除法 2 知识点二：笔算除法的计算法则 2 知识点三：试商方法 3 知识点四：商的位数判断 3 知识点五：商的变化规律 4 知识点六：解决实际问题 4 知识点七：易错点与辨析技巧 5 易错点练习 6 易错点一：口算除法 6 易错点二：除数是整十数的笔算除法 7 易错点三：除数是两位数的笔算除法 8 易错点四：多位数除以两位数的试商 11 易错点五：判断商是几位数（除数是两位数） 12 易错点六：单归一问题 14 易错点七：双归一问题 15 易错点八：归总问题 17 易错点九：商的变化规律及应用 18 易错点十：商不变的规律及应用 20 易错点十一：相遇问题 22 易错点十二：追及问题 24 易错点十三：流水行船问题 26 易错点十四：火车过桥问题 28 拔尖训练 30 知识梳理 知识点一：口算除法 定义：口算除法是指通过心算直接得出除法算式结果的计算方法，主要包括整十数除整十数、整十数除几百几十数的口算。 核心要点： 1.整十数除整十数的口算方法： 利用表内除法口算：如80÷20，想8÷2=4，所以80÷20=4 想乘法算除法：如80÷20，想20×4=80，所以80÷20=4 2.整十数除几百几十数的口算方法： 利用表内除法口算：如150÷30，想15÷3=5，所以150÷30=5 想乘法算除法：如150÷30，想30×5=150，所以150÷30=5 注意事项： 口算时要注意末尾0的个数，避免多写或少写0 可以同时去掉被除数和除数末尾相同个数的0，再进行口算 除法口算要与乘法口算相结合，培养"想乘算除"的思维习惯 知识点二：笔算除法的计算法则 定义：笔算除法是指通过竖式计算得出除法算式结果的计算方法，包括除的顺序、商的书写位置、余数处理等环节。 核心要点： 1.计算法则： 从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，再试除前三位 除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面 每次除后余下的数必须比除数小 2.商是一位数的笔算除法： 整十数除两位数：如78÷30 整十数除三位数：如140÷30 3.商是两位数的笔算除法： 两位数除三位数：如197÷28 两位数除多位数：如644÷23 注意事项： 除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面 每次除得的余数必须比除数小 不够商1时，要在商的对应位上写0占位 知识点三：试商方法 定义：试商是指在笔算除法中，根据除数和被除数的特点，估计商的大致范围，并通过计算验证调整的过程。 核心要点： 1.四舍五入法试商： "四舍"法：当除数的个位数小于5时，把除数看作和它接近的整十数试商（如23看作20） "五入"法：当除数的个位数大于或等于5时，把除数看作和它接近的整十数试商（如28看作30） 2.口算试商法： 直接口算出商的大致值，适用于除数是十几的除法 如84÷14，直接看出商是6 3.调商方法： 初商过大：如果余数大于或等于除数，说明商小了，需要调大 初商过小：如果商与除数的积大于被除数，说明商大了，需要调小 注意事项： 试商后要及时检查余数是否比除数小 熟练掌握"四舍五入"法试商，提高计算速度 根据实际情况灵活调整商的大小 知识点四：商的位数判断 定义：商的位数判断是指根据被除数和除数的特点，不进行完整计算就能确定商是几位数的方法。 核心要点： 1.判断方法： 两位数除三位数：如果被除数的前两位大于或等于除数，商是两位数；如果被除数的前两位小于除数，商是一位数 两位数除多位数：从被除数的最高位开始，比较被除数的前两位与除数的大小 2.典型示例： 商是一位数：如324÷48（32<48） 商是两位数：如324÷28（32>28） 注意事项： 判断时要从被除数的最高位开始比较 牢记"被除数的前两位大于等于除数，商是两位数；小于除数，商是一位数"的规律 商的位数判断可以帮助检查计算结果是否正确 知识点五：商的变化规律 定义：商的变化规律是指在除法中，当被除数或除数发生变化时，商随之变化的规律。 核心要点： 1.基本规律： 除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几 被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几 被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变 2.商不变的性质应用： 简便计算：如300÷25=(300×4)÷(25×4)=1200÷100=12 解决实际问题：利用商不变的性质解决生活中的问题 注意事项： 运用商的变化规律时，要注意"0除外"的条件 被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变，但余数会发生变化 熟练掌握商的变化规律，可以灵活解决实际问题 知识点六：解决实际问题 定义：解决实际问题是指运用除数是两位数的除法知识，解决生活中的实际问题，包括简单问题和复杂问题。 核心要点： 1.常见问题类型： 平均分问题：把一个数平均分成若干份，求每份是多少 包含问题：求一个数里面包含几个另一个数 倍数问题：求一个数是另一个数的几倍 行程问题：速度=路程÷时间 工程问题：工作效率=工作总量÷工作时间 2.解决问题的步骤： 理解题意，找出已知条件和问题 分析数量关系，确定解题方法 列出算式，计算结果 检验答案，写出答语 注意事项： 认真审题，明确题目中的数量关系 注意单位名称的统一和书写 对于有余数的除法，要根据实际情况确定商的取值（进一法或去尾法） 养成检验的好习惯，确保答案正确 知识点七：易错点与辨析技巧 定义：易错点与辨析技巧是指总结除数是两位数的除法学习中常见的错误认识和判断技巧，帮助准确理解概念和正确计算。 核心要点： 1.常见易错点： 商的书写位置错误：把商写在了错误的数位上 余数处理不当：余数大于或等于除数，或忘记写余数 试商不准确：没有掌握"四舍五入"法试商 商中间或末尾有0的除法：漏写0占位 计算过程中数字抄错：导致整个计算错误 2.辨析技巧： 商的定位：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面 余数检查：每次除得的余数必须比除数小 0的处理：不够商1时要写0占位 估算检验：通过估算判断商的大致范围，检查计算结果 注意事项： 计算时要集中注意力，避免数字抄错 掌握验算方法，养成验算习惯 认真分析错误原因，及时纠正 易错点练习 易错点一：口算除法 例题：直接写出得数。 40×70＝    18×30＝    250×4＝    360÷60＝    720÷80＝ 150×60＝    800÷20＝    450×2＝    402×19≈    698×31≈ 【答案】2800；540；1000；6；9 9000；40；900；8000；21000 【解析】略 【变式训练1】直接写出得数。 500×40＝       240÷80＝       15×40＝       2000÷50＝      40×25＝     60×60＝ 【答案】20000；3；600； 40；1000；3600 【解析】略 【变式训练2】直接写出得数。 200×30＝        60×16＝       210÷70＝        25×400＝     712×0＝         960÷16＝      30×50＝         62×80＝ 【答案】6000；960；3；10000 0；60；1500；4960 【详解】略 【变式训练3】直接写出得数。 150×4＝          23×30＝          60×70＝          120×50＝ 400÷80＝         720÷90＝         360÷60＝         480÷12＝ 【答案】600；690；4200；6000； 5；8；6；40 【详解】略 易错点二：除数是整十数的笔算除法 例题：下面速度最快的是（    ）。 A．某运动员9.99秒跑完了100米 B．某动物奔跑速度是1800米/分 C．某轮船10分钟行了15千米 D．某车行驶速度是32米/秒 【答案】D 【分析】由题目可知，根据速度＝路程÷时间，把四个选项中的速度都改写成用米/秒作单位，再进行比较，即可解题。 【详解】A．9.99秒大约是10秒，速度大约是100÷10＝10（米/秒）； B．1分＝60秒，1800÷60＝30（米/秒）； C．10分＝600秒，15千米＝15000米，15000÷600＝25（米/秒）； D． 速度是32米/秒； 32＞30＞25＞10 所以速度最快的是某车速度是32米/秒。 故答案为：D 【变式训练1】工地有720袋水泥，用3辆卡车运送，每辆卡车每次运40袋，需要运多少次？ 【答案】6次 【分析】先用一共的袋数除以3，即可求出每辆车要运的袋数，再除以1辆卡车可以运输的袋数，就能得到需要运送的次数。 【详解】720÷3＝240（袋） 240÷40＝6（次） 答：需要运6次。 【变式训练2】三门峡灵宝市寺河山果园，素有“亚洲第一高山果园”的美誉。乐乐和爸爸妈妈星期天去那里游玩，他的爸爸买了3箱苹果，每箱里面有20个苹果，总共花了240元。每个苹果多少元？ 【答案】4元 【分析】用购买苹果花的钱数除以箱数即可算出每箱苹果多少钱，又每箱里面有20个苹果，再除以20，即可算出每个苹果多少元。 【详解】 （元） 答：每个苹果4元。 【变式训练3】2024年5月28日，神舟十八号航天员乘组圆满完成大约8小时30分钟的首次出舱任务。空间站绕地球一周大约90分钟，首次出舱任务期间，空间站能绕地球飞行几圈？ 【答案】5圈 【分析】由题意可知，神舟十八号航天员乘组首次出舱任务时长为8小时30分钟，根据1小时＝60分钟，将8小时30分钟换算成以分钟作单位的数，又知空间站绕地球一周大约90分钟，用出仓总时长除以绕地球一周的时长，即可计算出空间站能绕地球飞行几圈，据此即可解答。 【详解】60×8＋30 ＝480＋30 ＝510（分钟） 510÷90＝5（圈）……60（分钟） 答：空间站能绕地球飞行5圈。 易错点三：除数是两位数的笔算除法 例题：列竖式计算。 308×25＝         450×18＝        632÷21＝        840÷35＝ 【答案】7700；8100；30……2；24 【分析】（1）三位数乘两位数，三位数中间有0：用两位数的个位和十位上的数依次去乘三位数的每一位数，包括中间的0，和0相乘后得0，再加上进上来的数，写在相应的数位上，如果没有进位，则直接写0，最后将所有乘积相加得到最终结果。 （2）三位数乘两位数，乘数末尾有0：先把0前面的数相乘，再看两个因数的末尾一共有几个0，在积的末尾添上相同数量的0，写竖式时，将因数末尾的0前面的数对齐。 （3）（4）多位数除以两位数的竖式计算：从被除数的最高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数，除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商，求出每一位商，余数必须比除数小，据此解答。 【详解】308×25＝7700      450×18＝8100      632÷21＝30……2      840÷35＝24                                  【变式训练1】列竖式计算，带※的要验算。 248×18＝           40×205＝           ※37×23＝ 703÷90＝           104×26＝           ※681÷85＝ 【答案】4464；8200；851 7……73；2704；8……1 【分析】两、三位数乘两位数的方法：先用两位数个位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与个位对齐；再用两位数十位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与十位对齐，再把两次相乘的积加起来。验算方法用积除以一个因数看是否等于另一个因数； 除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。验算时，商×除数＋余数＝被除数。 【详解】248×18＝4464           40×205＝8200           37×23＝851                        验算： 703÷90＝7……73         104×26＝2704           681÷85＝8……1                验算： 【变式训练2】列竖式计算，带☆号的要验算。 182÷26    450÷30    ☆850÷21 【答案】7；15；40……10 【分析】除数是两位数的除法计算时，先看被除数的前两位，不够除时看前三位，除到哪一位商就写在哪一位上面，每次除后余下的数都要比除数小。 有余数的除法验算时，用商乘除数再加上余数，看是不是等于被除数。 【详解】182÷26＝7              450÷30＝15               ☆850÷21＝40……10 验算： 【变式训练3】用竖式计算。（带★的要验算） 480×65        345×28          576÷18        ★988÷27 【答案】31200；9660；32；36……16 【分析】三位数乘两位数，相同数位对齐，用第二个因数的个位乘第一个因数的个位和十位以及百位，结果从个位写起，再用第二个因数的十位乘第一个因数的个位和十位以及百位，结果从十位写起，最后结果相加，满十向前一位进一。 除数是两位数的除法，先看被除数的前两位，如果它比除数小就看被除数的前三位，除到哪一位就把商写在那一位上面，每次除后余数要比除数小。除法可以用被除数＝商×除数＋余数进行验算。 【详解】480×65＝31200                 345×28＝9660                  576÷18＝32                   988÷27＝36……16         验算： 易错点四：多位数除以两位数的试商 例题：计算288÷32时，把除数看作30来试商，商可能会（    ）。 A．正好 B．偏小 C．偏大 【答案】C 【分析】除数是两位数的除法试商时，把除数运用四舍五入法看成整十数进行试商，确定初商；根据被除数÷除数＝商可知，在试商时，若把除数看小，那么得到的商可能会偏大；若把除数看大，那么得到的商可能会偏小。 【详解】根据分析可知，计算288÷32时，把除数看作30来试商，除数变小了，那么商可能会偏大。 故答案为：C 【变式训练1】计算278÷60时，想：60×( )接近278，且小于278，所以商( )，商写在( )位上。 【答案】 4 4 个 【分析】计算278÷60时，利用试商法，寻找最大的整数使得60乘该数接近且不超过278。60×4＝240，接近278且小于278，因此商为4，写在个位上。 【详解】60×4＝240，240接近278且小于278，60×5＝300，超过278，因此商是4，由于被除数前两位27小于60，商写在个位上。所以计算278÷60时，想：60×4接近278，且小于278，所以商是4，商写在个位上。 【变式训练2】如图，聪聪在做三位数除以两位数的除法竖式时，发现商5小了，改商6，这道竖式的除数是( )，被除数是( )。 【答案】 26 164 【分析】先试商5，发现余数为34；改商6，发现余数为8。余数相差：34－8＝26，商相差6－5＝1。根据除数的意义可知，余数相差的值就等于1个除数，即除数是26。再根据被除数＝商×除数＋余数求出被除数即可。 【详解】34－8＝26 6×26＋8 ＝156＋8 ＝164 这道竖式的除数是26，被除数是164。 【变式训练3】在计算43÷49试商时，可以把除数49看成( )来试商，要使商是一位数，里最大填( )，要使商是两位数，里最小填( )。 【答案】 50 4 5 【分析】三位数除以两位数试商时，把两位数看成与它接近的整十数，再计算；三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于等于除数，商是两位数，如果被除数的前两位小于除数，商是一位数；据此解答。 【详解】根据分析： ①49≈50，所以可以把除数49看成50来试商； ②要使商是一位数，4＜49，里面的数要小于等于4，那么里最大填4；③要使商是两位数，4＞49，里要大于等于5，里最小填5。 易错点五：判断商是几位数（除数是两位数） 例题：要使□66÷62的商是一位数，□里最大填( )；要使4□8÷46的商是两位数，□里最小填( )。 【答案】 5 6 【分析】三位数除以两位数，要使商是一位数，那么被除数百位、十位上的数合起来要小于除数；要使商是两位数，那么被除数百位、十位上的数合起来要等于或大于除数；依此填空。 【详解】要使□66÷62的商是一位数，则□6小于62，□里填1、2、3、4、5，□里最大填5。 要使4□8÷46的商是两位数，则4□大于或等于46，□里填6、7、8、9，□里最小填6。 【变式训练1】□67÷67，商如果是一位数，□里最大应填( )；商如果是两位数，□里最小应填( )。 【答案】 6 7 【分析】要判断三位数除以两位数商的位数，只需要将被除数的前两位数与除数进行比较，如果被除数的前两位数大于或等于除数，则商是两位数；如果被除数的前两位数小于除数，则商是一位数。据此解答。 【详解】□67÷67，商如果是一位数，则□6＜67，又因为6＜7，则□＜6或□＝6，□里可以填1、2、3、4、5、6，最大应填6。 □67÷67，商如果是两位数，则□6＞67，又因为6＜7，则□＞6，□里可以填7、8、9，最小应填7。 【变式训练2】明明认为：“三位数除以两位数的结果一定是两位数。”下面例子可以帮助明明认识到错误的是（    ）。 A．830÷41 B．960÷24 C．861÷27 D．128÷14 【答案】D 【分析】三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于等于除数，商是两位数，如果被除数的前两位小于除数，商是一位数；逐项分析后进行选择，据此解答。 【详解】根据分析： A．830÷41中的83＞41，商是两位数，不能帮助明明认识到错误； B．960÷24中的96＞24，商是两位数，不能帮助明明认识到错误； C．861÷27中的86＞27，商是两位数，不能帮助明明认识到错误； D．128÷14中的12＜14，商是一位数，能帮助明明认识到错误。 故答案为：D 【变式训练3】在算式“□64÷37”中，如果商是一位数，□里最大能填( )；如果商是两位数，□里最小能填( )。 【答案】 3 4 【分析】计算除数是两位数的除法时，先用除数去除被除数的前两位，前两位不够除，再看前三位，除到哪一位就把商写在那一位上面，除到被除数中间或末尾一位不够商1要商0，每一步除得的余数都要比除数小； 在算式“□64÷37”中，要使商是一位数，说明被除数的前两位不够除，即被除数的前两位□6比除数37小，所以□中的数字应小于或等于3，即可能是1、2、3，最大是3；要使商是两位数，说明被除数的前两位够除，即被除数的前两位□6大于或等于除数37，所以□中的数字应大于3，即可能是4、5、6、7、8、9，最小是4。据此解答。 【详解】根据分析可知： 在算式“□64÷37”中，如果商是一位数，□里最大能填3；如果商是两位数，□里最小能填4。 易错点六：单归一问题 例题：王老师要把95张照片上传至班级相册，上传13张花了39秒。照这样计算，全部上传完一共要用多少时间？ 【答案】285秒 【分析】由题意得，王老师要把95张照片上传至班级相册，上传13张花了39秒。可以先用39除以13算出上传一张照片需要多少秒，然后再乘上95即可算出全部上传完一共要用多少时间。 【详解】39÷13×95 ＝3×95 ＝285（秒） 答：全部上传完一共要用285秒。 【变式训练1】小明爷爷去年养了3箱蜜蜂，一年收获蜂蜜225千克，照这样计算，小明爷爷今年收获蜂蜜825千克，一共养了多少箱蜜蜂？ 【答案】 11箱 【分析】先根据去年3箱蜜蜂产225千克蜂蜜，求出每箱蜜蜂的年产量，再用今年总产量除以每箱产量，得到今年养的蜜蜂箱数。 【详解】（千克） （箱） 答：一共养了11箱蜜蜂。 【变式训练2】学校开展节约用水活动，前3个月节约用水240吨，照这样计算，学校一年（按12个月计算）能节约用水多少吨？如果每人每年用水48吨，学校一年节约的水可以供一个人用几年？ 【答案】960吨；20年 【分析】根据题意，前3个月节约用水240吨，可先求出每月节约的吨数，再乘12得到一年的节水量；然后用一年的总节水量除以每人每年的用水量48吨，得出可供使用的年数。 【详解】240÷3＝80（吨） 80×12＝960（吨） 960÷48＝20（年） 答：学校一年能节约960吨水，学校一年节约的水可以供一个人用20年。 【变式训练3】李奶奶的苹果园丰收了，一共收获了240箱。一辆汽车已经运了3次，共运了72箱。照这样计算，剩余的苹果还需要多少次才能运完？ 【答案】7次 【分析】首先用3次运的苹果的箱数÷3计算出一次可以运多少箱，然后用一共收获的总箱数减去已经运走的箱数计算出还剩的箱数，最后再除以一次运的箱数即可解题。 【详解】72÷3＝24（箱） （240－72）÷24 ＝168÷24 ＝7（次） 答：剩余的苹果还需要7次才能运完。 易错点七：双归一问题 例题：一个家属院开展节约用水活动，38户一年可以节约用水912吨水，平均每户一个月节约用水多少吨水？ 【答案】2吨 【分析】根据对年月日的认识，一年＝12个月，首先用节约用水的总吨数除以家属院的户数，用912÷38，求出每户一年节约用水的吨数，再用每户一年节约用水的吨数除以12个月，即可求出平均每户一个月节约用水多少吨。 【详解】一年＝12个月 912÷38÷12 ＝24÷12 ＝2（吨） 答：平均每户一个月节约用水2吨。 【变式训练1】有4组同学去植树，每组12人，一共植树144棵，平均每人植树多少棵？（用两种方法解） 【答案】3棵 【分析】方法一：植树的总棵树除以组数，求出平均每组植树的棵树，再用每个小组植树的棵树除以每组的人数，即可求出平均每人植树的棵数； 方法二：先用每组的人数乘组数求出植树的总人数，再用植树的总棵数除以植树的总人数，即可求出平均每人植树的棵数；据此解答。 【详解】方法一：144÷4÷12 ＝36÷12 ＝3（棵） 方法二：144÷（12×4） ＝144÷48 ＝3（棵） 答：平均每人植树3棵。 【变式训练2】某村共有4个小组，每个小组有小麦种植户20户，该村小麦种植面积共计720亩，照这样计算，平均每户小麦种植户种植小麦多少亩？ 【答案】9亩 【分析】用小麦的总种植面积除以小组数，先求出每个小组小麦种植面积有多少亩，再除以每个小组的小麦种植户，即可求得平均每户小麦种植户种植小麦多少亩。 【详解】720÷4÷20 ＝180÷20 ＝9（亩） 答：平均每户小麦种植户种植小麦9亩。 【变式训练3】废弃的中性笔芯属于垃圾，新华路小学四年级学生决定集中收集。四年级有4个班，每个班有42个学生，四年级全体学生一共收集废笔芯672根，平均每个学生收集废笔芯多少根？ 【答案】4根 【分析】4个班收集了废笔芯672根，672除以4可以求出每个班学生收集废笔芯的数量，每个班有42人，再用这个商除以42即可解答。 【详解】672÷4÷42 ＝168÷42 ＝4（根） 答：平均每个学生收集废笔芯4根。 易错点八：归总问题 例题：5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜。照这样计算，20箱蜜蜂一年可以酿多少千克蜂蜜？一年要酿 1725千克蜂蜜需要养多少箱蜜蜂？ 【答案】1500千克，23箱 【分析】第一问可根据“一年酿蜜总量÷箱数＝每箱蜜蜂一年酿蜜量”先求出每箱蜜蜂一年酿蜜量，再根据“每箱蜜蜂一年酿蜜量×箱数＝一年总酿蜜量”，求出20箱蜜蜂一年酿蜜量。第二问根据“箱数＝一年总酿蜜量÷每箱蜜蜂一年酿蜜量”计算酿1725千克蜂蜜所需箱数。 【详解】每箱蜜蜂一年酿蜜量： 375÷5＝75（千克） 20箱蜜蜂一年酿蜜量： 75×20＝1500（千克） 酿1725千克蜂蜜所需箱数： 1725÷75＝23（箱） 答：20箱蜜蜂一年可以酿1500千克蜂蜜，一年要酿1725千克蜂蜜需要养23箱蜜蜂。 【变式训练1】学校计划举办新年游园会，原本安排按每行26人，正好站成48行排队。现为让大家更好的参与，调整为每行32人，需要站多少行？ 【答案】39行 【分析】根据题意可知，调整前后总人数相同；用原来每行的人数26人乘行数48行，得到总人数；再用总人数除以调整后每行的人数32人，即得到调整后需要站的行数。据此解答。 【详解】26×48÷32 ＝1248÷32 ＝39（行） 答：需要站39行。 【变式训练2】花如海，人如潮，“汉服热”带动了洛阳今年的文旅热。洛阳一家汉服服装厂接到一个订单，如果每天加工500套汉服，8天可以完成订单任务，现在需求方让服装厂5天完成订单任务，平均每天需要加工多少套汉服？ 【答案】800套 【分析】已知每天加工500套汉服（工作效率），8天（工作时间）可以完成任务，根据“工作总量＝工作效率×工作时间”可求出订单的总套数（工作总量）。现在要求5天完成该订单，此时工作总量不变，用总套数除以5天，即可得到平均每天需要加工的套数。 【详解】500×8＝4000（套） 4000÷5＝800（套） 答：平均每天需要加工800套汉服。 【变式训练3】星期天，王亮去爬山，他从山脚爬到山顶用了20分钟，从山顶按原路返回到山脚，用了15分钟，已知王亮上山的速度是45米/分，王亮返回时每分钟走多少米？ 【答案】 60米 【分析】先用上山用的时间乘上山的速度，求出从山脚到山顶的距离，再除以下山用的时间即可。 【详解】45×20÷15 ＝900÷15 ＝60（米/分） 答：王亮返回时每分钟走60米。 易错点九：商的变化规律及应用 例题：两个数相除，商是23，如果在被除数和除数的末尾都添上两个0，商( )；如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，商( )。 【答案】 23 230 【分析】在被除数和除数的末尾都添上两个0，即被除数和除数同时乘100。根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。因此，商仍然是23。 被除数扩大到原来的10倍（即被除数乘10），除数不变。根据商的变化规律，被除数乘10，除数不变，商也乘10。因此，商变为23×10＝230。 【详解】根据分析可知： 两个数相除，商是23，如果在被除数和除数的末尾都添上两个0，商23；如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，商230。 【变式训练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 56÷6( )56÷3        45×24( )24×44      400÷2( )800÷4 280÷7( )140÷2      0×26( )0÷26        648÷3( )108×2 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＜ ＝ ＝ 【分析】在除法算式中，被除数不变，除数越大商越小；据此解答（1）小题； 当两个乘法算式中，如果一个因数相同，则另一因数大的算式的结果就大；据此解答（2）小题； 商的不变规律：在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变；据此解答（3）小题； 0乘任何数都等于0；0除以不为0的数都得0；据此解答（5）小题； 除数是一位数的除法，从被除数的最高位除起，先试除被除数的前一位，前一位不够除就试除被除数的前两位，除到哪一位就把商写在哪一位，哪一位上不够商1就用0占位，每次除后余下的数要比除数小； 三位数乘一位数，相同数位对齐，从个位起，用一位数依次乘三位数的每一位数，乘到哪一位，就把积写在哪一位上。哪一位上乘得的积满几十就向前一位进几。当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零。据此解答（4）、（6）小题。 【详解】6＞3，56÷6＜56÷3； 45＞44，45×24＞24×44； 400÷2＝（400×2）÷（2×2）＝800÷4； 280÷7＝40，140÷2＝70，40＜70，即280÷7＜140÷2； 0×26＝0，0÷26＝0，0×26＝0÷26； 648÷3＝216，108×2＝216，648÷3＝108×2。 【变式训练2】两个数的商是36，如果被除数不变，除数乘9，则商是( )；两个因数的积是30，一个因数扩大为原来的4倍，另一个因数不变，积是( )。 【答案】 4 120 【分析】根据商的变化规律：被除数不变，除数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一）（0除外），则商缩小到到原来的几分之一（或扩大相同的倍数）； 根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的若干倍或缩小到原来的若干分之一（0除外），得到的积就等于原来的积的若干倍或缩小到原来的若干分之一；据此解答。 【详解】36÷9＝4 30×4＝120 所以两个数的商是36，如果被除数不变，除数乘9，则商是4；两个因数的积是30，一个因数扩大为原来的4倍，另一个因数不变，积是120。 【变式训练3】已知 A÷B＝50，如果A扩大到原来的5倍，B不变，则商是( )；如果A不变，B扩大到原来的5倍，则商是( )；如果A和B同时扩大到原来的5倍，则商是( )。 【答案】 250 10 50 【分析】商的变化规律： （1）除数不变，被除数扩大到原来的几倍或者缩小为原来的几分之一，商也同样扩大到原来的几倍或者缩小为原来的几分之一； （2）被除数不变，除数扩大到原来的几倍，商反而缩小为原来的几分之一。除数缩小为原来的几分之一，商反而扩大到原来的几倍； （3）被除数和除数同时扩大到原来的几倍或者缩小为原来的几分之一，商不变。 【详解】已知A÷B＝50，如果A扩大到原来的5倍，B不变，则商是50×5＝250；如果A不变，B扩大到原来的5倍，则商是50÷5＝10；如果A和B同时扩大到原来的5倍，则商是50。 易错点十：商不变的规律及应用 例题：已知A÷B＝8……3，当A＝51时，B＝( )；当B＝8时，A＝( )；当A与B同时扩大到原来的10倍后，商是( )，余数是( )。 【答案】 6 67 8 30 【分析】根据除数＝（被除数－余数）÷商，被除数＝商×除数＋余数；商不变性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，但余数也要同时乘或除以一个相同的数。据此解答。 【详解】（51－3）÷8 ＝48÷8 ＝6 8×8＋3 ＝64＋3 ＝67 3×10＝30 已知A÷B＝8……3，当A＝51时，B＝6；当B＝8时，A＝67；当A与B同时扩大到原来的10倍后，商是8，余数是30。 【变式训练1】在算式☐÷△＝23……5中，如果☐和△同时乘100，那么商是( )，余数是( )。 【答案】 23 500 【分析】根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。余数就乘或除以相同的数（0除外）。 【详解】已知☐÷△＝23……5，得：（☐×100）÷（△×100）＝23……500 所以☐和△同时乘100，那么商是23，余数是500。 【变式训练2】一道除法算式的商是26，如果除数和被除数同时乘10，则商是( )；如果被除数不变，除数除以3，则商是( )。 【答案】 26 78 【分析】商不变的规律：被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变； 被除数不变，商随除数变化的规律：除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几；据此解答即可。 【详解】一道除法算式的商是26，如果除数和被除数同时乘10，则商不变，商仍然是26；如果被除数不变，除数除以3，则商反而乘3，那么商是26×3＝78。 【变式训练3】新华书店新到840本书，每50本放一个书架。计算如图所示，可以放满( )个书架，还剩( )本。 【答案】 16 40 【分析】用840除以50，计算出的商为放满的书架，余数为剩下的本数；当被除数和除数末尾都有0时，可以运用商不变规律简化竖式，但要注意得出的余数如果不是0，还要再添上0，原来各去掉几个就添上几个0；商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变，余数也会乘或除以相同的不为0的数；据此解答。 【详解】根据分析：840÷50＝16（个）……40（本），所以可以放满16个书架，还剩40本。 易错点十一：相遇问题 例题：大雪过后，工人师傅开着除雪车清除马路上的积雪。甲、乙两辆除雪车分别从马路两端同时出发，相对而行，甲车每分钟行180米，乙车每分钟行220米。5分钟后相遇，这条马路长多少米？ 【答案】 2000米 【分析】根据题意，已知甲、乙两辆除雪车分别从马路两个尽头同时出发，相对而行，甲车每分钟行180米，乙车每分钟行220米。5分钟后相遇。根据相遇问题中“总路程＝速度和×相遇时间”的公式，将甲车和乙车的速度相加得到速度和，再乘相遇时间5分钟，即可求出这条马路的长度。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （180＋220）×5 ＝400×5 ＝2000（米） 答：这条马路长2000米。 【变式训练1】甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，相遇时乙车比甲车多行45千米。两地相距多少千米？ 【答案】 405千米 【分析】首先计算两车相遇时行驶的时间：已知甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，可计算出乙车每小时比甲车多行的距离（速度差），以及相遇时乙车比甲车多行的总距离，根据“多行的总距离÷每小时多行的距离 ＝ 行驶时间”来计算相遇时间；然后计算两地的距离：根据“路程 ＝ 速度和×相遇时间”来计算两地距离，其中速度和是甲、乙两车的速度相加。 【详解】45÷（75－60） ＝45÷15 ＝3（小时） （60＋75）×3 ＝135×3 ＝405（千米） 答：两地相距405千米。 【变式训练2】甲、乙两人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。如果两人的速度各增加1千米/时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。甲、乙两人原来的速度各是多少？ 【答案】甲6千米/时或4千米/时；乙4千米/时或6千米/时 【分析】由题意得，甲、乙两人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇，根据“路程÷相遇时间＝速度和”，用60除以6算出两人的速度之和； 如果两人的速度各增加1千米/时，那么两人的速度和会增加2千米/时，根据“路程÷速度和＝相遇时间”，用60千米除以现在的速度计算出两人走几个小时后相遇。 速度增加后，相遇地点距前一次相遇地点1千米，说明甲（或乙）走的路程比原来多走了1千米；根据路程差、速度差和时间差推算出甲的速度，最后再用速度之和减去甲（或乙）的速度算出乙（或甲）的速度。 【详解】60÷6＝10（千米/时） 60÷（10＋2） ＝60÷12 ＝5（小时） 甲：（1＋5×1）÷（6－5） ＝（1＋5）÷1 ＝6÷1 ＝6（千米/时） 乙：10－6＝4（千米/时） 答：甲的速度是6千米/时或4千米/时，乙的速度是4千米/时或6千米/时。 【变式训练3】A、B两城相距560千米，甲、乙两车同时分别从A、B两城相对开出，甲车每小时行65千米，乙车每小时行75千米。几小时后两车相遇？ 【答案】4小时 【分析】由题干可知，甲、乙两车相对开出，甲车每小时行65千米，乙车每小时行75千米，先求出速度之和，然后用总路程除以速度之和，即可求出相遇时间。 【详解】560÷（65＋75） ＝560÷140 ＝4（小时） 答：4小时后两车相遇。 易错点十二：追及问题 例题：小芳从学校以每分钟200米的速度骑车回家，3分钟后，小红也从学校出发，在距离学校1000米处追到小芳。小红的速度是多少？ 【答案】每分钟500米 【分析】根据题意画图如下： 当小红追上小芳时，距学校1000米．这1000米是小芳两次所行路程的和，一次是3分钟内行的路程，另一次是小红从出发到追上小芳所用时间内（追及时间）小芳行的路程，用1000米除以小芳的速度，即可求出小芳行驶1000米所花费的时间，用小芳行驶1000米所花费的时间减去3分钟，求出小红花了多少分钟赶上小芳，再用1000米除以小红赶上小芳所花费的时间，即可求出小红的速度是多少。 【详解】小红追到小芳时，小芳共走了： 1000÷200＝5（分）     小红追到小芳所花费的时间： 5－3＝2（分）     小红的速度： 1000÷2＝500（米/分）   答：小红的速度是每分钟500米。 【变式训练1】有一个队伍全长800米，以60米每分钟的速度行进，现小明因事需立马跑到队伍前面再回到队尾，他的速度是每分钟100米，则小明往返一趟需用多少时间？ 【答案】25分钟 【分析】小明从队尾赶到队伍前面的过程，是一个追及问题，他在追队伍领头的人；再从队伍前面返回队尾，是一个相遇问题；用路程分别除以速度差和速度和可以算出两个过程的时间，再把时间相加即可。 【详解】800÷（100－60） ＝800÷40 ＝20（分钟） 800÷（100＋60） ＝800÷160 ＝5（分钟） 20＋5＝25（分钟） 答：小明往返一趟需要25分钟。 【变式训练2】小明和小刚沿大龙湖环湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是160米/分，小刚的速度是140米/分，25分钟后两人第一次相遇。如果相遇后两人改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距400米？ 【答案】20分钟 【分析】因为两人在环形跑道上同向而行，根据路程差÷速度差＝时间，据此求出多少分钟后小刚和小明相距400米。 【详解】400÷（160－140） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：20分钟后小刚和小明相距400米。 【变式训练3】乌龟和蜗牛在直的花坛边上爬行，它们从同一点出发，同时反方向爬行。乌龟每分钟爬75厘米，蜗牛每分钟爬50厘米，各自爬了10分钟后，乌龟又转头去追蜗牛，它要多少分钟才能追上蜗牛？ 【答案】50分钟 【分析】分析题目，根据路程＝速度×时间求出10分钟蜗牛和乌龟爬的路程和；接下来用10分钟蜗牛和乌龟爬的路程和除以两个动物的速度差可求乌龟追上蜗牛需要的时间。 【详解】（50＋75）×10÷（75－50） ＝125×10÷25 ＝1250÷25 ＝50（分钟） 答：它要50分钟才能追上蜗牛。 【点睛】本题考查的是追及问题，解题的关键找出数量关系。 易错点十三：流水行船问题 例题：甲、乙两船在静水中的速度分别是24千米／时和32千米／时。两船从相距336千米的A、B两港同时出发相向而行，几小时后相遇？ 【答案】6小时 【分析】根据题意画出线段图。 从上图可以看出，这也是相遇问题，如果是在陆地上就很简单了，就用“总路程÷速度和＝相遇时间”。但这是在水中，要考虑到有个水速。速度和在这里会不会受到影响呢？我们假设甲船是顺水而下，乙船是逆流而上。因为甲船的顺水速度＝甲船速度＋水速，乙船的逆水速度＝乙船速度－水速，所以速度和＝甲船的顺水速度＋乙船的逆水速度＝（甲船速度＋水速）＋（乙船速度－水速）＝甲船速度＋乙船速度。由此可见，速度和不受水速的影响。 【详解】336÷（24＋32） ＝336÷56 ＝6（小时） 答：6小时后相遇。 【点睛】流水行船问题中，速度和、速度差均与水速无关，按照一般的相遇、追及问题求解即可。 【变式训练1】甲、乙两码头相距144千米，一只船从甲码头顺水航行8小时到达乙码头，已知船在静水中每小时行驶15千米，这只船返回甲码头需几小时？ 【答案】12小时 【分析】顺水航行8小时行驶144千米，顺水速度是每小时18千米，船速是每小时15千米，那么水速是每小时3千米，逆水速度是每小时12千米，路程除以速度，得到时间。 【详解】（千米/小时） （千米/小时） （千米/小时） （小时） 答：这只船返回甲码头需12小时。 【点睛】流水行船问题中有四个速度，分别是船速、水速、顺水速度和逆水速度，在计算的时候要区分顺水还是逆水。 【变式训练2】一艘轮船在静水中航行，每小时行15千米，水流的速度为每小时3千米。这艘轮船顺水航行270千米到达目的地，用了几个小时？ 【答案】15小时 【分析】静水中航行，每小时行15千米，则船速是15千米/小时，水流的速度为每小时3千米，那么顺水速度是18千米/小时，路程除以速度得到时间。 【详解】（千米/小时） （小时） 答：用了15个小时。 【点睛】在流水行船问题中，有水速、船速、顺水速度、逆水速度，用路程除以速度算时间时，要用对应的速度。 【变式训练3】一艘轮船顺流航行140千米，逆流航行80千米，共用了15小时，顺流航行60千米，逆流航行120千米，也用了15小时，求水流速度？ 【答案】5千米/小时 【分析】顺流航行140千米，逆流航行80千米和顺流航行60千米，逆流航行120千米所用时间相同，那么顺流航行80千米的时间等于逆流航行40千米的时间，那么逆流航行80千米的时间，顺流可以行驶160千米，相当于15小时可以行驶300千米，那么顺流每小时行驶20千米，然后求出逆流的速度，再计算水速。 【详解】（千米） （千米） （千米） （千米） （千米/小时） （千米/小时） （千米/小时） 答：水流速度是5千米/小时。 【点睛】本题考查的是流水行船问题，水速等于顺水速度与逆水速度的和除以2。 易错点十四：火车过桥问题 例题：一列火车匀速通过360米长的隧道用了18秒，以同样的速度通过216米长的隧道用了14秒。求这列火车的速度和车长？ 【答案】36米/秒；288米 【分析】火车完全过桥，行驶的路程包括火车长和桥的长度，360米的桥比216米的桥长了144米，多走这144米，多用了4秒，可以求出火车的速度；然后求出火车18秒内行驶的距离减去360米，即为火车长。 【详解】（360－216）÷（18－14） ＝144÷4 ＝36（米/秒） 18×36＝648（米） 648－360＝288（米） 答：这列火车的速度是36米/秒，这列火车的车长是288米。 【点睛】火车过桥和过隧道是样的，火车完全通过所行驶的路程包括火车长和隧道长。 【变式训练1】一条隧道长360米，其中火车从车头入洞到全车进洞共用了8秒，从车头入洞到全车出洞共用了20秒。这列火车长多少米？ 【答案】240米 【分析】火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，说明火车8秒所行的路程就是火车的车身长，从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟，20秒所行的路程是隧道长加车长，20－8＝12（秒），这12秒所行的路程就是隧道的长度，由此用360÷12可得火车的速度，用速度乘8即得火车的车身长度。 【详解】360÷（20－8） ＝360÷12 ＝30（米） 30×8＝240（米） 答：这列火车长240米。 【点睛】本题考查路程、速度、时间的关系和应用，掌握路程＝时间×速度，是解题的关键。 【变式训练2】一列火车车长220米，每秒行20米，这列火车要通过600米的山洞，请问火车有多少秒是完全在山洞里的？ 【答案】19 秒 【分析】分析题意可知，用山洞的长度减去火车的长度再除以火车的速度即可得到火车完全在山洞里的时间，据此解答。 【详解】（600－220）÷20 ＝380÷20 ＝19（秒） 答：火车有19秒是完全在山洞里的. 【点睛】本题主要考查了火车行驶问题，关键在于能够理解用山洞的长度减去火车的长度再除以火车的速度即可得到火车完全在山洞里的时间。 【变式训练3】一列火车长 700米，以每分钟 500 米的速度通过一座长1300米的大桥。从车头上桥到车尾离桥要多少分钟？ 【答案】4 分钟 【分析】从火车的车头上桥到车尾离桥的这段时间内，火车所行的路程是火车的车长加上桥长，所以火车过桥的时间＝（车长＋桥长）÷车速。 【详解】由分析可得： （700＋1300）÷500 ＝2000÷500 ＝4（分） 答：从车头上桥到车尾离桥要4分钟。 【点睛】本题考查了火车过桥问题，关键是要理解从火车的车头上桥到车尾离桥的这段时间内，火车所行的路程是火车的车长加上桥长。 拔尖训练 1．403×（    ）＞2400，括号里最小填（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】用2400除以403，即2400÷403＝5……385，要使403×（）＞2400，所以取商的整数部分加1，即5＋1＝6，据此解答即可。 【详解】2400÷403＝5……385 5＋1＝6 所以最小填6。 故答案为：B 2．在下边的算式中，→所指的这一行应填（    ）。 A．213 B．852 C．5112 D．402 【答案】B 【分析】三位数乘两位数的方法：先用两位数个位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与个位对齐；再用两位数十位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与十位对齐，再把两次相乘的积加起来；要注意满几十往前进几；因数24中的2在十位上，表示20；426末位的6在十位上，表示426个10，也就是4260，先用4260除以20计算出另一个因数，再乘4计算出“→”所指的这一行；据此解答。 【详解】根据分析可知： 4260÷20×4 ＝213×4 ＝852 所以“→”所指的这一行应填852。 故答案为：B 3．一片树林的占地面积约为25公顷，（    ）片这样的树林的占地面积约为1平方千米。 A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】1平方千米＝100公顷，计算100公顷中包含多少个25公顷即可。 【详解】1平方千米＝100公顷 100÷25＝4（片） 一片树林的占地面积约为25公顷，4片这样的树林的占地面积约为1平方千米。 故答案为：B 4．小明决定存钱去买如图这套书，如果小明从月份开始，平均每个月存钱元，到（    ）月底时，小明就能买到这套书了。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】小明从3月份开始平均每个月存35元，110÷35＝3（个）……5（元），说明存3个月后还剩5元没存够，所以需要存3＋1＝4个月的钱。 【详解】110÷35＝3（个）……5（元） 3＋1＝4（个） 从3月开始存4个月，到6月底时能存够买到这本套书。 故答案为：A 5．四2班的同学在研究“13亿粒米有多重”的活动课上数出了200粒米，称出质量为4g。再计算13亿粒米有多重，请你参与进来一起计算，这个结果是（    ）。 A．26吨 B．2600千克 C．26000吨 D．26千克 【答案】A 【分析】已知200粒米重4克，13亿＝1300000000，先求出1300000000里有多少个200，再乘4，就是13亿粒得到总质量，根据1千克＝1000克，1吨＝1000千克，最后进行单位换算。 【详解】根据分析可知： 1300000000÷200×4 ＝6500000×4 ＝26000000（克） 26000000克＝26000千克＝26吨 四2班的同学在研究“13亿粒米有多重”的活动课上数出了200粒米，称出质量为4g。再计算13亿粒米有多重，请你参与进来一起计算，这个结果是26吨。 故答案为：A 6．有120千克苹果要装箱，平均每箱可以装17千克苹果，至少需要准备( )个箱子才能把这些苹果装完。 【答案】8 【分析】每箱装17千克苹果，用120除以17即可求出能装满几箱，还剩下几千克，剩下的不足17千克的部分再单独装1箱，即给商加1，即可求出需要准备箱子的个数。 【详解】120÷17＝7（箱）……1（千克） 7＋1＝8（箱） 至少需要准备8个箱子才能把这些苹果装完。 7．永辉超市促销，某款面条每袋价格为16元，现在买10袋送2袋，李阿姨带了300元，最多可以买( )袋。 【答案】20 【分析】首先计算李阿姨的300元在不考虑赠送的情况下能买多少袋面条，每袋16元，通过除法计算可得最大购买袋数。即300÷16＝18（袋）……12（元），再根据促销活动“买10袋送2袋”，用18除以10求出18里有几个10就赠送几个2袋，再加上18袋得到总袋数。 【详解】300÷16＝18（袋）……12（元） 18÷10＝1（组）……8（袋） 18＋2＝20（袋） 所以最多可以买20袋。 8．体育商店现在搞促销活动，足球原来的单价是120元，现在买4个送1个。学校要买20个足球，至少得花( )元钱，每个足球便宜了( )元钱。 【答案】 1920 24 【分析】根据题意，足球买4个送1个，即花费4个足球的钱数可以得到4＋1＝5（个）足球。先用20除以5，看20里有几组买4送1，总价＝单价×数量，用120乘4，再乘组数，就是买足球至少花的钱数。计算每个足球的便宜金额：用除法计算出实际每个足球的单价，原价 120 元减去实际单价，即可得出每个足球便宜了多少钱。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 4＋1＝5（个） 20÷5＝4（组） 120×4×4 ＝480×4 ＝1920（元） 1920÷20＝96（元） 120－96＝24（元） 体育商店现在搞促销活动，足球原来的单价是120元，现在买4个送1个。学校要买20个足球，至少得花1920元钱，每个足球便宜了24元钱。 9．一条公路长350千米，一辆汽车平均每小时行驶70千米，这辆汽车( )小时行完全程。 【答案】5 【分析】路程÷速度＝时间，用公路的全长除以平均每小时行驶的千米数，就是这辆汽车几小时行完全程。 【详解】350÷70＝5 所以，这辆汽车5小时行完全程。 10．王明计算一道有余数的除法时，在被除数和除数的末尾同时去掉一个“0”后，算得的商是12，余数是5，这道除法算式的商是( )，余数是( )。 【答案】 12 50 【分析】被除数和除数同时乘（或除以）相同的数，商不变，余数也要同时乘（或除以）相同的数，据此即可解答。 【详解】被除数和除数的末尾同时去掉一个“0”后，商不变，还是12。但是原来的余数应该是5×10＝50。 所以，这道除法算式的商是12，余数是50。 11．双十一网店促销活动中，一家店铺中的一条裤子售价68元，买两条送一条，妈妈有700元钱，准备买一批裤子，最多可以买( )条。 【答案】15 【分析】根据题意，已知一条裤子售价68元，买两条送一条，也就是买3条花两条的钱，妈妈有700元钱，用700除以68，看有几个68，再除以2，求出共有几组优惠，再乘3就是最多可以买的条数。列式计算即可。 【详解】700÷68＝10（条）20（元） 10÷2×（1＋2） ＝5×3 ＝15（条） 双十一网店促销活动中，一家店铺中的一条裤子售价68元，买两条送一条，妈妈有700元钱，准备买一批裤子，最多可以买15条。 12．商店购进8箱笔记本，一共花了960元，每箱笔记本的价格是( )元，若每箱有30本，每本笔记本( )元，用到的数量关系式有( )和( )。 【答案】 120 4 总价÷箱数＝每箱的价钱 每箱笔记本的价格÷每箱的本数＝每本笔记本的价格 【分析】根据单价＝总价÷数量，用8箱笔记本的价钱除以8箱，即可求出每箱笔记本的价格；再用每箱笔记本的价格除以每箱的本数，即可求出每本笔记本的价格。 【详解】每箱笔记本的价格：（元） 每本笔记本的价格：（元） 所以商店购进8箱笔记本，一共花了960元，每箱笔记本的价格是120元，若每箱有30本，每本笔记本4元，用到的数量关系式有总价÷箱数＝每箱的价钱和每箱笔记本的价格÷每箱的本数＝每本笔记本的价格。 13．小明步行的速度是每分钟65米，他从家到学校走了20分钟，家到学校的距离是( )米；如果他要在13分钟内走到学校，每分钟至少要走( )米。 【答案】 1300 100 【分析】根据路程＝速度×时间，用小明每分钟走的距离乘从家到学校走的时间，即可求出家到学校的距离是多少米；用家到学校的距离除以需要走的时间，即可求出每分钟至少要走多少米。 【详解】65×20＝1300（米） 1300÷13＝100（米） 小明步行的速度是每分钟65米，他从家到学校走了20分钟，家到学校的距离是1300米；如果他要在13分钟内走到学校，每分钟至少要走100米。 14．口算。 120×5＝             25×8＝             420÷70 ＝              560÷80＝ 30×13＝             600÷30＝            96÷3 ＝                14×50＝ 【答案】600；200；6；7； 390；20；32；700 【详解】略 15．列竖式计算。 652÷79＝                    36×25＝                        960÷40＝ 【答案】8……20；900；24 【分析】三位数除以两位数，先看被除数的前两位，如果它比除数小就看被除数的前三位，除到哪一位就把商写在那一位上面，每次除后余数要比除数小。 两位数乘两位数，相同数位对齐，用第二个因数的个位乘第一个因数的个位和十位，结果从个位写起，再用第二个因数的十位乘第一个因数的个位和十位，结果从十位写起，最后结果相加，满十向前一位进一。 【详解】652÷79＝8……20                36×25＝900            960÷40＝24                             16．市政府广场占地面积约是8公顷，如果将这个广场铺上边长为4分米的正方形地砖，一共需要多少块地砖？ 【答案】500000块 【分析】1公顷＝1000000平方分米，正方形面积＝边长×边长，据此用4×4计算出正方形地砖的面积，然后将8公顷换算成以“平方分米”为单位的数后再除以正方形地砖的面积即可。 【详解】4×4＝16（平方分米） 8公顷＝8000000平方分米 8000000÷16＝500000（块） 答：一共需要500000块地砖。 17．小明、小红同时从城沿相反方向出发，两人速度相同。上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒；上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明，那么火车每秒行多少米？小明和小红出发时间是几点？ 【答案】35米；7：30 【分析】用小火车长分别除以30秒和40秒，可求得小火车和两人的速度之和与速度之差，利用和差问题，可求得火车的速度和两人的速度。30分＝1800秒，利用火车与小明的速度差乘1800秒，可求得9：00时，小红和小明相距的路程。用相距的路程÷二人的速度和，可求得两人出发了多少秒，单位换算成分。用9：00减去二人所走的时间，即可二人的出发时间。 【详解】（米） （米） ＝70÷2 ＝35（米） 35－30＝5（米） 30分＝1800秒 ＝30×1800 （米） ＝54000÷10 ＝5400（秒） 5400秒＝90分＝1时30分 9：00－1时30分＝7：30 答：火车每秒行35米，小明和小红出发时间是7：30。 【点睛】本题关键在于用和差问题，相加除以2求得火车的速度，再求得二人的速度。用火车与二人的速度差乘30分单位换算成的秒，可求得9：00时，小红和小明相距的路程。用相距的路程÷二人的速度和，可求得出发了多长时间，单位换算成分，再用9：00减去二人所走的时间，即可二人的出发时间。 18．哥哥是物流公司的司机，一天早上8：00他从公司出发去某县城送货，去时的速度是60千米/时，中午12：00到达目的地；原路返回时每小时多行20千米，哥哥返回时用了多少小时？ 【答案】3小时 【分析】根据题意，先用到达的时间减去出发的时间，求出一共行驶了多少小时，根据路程＝速度×时间，用去时的速度乘行驶的时间，即可求出从公司到县城的距离，用原来的速度加上返回时每小时多行的距离，求出返回时的速度，用从公司到县城的距离除以返回时的速度，即可求出哥哥返回时用了多少小时。 【详解】早上8：00＝8：00 中午12：00＝12：00 12：00－8：00＝4（小时） 60×4＝240（千米） 240÷（60＋20） 240÷80 ＝3（小时） 答：哥哥返回时用了3小时。 19．四年级同学乘大巴车从学校出发到研学基地，去的时候速度是60千米/时，用了2小时，活动结束后原路返回用了3小时，返回时平均每小时行多少千米？ 【答案】40千米 【分析】根据速度×时间＝路程，计算出从学校出发到研学基地的路程是多少千米，由于往返的路程不变，再根据路程÷时间＝速度，计算出原路返回时平均每小时行多少千米即可。 【详解】60×2÷3 ＝120÷3 ＝40（千米/时） 答：返回时平均每小时行40千米。 20．学校长方形运动场的面积是1250平方米，长是50米，如果把长增加到150米，宽不变，那么运动场的面积是多少平方米？比原来增加了多少平方米？ 【答案】3750平方米；2500平方米 【分析】长方形的宽＝面积÷长，据此求出运动场的宽。再根据长方形的面积＝长×宽，求出扩大后运动场的面积。再用扩大后运动场的面积减去原来运动场的面积，求出增加的面积。 【详解】1250÷50＝25（米） 150×25＝3750（平方米）   3750－1250＝2500（平方米） 答：运动场的面积是3750平方米，比原来增加了2500平方米。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $