期末复习05：平行四边形和梯形（知识梳理+14个易错点练习+拔尖训练）-四年级数学上学期易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学讲义通过知识梳理系统构建了“平行四边形和梯形”单元的知识体系，将平行与垂直、图形特征、画法等八个知识点以框架图呈现，清晰梳理四边形分类及包含关系，突出“同一平面内”等前提和图形特征的重难点联系。 讲义亮点在于“易错点举一反三”设计，14个易错点如“画高未标垂直符号”“数图形漏数”均配例题与变式训练，培养几何直观与推理意识。拔尖训练分层提升，助力学生自主自查，教师可据此实施精准复习教学。

期末复习05：平行四边形和梯形 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：平行与垂直的认识 2 知识点二：垂线的画法 2 知识点三：平行线的画法 3 知识点四：平行四边形的特征 4 知识点五：梯形的特征 4 知识点六：四边形之间的关系 5 知识点七：平行四边形和梯形的高 6 知识点八：易错点与辨析技巧 6 易错点练习 7 易错点一：平行的特征与性质 7 易错点二：画平行线 8 易错点三：垂直的特征 10 易错点四：画垂线 12 易错点五：点到直线的距离 14 易错点六：平行四边形的概念及特点 17 易错点七：平行四边形的高及画法 19 易错点八：平行四边形的不稳定性及应用 20 易错点九：画平行四边形 22 易错点十：梯形的概念及特点 24 易错点十一：梯形的高及画法 27 易错点十二：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 29 易错点十三：画梯形 31 易错点十四：数图形 35 拔尖训练 36 知识梳理 知识点一：平行与垂直的认识 定义：在同一平面内，两条直线的位置关系分为相交和不相交两种，其中相交成直角时称为垂直，不相交时称为平行。 核心要点： 1.平行线： 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行 表示方法：直线a与直线b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b 生活实例：铁轨、双杠、黑板对边 2.垂线： 定义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足 表示方法：直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b 生活实例：墙角、课本相邻两边、十字路 注意事项： "同一平面内"是判断平行与垂直的前提条件（异面直线不适用） 平行线具有"永不相交"的特性，无论延长多远都不会相交 垂直是相交的特殊情况，必须满足相交角为90° 知识点二：垂线的画法 定义：使用直尺和三角尺规范绘制垂线的方法，包括过直线上一点画垂线和过直线外一点画垂线。 核心要点： 1.过直线上一点画垂线步骤： 第一步：把三角尺的一条直角边与已知直线重合 第二步：沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合 第三步：从直角顶点起，沿着另一条直角边画出一条直线 第四步：标出垂直符号"⊥" 2.过直线外一点画垂线步骤： 第一步：把三角尺的一条直角边与已知直线重合 第二步：沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边通过直线外的已知点 第三步：沿着这条直角边画出一条直线 第四步：标出垂直符号"⊥" 注意事项： 画垂线时必须使用直尺和三角尺，确保图形规范 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线画好后必须标出垂直符号"⊥" 画完后检查：三角尺的直角边是否与直线完全重合，所画直线是否通过已知点 知识点三：平行线的画法 定义：使用直尺和三角尺绘制平行线的规范方法，包括画已知直线的平行线和过直线外一点画已知直线的平行线。 核心要点： 1.画已知直线的平行线步骤： 第一步：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺 第三步：平移三角尺到合适位置 第四步：沿第一步中的直角边画出另一条直线 2.过直线外一点画平行线步骤： 第一步：把三角尺的一条直角边与已知直线重合 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺 第三步：平移三角尺，使与已知直线重合的直角边通过直线外的已知点 第四步：沿这条直角边画出一条直线 注意事项： 画平行线时必须保证直尺固定，三角尺平移 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 平行线间的距离处处相等 可利用画垂线的方法检验平行线（平行线间的垂线段长度相等） 知识点四：平行四边形的特征 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，具有对边平行且相等、对角相等的特性。 核心要点： 1.基本特征： 两组对边分别平行（定义属性） 两组对边分别相等（性质定理） 两组对角分别相等（∠A=∠C，∠B=∠D） 邻角互补（∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°） 2.特殊性质： 具有不稳定性（易变形） 对角线互相平分 过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成两个完全相同的部分 3.各部分名称： 底：平行四边形的任意一条边都可以作为底 高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高 注意事项： 平行四边形必须满足"两组对边分别平行"，仅有一组对边平行的不是平行四边形 长方形和正方形是特殊的平行四边形 平行四边形有无数条高，同一底边上的高长度相等 平行四边形的底和高必须是对应的（高垂直于底） 知识点五：梯形的特征 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰。 核心要点： 1.基本特征： 只有一组对边平行（上底和下底） 另一组对边不平行（腰） 梯形的上底和下底互相平行 2.特殊梯形： 等腰梯形：两腰相等的梯形，特点是同一底上的两个角相等 直角梯形：有一个角是直角的梯形，特点是有一条腰垂直于两底 3.各部分名称： 上底：梯形中较短的平行边 下底：梯形中较长的平行边 腰：不平行的两边 高：从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高 注意事项： 梯形必须满足"只有一组对边平行"，两组对边都平行的是平行四边形 梯形有无数条高，所有高的长度都相等 等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴 直角梯形中有两个直角，且垂直于底的那条腰就是梯形的高 知识点六：四边形之间的关系 定义：由四条线段首尾相连围成的封闭图形统称为四边形，不同类型的四边形根据其特征存在包含关系。 核心要点： 1.四边形的分类： 一般四边形：两组对边都不平行的四边形 平行四边形：两组对边分别平行的四边形 梯形：只有一组对边平行的四边形 2.特殊四边形的关系： 平行四边形包含长方形，长方形包含正方形 梯形包含等腰梯形和直角梯形 正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形 注意事项： 正方形、长方形、菱形都是特殊的平行四边形 等腰梯形和直角梯形都是特殊的梯形 平行四边形和梯形是两类不同的四边形，没有包含关系 判断四边形类型时，要根据定义和特征逐级判断 知识点七：平行四边形和梯形的高 定义：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高；从梯形上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 核心要点： 1. 平行四边形高的画法： 步骤：选择一个顶点→向对边引垂线→标出垂足→标注高 特点：平行四边形有无数条高，同一底上的高都相等 不同底对应的高：平行四边形有两组不同的底和对应的高 2. 梯形高的画法： 步骤：从上底任意一点→向下底引垂线→标出垂足→标注高 特点：梯形有无数条高，所有高的长度都相等 直角梯形的高：直角梯形中垂直于底的腰就是梯形的高 注意事项： 画高时必须使用直尺和三角尺，确保高与底垂直 高要用虚线表示，并标出垂直符号 平行四边形的底和高是一一对应的，不同的底对应不同的高 梯形的高是上底和下底之间的距离，与腰的长度无关 知识点八：易错点与辨析技巧 定义：总结平行四边形和梯形学习中常见的错误认识和判断技巧，帮助准确理解概念。 核心要点： 1. 常见易错点： 对"同一平面内"的条件忽略（异面直线不适用平行和垂直概念） 混淆平行四边形和梯形的区别（关键看对边平行的组数） 画高时未标注垂直符号或未用虚线表示 误认为梯形的腰一定比高长（直角梯形的腰等于高） 混淆平行四边形的底和腰 2. 辨析技巧： 平行四边形判断：两组对边分别平行且相等 梯形判断：只有一组对边平行 高的判断：必须垂直于底，用三角尺的直角边验证 四边形关系判断：从一般到特殊逐步分析 注意事项： 判断图形类型时，要依据定义而非直观感受 注意关键词："只有一组"、"两组"、"分别平行"等 画图时严格按照规范，使用工具确保准确性 多观察生活中的四边形实例，建立直观认识 易错点练习 易错点一：平行的特征与性质 例题：过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（    ）条。 A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】根据平行的性质：过直线外一点画已知直线的平行线，有且只有一条直线与已知直线平行；据此解答即可。 【详解】据分析可知： 过直线外一点画已知直线的平行线，可以画1条。 故答案为：B 【变式训练1】下面同一平面内的两条直线一定不相交的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】同一平面内两条直线的位置有两种：平行、相交，垂直是相交的一种特殊情况；将一条直线或两条直线向同一端或两端适当地延长，不相交即为平行线，据此解答。 【详解】 A．图中两条直线是互相平行关系。 B．图中两条直线是相交关系。 C．图中两条直线是相交关系。故答案为：A 【变式训练2】在下图中找出一组平行线，用实线画出来。 【答案】见详解 【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线叫另一条直线的平行线，据此解答即可。 【详解】如图： （答案不唯一） 【变式训练3】图中直线a、b互相平行，所以∠1＝∠2。( ) 【答案】√ 【分析】∠1与∠2的一条边互相平行，另一条边在同一条直线上，由此可知∠1与∠2的角两边的开口大小相同，所以∠1与∠2的大小相等。 【详解】图中直线a、b互相平行，所以∠1＝∠2，这句话说法正确。 故答案为：√ 易错点二：画平行线 例题：过A点画直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】把三角尺的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺到点A的位置，最后画出直线的平行线，据此解答。 【详解】如图所示： 【变式训练1】过点作已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点画已知直线的平行线：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】 【变式训练2】过直线外一点画这条直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移至与直线外的点重合，沿直角边画出另一条直线；据此作图。 【详解】根据分析如图： 【变式训练3】过点B画已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】 【点睛】熟练掌握平行线的画法是解答本题的关键。 易错点三：垂直的特征 例题：下图中从点A到线段BE的线段中，最短的一条是（    ）。 A．AB B．AD C．AE 【答案】B 【分析】根据垂直的性质：从直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短，据此解答即可。 【详解】据分析可得： 上图中从点A到线段BE的线段中，最短的一条是AD。 故答案为：B 【变式训练1】字母H有（    ）组平行线，有（    ）组垂线。 A．1，2 B．2，3 C．3，2 【答案】A 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫作垂足；据此解答即可。 【详解】字母H有1组平行线，有2组垂线。 故答案为：A 【变式训练2】把一张长方形纸对折两次，出现两条折痕，它们（    ）。 A．互相垂直 B．相交 C．互相平行 D．互相垂直或互相平行 【答案】D 【分析】长方形的对边互相平行且相等，四个角都是直角；同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；动手折一折再选择即可。 【详解】画图如下： 把一张长方形纸对折两次，出现两条折痕，它们互相垂直或互相平行。 故答案为：D 【变式训练3】下图是一个直角梯形。图中互相平行的线段是：（ 和 ），记作( )；互相垂直的是线段（ 和 ），记作( )。 【答案】 AD BC AD∥BC AB BC AB⊥BC 【分析】根据平行的概念同一平面内不相交的两条直线互相平行，平行四边形对边平行且相等； 根据垂直的概念两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。据此填空即可。 【详解】根据分析可知： 下图是一个直角梯形。图中互相平行的线段是：（AD和BC），记作AD∥BC；互相垂直的是线段（AB和BC），记作AB⊥BC。 易错点四：画垂线 例题：请在下图中画出从A点到线段BC的垂直线段。   【答案】见详解 【分析】把三角板的一直角边靠紧BC，沿这条线段BC滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过点A画BC的垂直线段。 【详解】如图所示： 【变式训练1】画出直线AB、射线BD、线段CD，过点C画直线AB的垂线。 【答案】见详解 【分析】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度。利用直角三角板的一条直角边与直线AB重合，让另一条直角边与C点重合，沿另一条直角边画直线即可，注意标垂足。 【详解】根据分析画图如下： 【变式训练2】按要求作图。 （1）过点P作已知直线的垂线。 （2）过点P作已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）利用三角板和直尺进行画图，把三角板的一条直角边与已知直线重合，确保三角板的另一条直角边经过点P，沿着经过点P的直角边，用直尺画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线； （2）把三角板的一条边与已知直线重合，此时三角板的另一条边会经过点P，保持三角板不动，沿着直线的方向平移三角板，直到三角板的另一条边经过点P，沿着经过点P的边，用直尺画一条直线，这条线就是已知直线的平行线。 【详解】 【变式训练3】过M点分别画出AB和AC垂线。 【答案】见详解 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此即可解答。 【详解】 易错点五：点到直线的距离 例题：菲菲站在A点的位置，请你分别画出她回家最近的路和她到公路边候车最近的路。 【答案】见详解 【分析】两点之间，线段距离最短，依此即可画出菲菲回家最近的路。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离（菲菲到公路边候车最近的路）。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 【变式训练1】（1）画一条从学校到加油站最近的路。 这样画的理由： （2）请你画一条从学校通向公路最近的路。 这样设计的理由： 【答案】（1）、（2）画法和理由见详解 【分析】（1）可以将加油站和学校看作两个点。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点的所有连线中，线段最短。 （2）从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。用三角板的一条直角边与已知直线（公路）重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和学校的点重合，过学校的点沿直角边向已知直线（公路）画直线即可。从直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。据此画出和说明。 【详解】（1）如图中的红线所示，（2）如图中的蓝线所示。 （1）理由：两点之间线段最短。 （2）理由：从直线外一点到这条直线所画的所有线中，垂直线段最短。 【变式训练2】小鸭在岸上走路比较吃力，却擅长游泳，它想到小鸡家玩，怎样走最省力？请在下图中把路线画出来。 【答案】 【分析】要解决小鸭到小鸡家怎样走最省力的问题，需结合小鸭的特点（岸上走路吃力、擅长游泳 ），利用几何中 “垂线段最短” 的原理。 【详解】 原理依据：因为小鸭在岸上走路吃力，所以要让小鸭在岸上走的路程尽可能短。在平面几何里，从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短 。 确定路线：把河的两岸看作两条直线，小鸭家看作直线（靠近小鸭家的河岸）外一点。从小鸭家向靠近它的河岸作垂线段，这是小鸭在岸上走的最短路程；然后小鸭游泳过河（沿垂直河岸方向，保证游泳路程相对合理，因题目未限制过河路径，利用擅长游泳的特点，走垂直河岸的直线段即可 ），上岸后，再从河岸（靠近小鸡家一侧）到小鸡家走直线（两点之间线段最短 ）。简单来说，就是从小鸭家作到靠近它的河岸的垂线段，过河后，再连接上岸点与小鸡家的线段，这样的路线能让小鸭岸上行走路程最短，结合擅长游泳，整体最省力。 【变式训练3】张磊要从大街边上把自来水管接到家，在图中画出最近的路线。为什么这样最近？ 【答案】见详解 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。过张磊家作大街的垂线，因此垂线段的位置，就是接水管的位置，垂线段最短，是最节省水管的，据此解答即可。 【详解】 答：直线外一点到这条直线的线段中，垂线段最短。 易错点六：平行四边形的概念及特点 例题：一个平行四边形的一组邻边的长度和是12厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】24 【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等，所以另一组邻边长度和也为12厘米，那么这个平行四边形的周长就等于一组邻边的长度和乘2，据此解答即可。 【详解】12×2＝24（厘米） 所以这个平行四边形的周长是24厘米。 【变式训练1】在图中找到一点D，使A、B、C、D构成一个平行四边行，这样的点一共有( )个。 【答案】3 【分析】平行四边形的特征：两组对边分别平行且等，据此以AB，BC为相邻两边，找到第四个点连接画出平行四边形；以AC，BC为相邻两边，找到第四个点连接画出平行四边形；以AB，AC为相邻两边，找到第四个点连接画出平行四边形；共3个。 【详解】如图： 在图中找到一点D，使A、B、C、D构成一个平行四边行，这样的点一共有3个。 【变式训练2】如图，将两张长12厘米、宽4厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。 【答案】 平行四边 4 【分析】 平行四边形的两组对边平行且相等；观察图形可知，重叠部分的四边形的四条边分别属于两个长方形的两条长的一部分，根据长方形的特征，可解答。过重叠部分图形的一个顶点作底边的垂线，如左图，可知重叠部分图形的高于长方形的宽相等；据此解答。 【详解】根据长方形的两组对边平且相等，可知重叠部分图形的有两组对边平行且相等，所以重叠部分是一个平行四边形；平行四边形的高等于长方形的宽，所以它的高是4厘米。 【变式训练3】小王和小张都分别用两根长10厘米和两根长6厘米的小棒摆一个平行四边形，他们摆的图形的( )不一定相等，但( )一定相等。（填“周长”或“面积”） 【答案】 面积 周长 【分析】由题意可知：小王和小张都用两根长10厘米和两根长6厘米的小棒摆一个平行四边形，根据周长的定义：围绕封闭图形一周的长度，小王和小张摆的这两个平行四边形的周长都等于这四根小棒的长度之和，所以他们摆的平行四边形的周长一定相等；平行四边形具有不稳定性，小王和小张摆的平行四边形的形状可能不同，因此面积可能不同，据此即可解答。 【详解】10×2＋6×2 ＝20＋6×2 ＝20＋12 ＝32（厘米） 小王和小张摆的平行四边形的周长都等于32厘米；而平行四边形具有不稳定性，小王和小张用同样的小棒摆的平行四边形的形状可能不同，面积也就不同。 小王和小张都分别用两根长10厘米和两根长6厘米的小棒摆一个平行四边形，他们摆的图形的面积不一定相等，但周长一定相等。 易错点七：平行四边形的高及画法 例题：画出下面平行四边形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。据此作图。 【详解】 【变式训练1】画出给定底边上的高。 【答案】图见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线。 【详解】如图： 【变式训练2】把一个长20厘米、宽15厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底是20厘米，高可能是（    ）厘米。 A．20 B．18 C．15 D．12 【答案】D 【分析】把长方形拉成平行四边形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽大于平行四边形的高，四个边的长度没变，平行四边形的高变短了，据此解答即可。 【详解】A．20＞15，大于长方形的宽，不符合题意； B．18＞15，大于长方形的宽，不符合题意； C．15＝15，等于长方形的宽，不符合题意； D．12＜15，小于长方形的宽，符合题意。 把一个长20厘米、宽15厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底是20厘米，高可能是12厘米。 故答案为：D 【变式训练3】画出平行四边形的一条高。 【答案】图见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线。 【详解】如图： （答案不唯一） 易错点八：平行四边形的不稳定性及应用 例题：下面说法中，错误的是（    ）。 A．正方形相邻的两条边互相垂直 B．平行四边形具有不稳定性 C．长方形是特殊的平行四边形 D．平行四边形的高都相等 【答案】D 【分析】A选项，正方形是一种四边形，其四条边长度相等且四个角都是直角，所以正方形相邻的两条边互相垂直； B选项，平行四边形的不稳定性是指当四边形的边长固定时，其形状和大小不能完全确定，因为平行四边形的夹角可以改变，从而形成无数个边长相同但夹角不同的平行四边形； C选项，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形有四条边，对边平行且相等，长方形是特殊的平行四边形； D选项，平行四边形不同底边上的高不一定相等，只有夹在两条平行线间的高相等。据此解答即可。 【详解】A．正方形相邻的两条边互相垂直。原题说法正确； B．平行四边形具有不稳定性。原题说法正确； C．长方形是特殊的平行四边形。原题说法正确； D．平行四边形不同底边上的高不一定相等。原题说法错误。 说法中，错误的是平行四边形的高都相等。 故答案为：D 【变式训练1】学校门口的伸缩门是利用了平行四边形（    ）的特点而制作的。 A．稳定性 B．容易变形 C．对边平行 D．对边相等 【答案】B 【分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 学校门口的伸缩门是利用了平行四边形容易变形的特点而制作的。 故答案为：B 【变式训练2】各类伸缩门的制作和机械式升降台等都利用了平行四边形( )的特性。（填“对边平行”“对边相等”或“容易变形”） 【答案】容易变形 【分析】平行四边形具有不稳定性，它容易变形。据此解答即可。 【详解】根据生活经验，各类伸缩门的制作和机械式升降台等都利用了平行四边形容易变形的特性。 【变式训练3】用两根4cm和两根6cm的小棒可以摆成( )个平行四边形，这说明平行四边形的特点是( )，例如生活中( )运用了这一特点。 【答案】 无数 不稳定性 伸缩门 【分析】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形相对的边相等并且平行，所以只要摆出对边相等且平行的四边形即可。平行四边形具有不稳定性、易变形的特点，所以平行四边形四条边的长度确定了，它的形状也依然不能确定；据此解答。 【详解】根据分析可知： 用两根4cm和两根6cm的小棒可以摆成无数个平行四边形，这说明平行四边形的特点是不稳定性，例如生活中伸缩门运用了这一特点。（后两空答案不唯一） 易错点九：画平行四边形 例题：画两个形状不同的平行四边形。 【答案】见详解 【分析】两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，据此画图即可。 【详解】 （答案不唯一） 【变式训练1】下图中相邻两个“点子”之间的距离是1厘米，请画出一个长4厘米，宽3厘米的长方形和一个底5厘米，高4厘米的平行四边形。 【答案】见详解 【分析】根据长方形对边相等，四个角都是直角的特征即可画出一个长4厘米，宽3厘米的长方形； 根据平行四边形的特征：平行四边形的对边平行且相等，依此特征可画出一个底为5厘米，高为4厘米的平行四边形（答案不唯一）；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。 【详解】 （答案不唯一） 【变式训练2】在下面的方格纸上画一个底是5厘米的平行四边形，并画出一条高。（每个小正方形的边长是1厘米） 【答案】见详解 【分析】在方格纸上先选取一条长度为5格（5厘米）的横线作为平行四边形的底边。在底边任意一端上方、并在水平方向左右错开适当距离，画出与底边平行且同样长度（5格）的一条线段，作为平行四边形的上边，将上下两端点分别连接，得到一个底为5厘米的平行四边形。从平行四边形的上边任意一个顶点向底边画一条垂线段，这条垂线段就是平行四边行的一条高。 【详解】 （答案不唯一） 【变式训练3】如图中A、B、C三个点分别是平行四边形的三个顶点，请找出平行四边形的第四个顶点D，点D的位置共有（    ）种情况，画出其中一个平行四边形，并画出它的一条高。 【答案】3；图见详解 【分析】两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，据此找出D点的可能位置情况；根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可。 【详解】点D的位置共有3种情况，如下图是其中一种情况： 一个平行四边形的高如下图所示： （答案不唯一） 易错点十：梯形的概念及特点 例题：在下面的梯形中画一条线段，可以把梯形分成一个三角形和一个（    ）。 A．三角形或梯形 B．平行四边形或三角形 C．梯形或三角形或平行四边形 【答案】C 【分析】只有一组对边分别平行的四边形是梯形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。过梯形左上角的顶点向底边画一条线段，使得这条线段与梯形右边的边平行，那么可以将这个梯形分成一个三角形与一个平行四边形。过梯形左上角的顶点向底边画一条线段，使得这条线段与梯形右边的边不平行，那么得到的两个图形是三角形与梯形。也可以将梯形正对的两个顶点相连，可以将梯形分为2个三角形，据此解答。 【详解】 可以把梯形分成一个三角形和一个梯形或者平行四边形、三角形。 故答案为：C 【变式训练1】两个完全一样的梯形一定可以拼成（    ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 【答案】B 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形，两个完全一样的梯形（形状和大小相同）进行拼接时，将其中一个梯形旋转180度后，使上底与下底拼接。此时，新图形的两组对边分别由梯形的上下底之和与腰组成，由于梯形上下底平行，拼接后新图形的两组对边分别平行，符合平行四边形的特征。 【详解】A．长方形是四个角都是直角的平行四边形。只有当两个完全一样的直角梯形拼接时，才能拼成一个长方形，普通梯形拼接后不能形成长方形； B．将其中一个梯形旋转180度后，使上底与下底拼接，此时两个梯形的上底与下底拼接后形成一组对边，另一组对边为梯形的腰。拼接后形成的图形两组对边分别平行，符合平行四边形的特征； C．梯形只有一组对边平行。两个完全一样的梯形拼接后，新图形有两组对边分别平行，不符合梯形的定义。 两个完全一样的梯形一定可以拼成平行四边形。 故答案为：B 【变式训练2】如图，在正方形的点子图上，找一点D，使ABCD是一个梯形。D点共有（    ）种不同的选法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据梯形的特征，梯形中有两边平行。以BC为底，即与BC平行的底有3种情况，以AB为底，即与AB平行的也有2种情况，这样一共有5种情况。 【详解】如图： D点共有5种不同的选法。 故答案为：D 【变式训练3】如图，在给定的正方形点子图上，找一点D（D在格点上），使ABCD成为梯形。那么符合条件的D点的位置有（    ）。 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据梯形的特征，梯形中有两边平行。抓住梯形中上、下底平行，两腰不平行这一特征。如下图：以AB为底，即与AB平行的底有3种情况，以BC为底，即与BC平行的也有2种情况，这样一共有5种情况。 【详解】根据分析可知： 在给定的正方形点子图上，找一点D（D在格点上），使ABCD成为梯形。那么符合条件的D点的位置有5个。 故答案为：A 易错点十一：梯形的高及画法 例题：画出下面梯形的高，并标出底和高。 【答案】图见详解 【分析】根据梯形的高是上底和下底之间的垂线段作图； 在梯形中，较短的平行边为上底，较长的平行边为下底；用三角板的一条直角边与梯形的上底重合，另一条直角边向梯形的下底作垂线，这条垂线段就是梯形的高；最后在图上分别标出上底、下底和高。 【详解】据以上分析作图。 【变式训练1】画出下面图形所给底边上的高。 【答案】见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角尺的直角板即可画出平行四边形的高； 在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高，习惯上作梯形的高时都从上底（较短的底）一个顶点出发作下底的垂线，用三角尺的直角板即可画出梯形的高。 【详解】 【变式训练2】下图中梯形的高是（    ）。 A．3厘米 B．5厘米 C．6厘米 【答案】A 【分析】从梯形上底的一点到它下底的垂线段叫做梯形的高。据此解答。 【详解】由图可知，梯形的高是3厘米。 故答案为：A 【变式训练3】如图，每个小方格的边长都是1厘米。 （1）在方格纸上画一个高为4厘米的梯形。 （2）在方格纸上画一个与所画梯形等高的平行四边形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。画一个高为4厘米的梯形，也就是上底和下底的距离是4个小方格，据此画图。 （2）两组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，据此画高是4厘米的平行四边形。 【详解】（1）所画梯形如图所示。 （2）所画平行四边形如图所示。 （答案不唯一） 易错点十二：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 例题：梯形只有一组对边( )，两腰相等的梯形叫作( )梯形，有一个角是( )的梯形叫作直角梯形。 【答案】 平行 等腰 直角 【分析】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条底边叫上底，另外两边叫腰，如果梯形的两腰相等，这样的梯形叫做等腰梯形，直角梯形是指有一个角是直角的梯形，据此解答即可。 【详解】梯形只有一组对边平行，两腰相等的梯形叫作等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。 【变式训练1】先在方格中画出一个高为3厘米的等腰梯形，再把它分成一个平行四边形和一个三角形。（注：每个小正方形的边长为1cm） 【答案】见详解 【分析】等腰梯形的一组对边平行，它的两条腰相等。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。画出的等腰梯形的高是3厘米即可。平行四边形的两组对边平行且相等。从梯形的上底的一个顶点，作它腰的平行线，这样就把等腰梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【详解】等腰梯形画法如下所示：（画法不唯一），分成一个平行四边形和一个三角形如图所示： 【变式训练2】有一块梯形土地（如下图），划分出一整块最大的正方形土地种白菜，剩下的土地用来培育萝卜苗。如果在萝卜苗地的一周围上篱笆，那么，至少需要多少米长的篱笆？ 【答案】24米 【分析】这块土地是一个直角梯形，这块梯形土地内最大的正方形的边长是这个梯形的高，种白菜地和萝卜苗地如图： 萝卜苗地是一个三角形，一条边是梯形的一条腰10米，另一条边是梯形的高8米，第三条边长（14－8）米。把三角形萝卜苗地的三条边长度相加，即可算出至少需要多少米长的篱笆。 【详解】14－8＝6（米） 10＋6＋8 ＝16＋8 ＝24（米） 答：至少需要24米长的篱笆。 【变式训练3】如图，将两个完全一样的等腰梯形拼成了一个平行四边形，周长比原来两个梯形的周长和减少了30cm，拼成的平行四边形的周长为96cm，则等腰梯形的上下底的和是( )cm。 【答案】33 【分析】等腰梯形的特征是两腰相等，它们拼成平行四边形后，共用的那两条腰不再计入外部周长，故平行四边形的周长比原周长和少了两腰的长是30cm，拼成平行四边形的周长＝2×（上底＋下底）＋两腰长，所以上底＋下底＝（平行四边形的周长－两腰长的和）÷2。 【详解】（96－30）÷2 ＝66÷2 ＝33（cm） 等腰梯形的上下底的和是33cm。 易错点十三：画梯形 例题：按要求作图。 （1）画一个下底是7厘米，高是3厘米的等腰梯形，并画出它的一条高。 （2）在等腰梯形中画一条线段，将它分成一个三角形和平行四边形。 【答案】见详解 【分析】（1）根据等腰梯形的特征：只有一组对边平行，而且另外两边相等的四边形是等腰梯形，据此借助格子纸，画一条7厘米的下底，左端点和右端点各多出上底2厘米，使左右对称，在梯形的上底上找一点，过这个点向下底作3厘米的垂线就是梯形的高，再连接剩下的两边即可画出等腰梯形。 （2）根据平行四边形特征：两组对边分别平行，那么从上底的一个右端点向下底画一条与左边平行的线段，将等腰梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。或者从上底的左端点同样画出一条与右边平行的线段。 【详解】（1）（2）如图： 【变式训练1】在下面的方格纸上按要求画图。（每个小方格的边长是1厘米）。 （1）画一个上底3厘米，下底6厘米，高4厘米的梯形，并标出信息。 （2）在梯形中画一条线段，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】见详解 【分析】（1）已知每个小方格的边长是1厘米，那么上底的长度就是3÷1＝3（条）小正方形的边长的长度，下底的长度就是6÷1＝6（条）小正方形的边长的长度，高为4÷1＝4（条）小正方形的边长的长度，梯形的定义是只有一组对边平行的四边形，先画一条3厘米的一条线，在距离其4厘米的下方画一条6厘米的线，将每端依次连接起来，即可画出此梯形。 （2）要想将梯形分成一个平行四边形和一个三角形，则过上底的一个顶点，作腰的平行线即可。 【详解】（1）（2）如图： （答案不唯一） 【变式训练2】在下面的方格纸中，画一个上底是3cm、下底是5cm、高是4cm的直角梯形，并在梯形内画一个最大的平行四边形。（每个小方格的边长都是1cm） 【答案】见详解 【分析】梯形的上底是3cm，即上底占3格，下底是5cm，即下底占5格，而高是4cm，即上底与下底之间间隔4格，因为是直角梯形，所以梯形的上底与下底左边的端点在同一条竖直的直线上，据此画出梯形的上底与下底，再把上底与下底左边的端点相连，右边的端点相连，即可得到符合要求的直角梯形。平行四边形的两组对边分别平行，且对边相等，据此可以在梯形的下底上，从右往左数3格，描出这个点，把这个点与上底左边的端点相连，即可得到一个最大平行四边形。 【详解】 【变式训练3】在点子图上画出一个平行四边形和一个梯形，并分别画出它们的一条高。 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形的特征，平行四形对边平行且相等，画两条距离为2厘米，长为3厘米的线段（同一端的端点不在同一列），然后即可连接成底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角尺的直角板即可画出平行四边形的高； 一组对边平行的四边形叫梯形，平行的一组对边较短的是上底，较长是下底，两底间的距离是梯形的高，画两条3厘米、5厘米的平行线段，距离为2厘米，然后即可连接成上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米的梯形；在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高，习惯上作梯形的高时都从上底（较短的底）一个顶点出发作下底的垂线，用三角尺的直角板即可画出梯形的高。 【详解】 易错点十四：数图形 例题：数一数，有几个平行四边形？ 【答案】6个 【分析】两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。单独的平行四边形没有，两个三角形组成的平行四边形有4个，三个三角形组成的平行四边形没有，四个三角形组成的平行四边形有2个，五个三角形组成的平行四边形没有；然后把个数相加即可解答。 【详解】根据分析可知： 4＋2＝6（个） 答：有6个平行四边形。 【变式训练1】如图中，我发现图中有（    ）个梯形。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】通过观察发现，单个的小梯形有3个，由相邻的两个图形组成的梯形有2个，由三个图形组成的梯形有1个，把所有的梯形个数加起来即可解答。 【详解】3＋2＋1＝6（个），所以图中有6个梯形。 故答案为：D 【变式训练2】下列图形中各有几个平行四边形？ ( )个               ( )个 【答案】 6 9 【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形是指一种四边形，其对边分别平行且相等。据此数出图中平行四边形，数的时候先从不是拼接的数起，然后数拼接而成的，不要漏数。 【详解】如图所示： 单个的有：①，②，③，共三个 两个的有：①②，②③，共两个 三个的有：①②③，共一个 所以一共6个 （2）如图所示： 单个的有：①，②，③，④，共四个 两个的有：①②，①③，②④，③④，共四个 四个的有：①②③④，共一个 所以一共9个 【变式训练3】如图所示，两个正方形的边长分别是3厘米和5厘米，图中共有( )个梯形，其中最大的梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 3 3 5 8 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；正方形的对边互相平行且相等，依此计算出梯形的个数；根据图示可知，最大梯形的上底等于小正方形的边长，下底等于大正方形的边长，高等于2个正方形的边长之和，依此解答。 【详解】单个的梯形有1个，由1个小正方形、1个小三角形组成的梯形有1个，由1个单个的梯形和1个小正方形、1个小三角形组成的梯形有1个，因此图中共有3个梯形。 5＋3＝8（厘米） 其中最大的梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，高是8厘米。 拔尖训练 1．下面四个图形中，既有互相平行的线段又有互相垂直的线段的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答即可。 【详解】A．中只有相互垂直的线段，没有相互平行的线段，不符合题意； B．中既有相互垂直的线段，又有相互平行的线段，符合题意； C．中只有相互平行的线段，没有相互垂直的线段，不符合题意； D．中只有相互平行的线段，没有相互垂直的线段，不符合题意。 故答案为：B 2．实验小学开展“中国文化·趣味剪纸”活动。小丽剪了一个下底是8厘米的直角梯形，如果将这个梯形的下底减少3厘米，它就变成了正方形，原来直角梯形的高是（    ）厘米。 A．5 B．13 C．10 D．26 【答案】A 【分析】由题意得，一个下底是8厘米的直角梯形，将这个梯形的下底减少3厘米，8－3＝5（厘米），下底就变为了5厘米，这个直角梯形就变成了正方形。正方形的四条边的长度相等，所以直角梯形的高也等于5厘米。 【详解】由分析得，直角梯形的高是5厘米。 故答案为：A 3．把一个长是8厘米，宽是6厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（    ）厘米。 A．14 B．48 C．28 D．26 【答案】C 【分析】长方形和平行四边形的周长都是四条边的长度和，把长方形拉成平行四边形，四个边的长度没变，则其周长不变，用长×2＋宽×2即可求解。 【详解】8×2＋6×2 ＝16＋12 ＝28（厘米） 把一个长是8厘米，宽是6厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是28厘米。 故答案为：C 4．在荔波小七孔景区内，从翠谷瀑布到鸳鸯湖边有4条路线（如图），（    ）路线最近。 A．AB B．AC C．AD D．AE 【答案】B 【分析】直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短，据此选择即可。 【详解】A．路线AB没有垂直于鸳鸯湖，不是最近路线； B．路线AC垂直于鸳鸯湖，是最近路线； C．路线AD没有垂直于鸳鸯湖，不是最近路线； D．路线AE没有垂直于鸳鸯湖，不是最近路线。 AC路线最近。 故答案为：B 5．如下图所示，5个图形按是否含有直角分类，可以将图①④⑤分为一类，图②③分为一类。如果按（    ）分类，可以将图①③④分为一类，图②⑤分为一类。 A．是否有边相等 B．对边是否平行 C．边的数量是否相等 D．邻边是否互相垂直 【答案】B 【分析】按照不同的分类标准，分得的结果不相同。图形的分类方法有很多种，可以按边的条数分类，也可以按是否是轴对称图形分类，也可以按是否有直角分类等等。 【详解】A．按照是否有边相等，①④为一类，②③⑤为一类，与题意不相符； B．按照对边是否平行，②⑤分为一类，①③④分为一类，与题意相符； C．按照边的数量是否相等，①③分为一类，②④⑤分为一类，与题意不相符； D．按照领边是否互相垂直，①④⑤分为一类，②③分为一类，与题意不相符。 故答案为：B 6．如图，平行四边形相邻两边的和是15厘米。如果捏住平行四边形的一组对角把它拉成长方形后，长方形的周长是( )厘米。 【答案】30 【分析】根据题意，平行四边形的对边平行且相等。捏住平行四边形的一组对角把它拉成长方形后，长方形的长和宽就是10厘米和5厘米。长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入即可计算出周长。 【详解】（10＋5）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 所以，长方形的周长是30厘米。 7．有一条笔直宽6米的小路，要穿过一条笔直20米的公路，这两条公路的交叉口路面交汇部分形成的图形是( )或( )。 【答案】 长方形 平行四边形 【分析】长方形有四条边，四个角都是直角。平行四边形是两组对边分别平行的四边形，平行四边形的两组对边，两组对角分别相等。因为一条笔直的宽6米的小路，要穿过一条笔直的20米的公路，说明这两条路形成的角可能是直角，可能不是，当是直角时，形成的图形是长方形，当不是直角时，形成的图形是平行四边形。 【详解】一条笔直的宽6米的小路，要穿过一条笔直的20米的公路，这两条路的交叉口路面交汇部分形成的图形是长方形或平行四边形。 8．写出下图中你学过的图形。（只写一个） 三角形( )，长方形( )，正方形( )，平行四边形( )，梯形( )。 【答案】 AGF ACEG ABFG AFDC AGDC 【分析】三角形是由三条线段首尾顺次相连所围成的封闭图形，两组都对边相等且四个角都是直角的四边形是长方形，四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形，两组对边分别平行的四边形是平行四边行，只有一组对边平行的四边形是梯形，据此找出相应图形。 【详解】根据定义找出三角形有AGF；长方形ACEG；正方形ABFG；平行四边形AFDC；梯形AGDC。（答案不唯一） 9．下图，，∠1＝130°，则∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 130 50 50 【分析】∠1和∠3组成平角，平角的度数为180°，那么∠3就等于180°减去∠1，a∥b，则∠2＝∠1，所以∠2等于130°，∠2和∠4组成平角，那么∠4就等于180°减去∠2，据此解答即可。 【详解】∠3＝180°－∠1＝180°－130°＝50° ∠2＝∠1＝130° ∠4＝180°－∠2＝180°－130°＝50° 10．平行四边形的高有( )条。一个平行四边形的两条边分别长12厘米、9厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】 无数 42 【分析】从平行四边形的一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫平行四边形的高，平行四边形的高有无数条。平行四边形的周长就是四条边长的总和，因为平行四边形的对边相等，用12加9的和，再乘2，就是这个平行四边形的周长。据此解答即可。 【详解】（12＋9）×2 ＝21×2 ＝42（厘米） 平行四边形的高有无数条。它的周长是42厘米。 11．如图，正方形ABED的边长4厘米，长方形EGFC的长为4厘米，宽为3厘米，平行四边形BEFC的高为( )厘米。 【答案】3 【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底。据此解答。 【详解】由图可知，在平行四边形BEFC中，可以从C点出发向BE边作垂线，那么CE就是平行四边形的高。CE也是长方形EGFC的宽，所以CE＝3厘米。 故四边形BEFC的高为3厘米。 12．一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，一条腰长8厘米，这个等腰梯形的周长是( )厘米。 【答案】34 【分析】等腰梯形的周长就是它四条边长度的总和，已知上底、下底以及腰长，将各边长度相加即可得出周长。已知上底是6厘米，下底是12厘米，腰长8厘米，且等腰梯形两腰相等，据此解答即可。 【详解】6＋12＋8＋8＝34（厘米） 所以这个等腰梯形的周长是34厘米。 13．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长12厘米，就成为一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 6 18 【分析】 梯形上下底平行，平行四边形两组对边分别平行且相等；如图所示，下底是上底的3倍，相当于把下底平均分成3份，上底占其中的1份，如果将上底延长12厘米，就成为一个平行四边形，说明其中的2份就是12厘米，用12÷2计算出1份是多少，也就是上底的长度，然后再乘3即为下底的长度。 【详解】12÷2＝6（厘米） 6×3＝18（厘米） 一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长12厘米，就成为一个平行四边形。这个梯形的上底是6厘米，下底是18厘米。 14．计算出下列图形的周长。 【答案】36厘米；38厘米 【分析】三角形的周长等于三条边的长度和，平行四边形的周长等于相邻两条边的长度和的2倍。据此解答。 【详解】12＋15＋9＝36（厘米），则三角形的周长是36厘米。 （13＋6）×2 ＝19×2 ＝38（厘米） 则平行四边形的周长是38厘米。 15．计算下面图形的周长。    （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）38米；（2）32分米 （3）58厘米；（4）48厘米 【分析】（1）已知长方形的长与宽，要求长方形的周长，根据公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此列式解答； （2）已知正方形的边长，要求正方形的周长，用公式：正方形的周长＝正方形的边长×4，据此列式解答； （3）已知梯形各边的长度，要求梯形的周长，将各边的长度相加即可； （4）根据题意可知，利用平移的方法，可以将此图形的周长转化成一个长方形的周长＋两条4厘米的线段长度，据此列式解答。 【详解】（1）（12＋7）×2 ＝19×2 ＝38（米） （2）8×4＝32（分米） （3）11＋12＋15＋20＝58（厘米） （4）（8＋12）×2＋4×2 ＝20×2＋8 ＝40＋8 ＝48（厘米） 16．画出下面平行四边形指定底边上的高，并标注垂直符号。 【答案】见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。 【详解】 如图： 17．过点A分别画BC的平行线和垂线         【答案】见详解 【分析】把三角板的一条直角边与BC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点A位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线即可； 把三角板的一条直角边与BC重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边过点A，沿三角板的直角边向BC画直线即可。 【详解】根据分析作图如下： 18．每年的11月15日是城市公共安全日，希望小学做了一块等腰梯形的宣传牌，它的周长是220厘米，上底长50厘米，下底长80厘米。这块宣传牌的一条腰长是多少厘米？ 【答案】45厘米 【分析】两腰相等的梯形是等腰梯形。这块等腰梯形宣传牌的周长减去上底和下底，再除以2，即可算出这块宣传牌的一条腰长是多少厘米。 【详解】（220－50－80）÷2 ＝（170－80）÷2 ＝90÷2 ＝45（厘米） 答：这块宣传牌的一条腰长是45厘米。 19．用一张长方形纸片和一张梯形纸片摆成如图所示的形状，重叠部分是什么图形呢？请在图中勾涂出这个图形，并说明理由。 【答案】梯形；见详解 【分析】根据图示，结合长方形和梯形的特征可知，重叠部分的图形是四边形，长方形的两组对边分别平行，梯形的两腰不平行，所以重叠部分的四边形只有一组对边平行，符合梯形的定义，据此解答即可。 【详解】如图： 重叠部分是梯形。因为重叠部分的图形是四边形，长方形的两组对边分别平行，梯形的两腰不平行，所以重叠部分的四边形只有一组对边平行，所以重叠部分是梯形。 20．平行四边形相邻的两条边分别是2厘米和3厘米，用4个这样的平行四边形拼成更大的平行四边形，周长最长是多少？最短是多少？ 【答案】28厘米；20厘米 【分析】要想拼成的平行四边形的周长最长，应将4个平行四边形的短边拼接起来，拼成一排，此时大平行四边形的一条边是（4×3）厘米，邻边是2厘米，周长是（4×3＋2）×2厘米。 要想拼成的平行四边形的周长最短，应将4个平行四边形拼成2行2列，每行的2个平行四边形的短边相接，每列的2个平行四边形的长边相接，此时大平行四边形的一条边是（3×2）厘米，邻边是（2×2）厘米，周长是（3×2＋2×2）×2厘米。 【详解】（4×3＋2）×2 ＝（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） （3×2＋2×2）×2 ＝（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 答：周长最长是28厘米，最短是20厘米。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05：平行四边形和梯形 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：平行与垂直的认识 2 知识点二：垂线的画法 2 知识点三：平行线的画法 3 知识点四：平行四边形的特征 4 知识点五：梯形的特征 4 知识点六：四边形之间的关系 5 知识点七：平行四边形和梯形的高 6 知识点八：易错点与辨析技巧 6 易错点练习 7 易错点一：平行的特征与性质 7 易错点二：画平行线 8 易错点三：垂直的特征 8 易错点四：画垂线 9 易错点五：点到直线的距离 10 易错点六：平行四边形的概念及特点 11 易错点七：平行四边形的高及画法 12 易错点八：平行四边形的不稳定性及应用 13 易错点九：画平行四边形 13 易错点十：梯形的概念及特点 14 易错点十一：梯形的高及画法 15 易错点十二：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 16 易错点十三：画梯形 17 易错点十四：数图形 19 拔尖训练 20 知识梳理 知识点一：平行与垂直的认识 定义：在同一平面内，两条直线的位置关系分为相交和不相交两种，其中相交成直角时称为垂直，不相交时称为平行。 核心要点： 1.平行线： 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行 表示方法：直线a与直线b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b 生活实例：铁轨、双杠、黑板对边 2.垂线： 定义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足 表示方法：直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b 生活实例：墙角、课本相邻两边、十字路 注意事项： "同一平面内"是判断平行与垂直的前提条件（异面直线不适用） 平行线具有"永不相交"的特性，无论延长多远都不会相交 垂直是相交的特殊情况，必须满足相交角为90° 知识点二：垂线的画法 定义：使用直尺和三角尺规范绘制垂线的方法，包括过直线上一点画垂线和过直线外一点画垂线。 核心要点： 1.过直线上一点画垂线步骤： 第一步：把三角尺的一条直角边与已知直线重合 第二步：沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合 第三步：从直角顶点起，沿着另一条直角边画出一条直线 第四步：标出垂直符号"⊥" 2.过直线外一点画垂线步骤： 第一步：把三角尺的一条直角边与已知直线重合 第二步：沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边通过直线外的已知点 第三步：沿着这条直角边画出一条直线 第四步：标出垂直符号"⊥" 注意事项： 画垂线时必须使用直尺和三角尺，确保图形规范 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线画好后必须标出垂直符号"⊥" 画完后检查：三角尺的直角边是否与直线完全重合，所画直线是否通过已知点 知识点三：平行线的画法 定义：使用直尺和三角尺绘制平行线的规范方法，包括画已知直线的平行线和过直线外一点画已知直线的平行线。 核心要点： 1.画已知直线的平行线步骤： 第一步：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺 第三步：平移三角尺到合适位置 第四步：沿第一步中的直角边画出另一条直线 2.过直线外一点画平行线步骤： 第一步：把三角尺的一条直角边与已知直线重合 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺 第三步：平移三角尺，使与已知直线重合的直角边通过直线外的已知点 第四步：沿这条直角边画出一条直线 注意事项： 画平行线时必须保证直尺固定，三角尺平移 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 平行线间的距离处处相等 可利用画垂线的方法检验平行线（平行线间的垂线段长度相等） 知识点四：平行四边形的特征 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，具有对边平行且相等、对角相等的特性。 核心要点： 1.基本特征： 两组对边分别平行（定义属性） 两组对边分别相等（性质定理） 两组对角分别相等（∠A=∠C，∠B=∠D） 邻角互补（∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°） 2.特殊性质： 具有不稳定性（易变形） 对角线互相平分 过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成两个完全相同的部分 3.各部分名称： 底：平行四边形的任意一条边都可以作为底 高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高 注意事项： 平行四边形必须满足"两组对边分别平行"，仅有一组对边平行的不是平行四边形 长方形和正方形是特殊的平行四边形 平行四边形有无数条高，同一底边上的高长度相等 平行四边形的底和高必须是对应的（高垂直于底） 知识点五：梯形的特征 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰。 核心要点： 1.基本特征： 只有一组对边平行（上底和下底） 另一组对边不平行（腰） 梯形的上底和下底互相平行 2.特殊梯形： 等腰梯形：两腰相等的梯形，特点是同一底上的两个角相等 直角梯形：有一个角是直角的梯形，特点是有一条腰垂直于两底 3.各部分名称： 上底：梯形中较短的平行边 下底：梯形中较长的平行边 腰：不平行的两边 高：从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高 注意事项： 梯形必须满足"只有一组对边平行"，两组对边都平行的是平行四边形 梯形有无数条高，所有高的长度都相等 等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴 直角梯形中有两个直角，且垂直于底的那条腰就是梯形的高 知识点六：四边形之间的关系 定义：由四条线段首尾相连围成的封闭图形统称为四边形，不同类型的四边形根据其特征存在包含关系。 核心要点： 1.四边形的分类： 一般四边形：两组对边都不平行的四边形 平行四边形：两组对边分别平行的四边形 梯形：只有一组对边平行的四边形 2.特殊四边形的关系： 平行四边形包含长方形，长方形包含正方形 梯形包含等腰梯形和直角梯形 正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形 注意事项： 正方形、长方形、菱形都是特殊的平行四边形 等腰梯形和直角梯形都是特殊的梯形 平行四边形和梯形是两类不同的四边形，没有包含关系 判断四边形类型时，要根据定义和特征逐级判断 知识点七：平行四边形和梯形的高 定义：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高；从梯形上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 核心要点： 1. 平行四边形高的画法： 步骤：选择一个顶点→向对边引垂线→标出垂足→标注高 特点：平行四边形有无数条高，同一底上的高都相等 不同底对应的高：平行四边形有两组不同的底和对应的高 2. 梯形高的画法： 步骤：从上底任意一点→向下底引垂线→标出垂足→标注高 特点：梯形有无数条高，所有高的长度都相等 直角梯形的高：直角梯形中垂直于底的腰就是梯形的高 注意事项： 画高时必须使用直尺和三角尺，确保高与底垂直 高要用虚线表示，并标出垂直符号 平行四边形的底和高是一一对应的，不同的底对应不同的高 梯形的高是上底和下底之间的距离，与腰的长度无关 知识点八：易错点与辨析技巧 定义：总结平行四边形和梯形学习中常见的错误认识和判断技巧，帮助准确理解概念。 核心要点： 1. 常见易错点： 对"同一平面内"的条件忽略（异面直线不适用平行和垂直概念） 混淆平行四边形和梯形的区别（关键看对边平行的组数） 画高时未标注垂直符号或未用虚线表示 误认为梯形的腰一定比高长（直角梯形的腰等于高） 混淆平行四边形的底和腰 2. 辨析技巧： 平行四边形判断：两组对边分别平行且相等 梯形判断：只有一组对边平行 高的判断：必须垂直于底，用三角尺的直角边验证 四边形关系判断：从一般到特殊逐步分析 注意事项： 判断图形类型时，要依据定义而非直观感受 注意关键词："只有一组"、"两组"、"分别平行"等 画图时严格按照规范，使用工具确保准确性 多观察生活中的四边形实例，建立直观认识 易错点练习 易错点一：平行的特征与性质 例题：过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（    ）条。 A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式训练1】下面同一平面内的两条直线一定不相交的是（    ）。 A．B． C． 【变式训练2】在下图中找出一组平行线，用实线画出来。 【变式训练3】图中直线a、b互相平行，所以∠1＝∠2。( ) 易错点二：画平行线 例题：过A点画直线b的平行线。 【变式训练1】过点作已知直线的平行线。 【变式训练2】过直线外一点画这条直线的平行线。 【变式训练3】过点B画已知直线的平行线。 易错点三：垂直的特征 例题：下图中从点A到线段BE的线段中，最短的一条是（    ）。 A．AB B．AD C．AE 【变式训练1】字母H有（    ）组平行线，有（    ）组垂线。 A．1，2 B．2，3 C．3，2 【变式训练2】把一张长方形纸对折两次，出现两条折痕，它们（    ）。 A．互相垂直 B．相交 C．互相平行 D．互相垂直或互相平行 【变式训练3】下图是一个直角梯形。图中互相平行的线段是：（ 和 ），记作( )；互相垂直的是线段（ 和 ），记作( )。 易错点四：画垂线 例题：请在下图中画出从A点到线段BC的垂直线段。   【变式训练1】画出直线AB、射线BD、线段CD，过点C画直线AB的垂线。 【变式训练2】按要求作图。 （1）过点P作已知直线的垂线。 （2）过点P作已知直线的平行线。 【变式训练3】过M点分别画出AB和AC垂线。 易错点五：点到直线的距离 例题：菲菲站在A点的位置，请你分别画出她回家最近的路和她到公路边候车最近的路。 【变式训练1】（1）画一条从学校到加油站最近的路。 这样画的理由： （2）请你画一条从学校通向公路最近的路。 这样设计的理由： 【变式训练2】小鸭在岸上走路比较吃力，却擅长游泳，它想到小鸡家玩，怎样走最省力？请在下图中把路线画出来。 【变式训练3】张磊要从大街边上把自来水管接到家，在图中画出最近的路线。为什么这样最近？ 易错点六：平行四边形的概念及特点 例题：一个平行四边形的一组邻边的长度和是12厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。 【变式训练1】在图中找到一点D，使A、B、C、D构成一个平行四边行，这样的点一共有( )个。 【变式训练2】如图，将两张长12厘米、宽4厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。 【变式训练3】小王和小张都分别用两根长10厘米和两根长6厘米的小棒摆一个平行四边形，他们摆的图形的( )不一定相等，但( )一定相等。（填“周长”或“面积”） 易错点七：平行四边形的高及画法 例题：画出下面平行四边形指定底边上的高。 【变式训练1】画出给定底边上的高。 【变式训练2】把一个长20厘米、宽15厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底是20厘米，高可能是（    ）厘米。 A．20 B．18 C．15 D．12 【变式训练3】画出平行四边形的一条高。 易错点八：平行四边形的不稳定性及应用 例题：下面说法中，错误的是（    ）。 A．正方形相邻的两条边互相垂直 B．平行四边形具有不稳定性 C．长方形是特殊的平行四边形 D．平行四边形的高都相等 【变式训练1】学校门口的伸缩门是利用了平行四边形（    ）的特点而制作的。 A．稳定性 B．容易变形 C．对边平行 D．对边相等 【变式训练2】各类伸缩门的制作和机械式升降台等都利用了平行四边形( )的特性。（填“对边平行”“对边相等”或“容易变形”） 【变式训练3】用两根4cm和两根6cm的小棒可以摆成( )个平行四边形，这说明平行四边形的特点是( )，例如生活中( )运用了这一特点。 易错点九：画平行四边形 例题：画两个形状不同的平行四边形。 【变式训练1】下图中相邻两个“点子”之间的距离是1厘米，请画出一个长4厘米，宽3厘米的长方形和一个底5厘米，高4厘米的平行四边形。 【变式训练2】在下面的方格纸上画一个底是5厘米的平行四边形，并画出一条高。（每个小正方形的边长是1厘米） 【变式训练3】如图中A、B、C三个点分别是平行四边形的三个顶点，请找出平行四边形的第四个顶点D，点D的位置共有（    ）种情况，画出其中一个平行四边形，并画出它的一条高。 易错点十：梯形的概念及特点 例题：在下面的梯形中画一条线段，可以把梯形分成一个三角形和一个（    ）。 A．三角形或梯形 B．平行四边形或三角形 C．梯形或三角形或平行四边形 【变式训练1】两个完全一样的梯形一定可以拼成（    ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 【变式训练2】如图，在正方形的点子图上，找一点D，使ABCD是一个梯形。D点共有（    ）种不同的选法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练3】如图，在给定的正方形点子图上，找一点D（D在格点上），使ABCD成为梯形。那么符合条件的D点的位置有（    ）。 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 易错点十一：梯形的高及画法 例题：画出下面梯形的高，并标出底和高。 【变式训练1】画出下面图形所给底边上的高。 【变式训练2】下图中梯形的高是（    ）。 A．3厘米 B．5厘米 C．6厘米 【变式训练3】如图，每个小方格的边长都是1厘米。 （1）在方格纸上画一个高为4厘米的梯形。 （2）在方格纸上画一个与所画梯形等高的平行四边形。 易错点十二：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 例题：梯形只有一组对边( )，两腰相等的梯形叫作( )梯形，有一个角是( )的梯形叫作直角梯形。 【变式训练1】先在方格中画出一个高为3厘米的等腰梯形，再把它分成一个平行四边形和一个三角形。（注：每个小正方形的边长为1cm） 【变式训练2】有一块梯形土地（如下图），划分出一整块最大的正方形土地种白菜，剩下的土地用来培育萝卜苗。如果在萝卜苗地的一周围上篱笆，那么，至少需要多少米长的篱笆？ 【变式训练3】如图，将两个完全一样的等腰梯形拼成了一个平行四边形，周长比原来两个梯形的周长和减少了30cm，拼成的平行四边形的周长为96cm，则等腰梯形的上下底的和是( )cm。 易错点十三：画梯形 例题：按要求作图。 （1）画一个下底是7厘米，高是3厘米的等腰梯形，并画出它的一条高。 （2）在等腰梯形中画一条线段，将它分成一个三角形和平行四边形。 【变式训练1】在下面的方格纸上按要求画图。（每个小方格的边长是1厘米）。 （1）画一个上底3厘米，下底6厘米，高4厘米的梯形，并标出信息。 （2）在梯形中画一条线段，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【变式训练2】在下面的方格纸中，画一个上底是3cm、下底是5cm、高是4cm的直角梯形，并在梯形内画一个最大的平行四边形。（每个小方格的边长都是1cm） 【变式训练3】在点子图上画出一个平行四边形和一个梯形，并分别画出它们的一条高。 易错点十四：数图形 例题：数一数，有几个平行四边形？ 【变式训练1】如图中，我发现图中有（    ）个梯形。 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】下列图形中各有几个平行四边形？ ( )个               ( )个 【变式训练3】如图所示，两个正方形的边长分别是3厘米和5厘米，图中共有( )个梯形，其中最大的梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 拔尖训练 1．下面四个图形中，既有互相平行的线段又有互相垂直的线段的是（    ）。 A． B． C． D． 2．实验小学开展“中国文化·趣味剪纸”活动。小丽剪了一个下底是8厘米的直角梯形，如果将这个梯形的下底减少3厘米，它就变成了正方形，原来直角梯形的高是（    ）厘米。 A．5 B．13 C．10 D．26 3．把一个长是8厘米，宽是6厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（    ）厘米。 A．14 B．48 C．28 D．26 4．在荔波小七孔景区内，从翠谷瀑布到鸳鸯湖边有4条路线（如图），（    ）路线最近。 A．AB B．AC C．AD D．AE 5．如下图所示，5个图形按是否含有直角分类，可以将图①④⑤分为一类，图②③分为一类。如果按（    ）分类，可以将图①③④分为一类，图②⑤分为一类。 A．是否有边相等 B．对边是否平行 C．边的数量是否相等 D．邻边是否互相垂直 6．如图，平行四边形相邻两边的和是15厘米。如果捏住平行四边形的一组对角把它拉成长方形后，长方形的周长是( )厘米。 7．有一条笔直宽6米的小路，要穿过一条笔直20米的公路，这两条公路的交叉口路面交汇部分形成的图形是( )或( )。 8．写出下图中你学过的图形。（只写一个） 三角形( )，长方形( )，正方形( )，平行四边形( )，梯形( )。 9．下图，，∠1＝130°，则∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 10．平行四边形的高有( )条。一个平行四边形的两条边分别长12厘米、9厘米，它的周长是( )厘米。 11．如图，正方形ABED的边长4厘米，长方形EGFC的长为4厘米，宽为3厘米，平行四边形BEFC的高为( )厘米。 12．一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，一条腰长8厘米，这个等腰梯形的周长是( )厘米。 13．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长12厘米，就成为一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 14．计算出下列图形的周长。 15．计算下面图形的周长。    （1） （2） （3） （4） 16．画出下面平行四边形指定底边上的高，并标注垂直符号。 17．过点A分别画BC的平行线和垂线         18．每年的11月15日是城市公共安全日，希望小学做了一块等腰梯形的宣传牌，它的周长是220厘米，上底长50厘米，下底长80厘米。这块宣传牌的一条腰长是多少厘米？ 19．用一张长方形纸片和一张梯形纸片摆成如图所示的形状，重叠部分是什么图形呢？请在图中勾涂出这个图形，并说明理由。 20．平行四边形相邻的两条边分别是2厘米和3厘米，用4个这样的平行四边形拼成更大的平行四边形，周长最长是多少？最短是多少？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $