期末复习07：植树问题（知识梳理+4个易错点练习+拔尖训练 ）-五年级数学上学期易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理植树问题知识体系，涵盖两端都栽、两端不栽、只栽一端、封闭图形四类基础题型及变式应用，以定义、核心公式、推导过程、图示和注意事项构建完整脉络，突出间隔数与棵数关系等重难点，培养学生抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，易错点练习分四类题型配例题及变式训练，如锯木头问题强化模型意识，拔尖训练提升推理能力。通过画图法直观理解关系，公式逆用培养运算能力，助力不同学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

期末复习07：植树问题 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一：两端都栽的植树问题 1 知识点二：两端不栽的植树问题 2 知识点三：只栽一端的植树问题 3 知识点四：封闭图形的植树问题 3 知识点五：植树问题的变式应用 4 知识点六：易错点与培优技巧 4 易错点练习 5 易错点一：两端都栽的植树问题 5 易错点二：两端都不栽的植树问题 7 易错点三：一端栽一端不栽的植树问题 8 易错点四：封闭图形上的植树问题 9 拔尖训练 11 知识梳理 知识点一：两端都栽的植树问题 定义：在直线型路线上植树，两端都要栽树的问题。 核心公式： 棵数 = 间隔数 + 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 总长度 = 间隔长度 × 间隔数 公式推导： 假设在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，两端都栽。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5 + 1 = 6（棵） 图示：（树用"△"表示，间隔用"—"表示） △—△—△—△—△—△（共6棵树，5个间隔） 注意事项： 1.区分"总长度"与"间隔数"，间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度。 2.计算时先求间隔数，再根据"两端都栽"加1。 示例： 在一条20米长的小路两侧栽树，每隔4米栽一棵，两端都栽，共需栽多少棵树？ 单侧间隔数 = 20 ÷ 4 = 5（个） 单侧棵数 = 5 + 1 = 6（棵） 两侧总棵数 = 6 × 2 = 12（棵） 知识点二：两端不栽的植树问题 定义：在直线型路线上植树，两端都不栽树的问题（如道路两侧安装路灯，两端不装）。 核心公式： 棵数 = 间隔数 - 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 公式推导： 在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，两端不栽。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5 - 1 = 4（棵） 图示：—△—△—△—△—（共4棵树，5个间隔） 注意事项： 1.与"两端都栽"对比，避免混淆"加1"和"减1"。 2.常见场景：锯木头（次数=段数-1）、爬楼梯（楼层间隔数=楼层数-1）。 示例： 一根木头长15米，要锯成每段3米的小段，需要锯几次？ 段数（间隔数）= 15 ÷ 3 = 5（段） 次数（棵数）= 5 - 1 = 4（次） 知识点三：只栽一端的植树问题 定义：在直线型路线上植树，只在一端栽树（另一端不栽）。 核心公式： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 公式推导： 在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，只栽左端。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5（棵） 图示：△—△—△—△—△（共5棵树，5个间隔） 注意事项： 常见场景：一端靠墙植树、圆形池塘边植树（封闭图形可看作"只栽一端"的特殊情况）。 示例： 一个长方形操场长100米，在长边一侧栽树，从起点开始每隔10米栽一棵，终点不栽，共栽多少棵？ 间隔数 = 100 ÷ 10 = 10（个） 棵数 = 10（棵） 知识点四：封闭图形的植树问题 定义：在封闭图形（如圆形、正方形、三角形）上植树，首尾相接，无起点和终点之分。 核心公式： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 封闭图形周长 ÷ 间隔长度 公式推导： 在周长20米的圆形花坛边植树，每4米栽一棵。 间隔数 = 20 ÷ 4 = 5（个） 棵数 = 5（棵） 图示：△—△—△—△—△（首尾相连，5棵树，5个间隔） 注意事项： 1.封闭图形的"总长度"即周长。 2.与"只栽一端"结论相同，但需注意区分直线型和封闭型的场景描述。 示例： 一个正方形池塘，边长20米，沿池塘边每隔5米栽一棵树，共栽多少棵？ 周长 = 20 × 4 = 80（米） 间隔数 = 80 ÷ 5 = 16（个） 棵数 = 16（棵） 知识点五：植树问题的变式应用 常见类型： 1.锯木头问题：次数 = 段数 - 1（段数=总长度÷每段长度） 2.爬楼梯问题：楼层间隔数 = 到达楼层 - 起始楼层（如从1楼到5楼，间隔数=5-1=4） 3.敲钟问题：间隔数 = 敲钟次数 - 1（如敲6下，间隔数=5，时间=间隔数×每个间隔时长） 示例： 一根木头锯成4段需要6分钟，锯成7段需要几分钟？ 解：锯4段需3次，每次用时6 ÷ 3 = 2（分钟）；锯7段需6次，总时间=6 × 2 = 12（分钟）。 从1楼走到3楼需12秒，照这样速度，从1楼走到6楼需几秒？ 解：1楼到3楼间隔数=2，每层用时12 ÷ 2 = 6（秒）；1楼到6楼间隔数=5，总时间=5 × 6 = 30（秒）。 知识点六：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.混淆公式：两端栽树"加1"与两端不栽"减1"混淆（如将"两端不栽"的棵数误算为间隔数+1）。 2.单位换算错误：总长度单位与间隔长度单位不统一（如总长度用"米"，间隔长度用"厘米"）。 3.封闭图形与直线型混淆：误将封闭图形的棵数计算为"间隔数+1"。 培优技巧： 1.画图法：通过画简单示意图（如用"△"表示树，"—"表示间隔）直观理解棵数与间隔数关系。 2.公式逆用：已知棵数求总长度或间隔长度（如：棵数=间隔数+1 → 间隔数=棵数-1 → 总长度=间隔长度×（棵数-1））。 3.分类讨论：遇到复杂问题（如"一侧栽树，另一侧不栽"），先明确类型（两端栽/不栽），再分步计算。 易错点练习 易错点一：两端都栽的植树问题 例题：武汉建成长80.5公里的生态滨水绿道，计划在绿道两侧种植垂柳，每隔5米种一棵（两端都种），一共需要准备多少棵垂柳苗？ 【答案】32202棵 【分析】根据1公里＝1千米，1千米＝1000米，将80.5公里单位换算成米。根据两端都种，用总长除以5米的间隔的商再加1，可求得绿道一侧种植的垂柳苗棵树。再用结果乘2，可求得绿道两侧种植垂柳苗棵树。 【详解】80.5公里＝80.5千米＝80500米 80500÷5＋1 ＝16100＋1 ＝16101（棵） 16101×2＝32202（棵） 答：一共需要准备32202棵垂柳苗。 【变式训练1】小敏爸爸的办公室在写字楼的第12层，他走到4层用了60秒。照这样计算，他如果步行还要走多少秒才能走到12层？ 【答案】160秒 【分析】从1层到4层需要爬4－1＝3层楼梯，用时60秒，用60÷3可求出每层平均时间。再从4层到12层需爬12－4＝8层楼梯，用每层时间乘层数即得还需时间。 【详解】60÷（4－1）×（12－4） ＝60÷3×8 ＝20×8 ＝160（秒） 答：他如果步行还要走160秒才能走到12层。 【变式训练2】学校100周年校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔3米安装一盏投射灯，四个角都要安装（如图所示），一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少平方米？ 【答案】720平方米 【分析】观察可知，一条长边有11盏灯，根据植树问题两端都栽，长边两端都有灯，可知长边有个间隔，每个间隔是3米，可用乘法计算长的长度，用，可得到宽除了两端中间有7盏灯，又根据植树问题两端都不栽，可知宽有个间隔，再乘3可得宽的长度，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】长：（11－1）×3 ＝10×3 ＝30（米） 宽：（36－11×2）÷2 ＝（36－22）÷2 ＝14÷2 ＝7（盏） （7＋1）×3 ＝8×3 ＝24（米） 面积：30×24＝720（平方米） 答：舞台的面积是720平方米。 【变式训练3】李晓芳用彩纸制作了一条长41.6厘米的花边（如下图）。一共排列了8朵花，每朵花的宽是4.5厘米。每相邻两朵花之间的距离是多少厘米？ 【答案】0.8厘米 【分析】观察图可知，花边总长度＝花的总宽度＋空的总长度；8朵花共长（4.5×8）厘米；8朵花之间空的个数（8－1）个；先用花边总长度－8朵花的总宽度，求出空的总长度，再用空的总长度÷8朵花之间空的个数，即可求出每相邻两朵花之间的距离，据此解答。 【详解】（41.6－4.5×8）÷（8－1） ＝（41.6－36）÷7 ＝5.6÷7 ＝0.8（厘米） 答：每相邻两朵花之间的距离是0.8厘米。 易错点二：两端都不栽的植树问题 例题：将一根10米长的钢筋要全部截成0.6米长的小段，一共可以截成多少段这样的小段？若每截一段需要0.5分钟，截成这些小段一共要多少分钟？ 【答案】16段；8分钟 【分析】用钢筋的长度÷每段的长度，最后无论剩下多长，只要不够小段的长度，就不能截成一小段，结果用“去尾法”解答。 求截成这些小段一共需要的时间，用这样的段数乘截一段需要的时间，据此解答。 【详解】10÷0.6≈16（段） 16×0.5 ＝16×0.5 ＝8（分钟） 答：一共可以截成16段这样的小段，截成这些小段一共要8分钟。 【变式训练1】某区大力推进新能源充电设施建设，幸福小区在某街道的一侧建了一处充电区（如图），共安装了40个充电桩（一个●表示一个充电桩），每隔2.4米安装一个充电桩（两端都不安装），这片充电区长多少米？ 【答案】98.4米 【分析】两端都不安装充电桩时，间隔数＝充电桩数量＋1。共安装40个充电桩，所以间隔数为40＋1＝41个。已知每个间隔距离是2.4米，用间隔数乘间隔距离就能得到充电区的长度。 【详解】40＋1＝41（个） 41×2.4＝98.4（米） 答：这片充电区长98.4米。 【变式训练2】在一条长180米的公路的一侧植树，每隔3米植一棵。两端都不植，一共植树多少棵？ 【答案】59棵 【分析】根据：两端都不栽，棵数＝段数－1，总长÷间隔长＝段数。由题意知，这条公路长180米，每隔3米植一棵，则180除以3计算出段数，再减1即可计算出一共植树的棵数，据此解决本题。 【详解】180÷3＝60 60－1＝59（棵） 答：一共植树59棵。 【变式训练3】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】根据题意，相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），属于植树问题中两端都不栽的情况，则间隔数＝棵数＋1，即19个红灯笼有（19＋1）个间隔；再用两栋教学楼的距离除以间隔数，求出相邻两个红灯笼之间的距离。 【详解】100÷（19＋1） ＝100÷20 ＝5（米） 答：相邻两个红灯笼之间的距离是5米。 易错点三：一端栽一端不栽的植树问题 例题：一根木头长1.5米，一段一段地锯，把它锯成6段，每锯下一段需要4分钟，锯完这根木头一共要用( )分钟。 【答案】20 【分析】锯木头的段数＝锯的次数＋1，则6段锯了5次，每锯下一段需要4分钟，则锯木头的时间＝锯的次数×5。 【详解】4×（6－1） ＝4×5 ＝20（分钟） 则锯完这根木头一共要用20分钟。 【变式训练1】一座别墅的门前有一条30米长的小路，现要在路旁栽一排树。每隔6米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽( )棵。 【答案】5 【分析】一端栽树，一端不栽树的情况下，树的数量和间隔数是相等的。用路的总长度除以间隔的长度，求出间隔数，就能知道栽树的数量，据此解答。 【详解】30÷6＝5（棵） 即一共要栽5棵。 【变式训练2】在一条81米小路的一侧均匀地栽树（只栽一端），一共栽了9棵树，每相邻两棵树之间的距离是( )米。 【答案】9 【分析】如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株距＝全长÷株数，用81米除以9可以计算出每相邻两棵树之间的距离；据此解答。 【详解】根据分析：81÷9＝9（米），所以每相邻两棵树之间的距离是9米。 【变式训练3】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 【答案】900米 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，间距×段数＝全长，据此列式解答。 【详解】45×20＝900（米） 答：这条路全长900米。 易错点四：封闭图形上的植树问题 例题：李叔叔在自家正方形菜地的边缘规划了三层环形种植区，用于种植不同蔬菜。最外层 4条边上每边种25棵白菜，第二层4条边上每边种15棵萝卜，最内层4条边上每边种5棵青菜。这三层种植区一共种了多少棵蔬菜？ 【答案】168棵 【分析】用正方形每边棵数×4，重复计算了4个顶点的棵数，因此正方形每边棵数×4－4＝每层棵数，据此分别计算出三层的棵数，相加即可。 【详解】25×4－4 ＝100－4 ＝96（棵） 15×4－4 ＝60－4 ＝56（棵） 5×4－4 ＝20－4 ＝16（棵） 96＋56＋16＝168（棵） 答：这三层种植区一共种了168棵蔬菜。 【变式训练1】植树节时，五年级同学在正方形空地上栽树（四个角都栽），最外层每边栽了10棵树苗，最外层一共栽了多少棵树苗？整个空地全部栽满，每两棵树的间隔相同，这块空地一共栽了多少棵树苗？ 【答案】36棵；100棵 【分析】将每边栽的数量乘4，再减去四个角上多算了一遍的4棵，求出最外层一共栽了多少棵树苗。整个空地全部栽满，说明栽了10行10列的树苗，那么用10×10，即可计算出这块空地一共栽了多少棵树苗。 【详解】10×4－4 ＝40－4 ＝36（棵）       10×10＝100（棵） 答：最外层一共栽了36棵树苗；这块空地一共栽了100棵树苗。 【变式训练2】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上气球。教室长8米，宽6米，每隔2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气球？ 【答案】14个 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，先求出教室一周长度，再根据植树问题的解题方法，封闭图形植树，棵数＝段数，教室一周长度÷气球间距＝气球个数，列式解答即可。 【详解】（8＋6）×2÷2 ＝14×2÷2 ＝14（个） 答：共需14个气球。 【变式训练3】学校开展文创作品设计活动，李红设计一个面积为81平方厘米的正方形杯子垫，每条边上要贴4张小贴画（间隔相等，每个角上都贴）。 ①共需要多少张小贴画？ ②每隔几厘米贴一张小贴画？ 【答案】①12张 ②3厘米 【分析】本题考查了正方形的周长和面积。正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长。 ①根据题意，先用4乘4，再减去4个角上的4张小贴画，即可求出需要多少张小贴画。 ②根据题意，用正方形的周长除以小贴画的张数，即可求出每隔几厘米贴一张小贴画。 【详解】①4×4－4 ＝16－4 ＝12（张） 答：共需要12张小贴画。 ②9×9＝81（平方厘米） 9×4＝36（厘米） 36÷12＝3（厘米） 答：每隔3厘米贴一张小贴画。 拔尖训练 1．长江水质监测员每隔3.5小时记录一次数据，第四次记录时距离第一次记录经过了（    ）小时。 A．3.5 B．7 C．10.5 D．14 【答案】C 【分析】第一次记录后，要有三个时间间隔（3.5小时），进行第四次记录，所以，计算第四次记录时距离第一次记录经过的时间，列式：3.5×3。 【详解】3.5×3＝10.5（小时） 长江水质监测员每隔3.5小时记录一次数据，第四次记录时距离第一次记录经过了10.5小时。 故答案为：C 2．把一根粗细均匀的木料锯成4段，用了9.6分钟。照这样计算，把这根木料锯成7段，需（    ）分钟。 A．19.2 B．14.4 C．16.8 D．22.4 【答案】A 【分析】锯成n段，需要锯（n－1）刀。用总长的时间除以锯了（4－1）刀，计算出锯一刀需要时间，再用锯一刀的时间乘锯的（7－1）刀，即可求得锯成7段，需要多少时间。 【详解】9.6÷（4－1） ＝9.6÷3 ＝3.2（分钟） 3.2×（7－1） ＝3.2×6 ＝19.2（分钟） 所以把这根木料锯成7段，需19.2分钟。 故答案为：A 3．在一个边长为40米的正方形广场的3条边上栽树，若相邻两棵树的距离都为5米，则最多需要栽（    ）棵树。 A．21 B．23 C．25 D．28 【答案】C 【分析】计算每条边（边长40米，间距5米）包含顶点时的栽树数量，并且要确定3条边的组合（包含两个相邻顶点），计算总数量。 【详解】根据植树问题中“两端都栽树时，棵数＝间隔数＋1”以及已知条件正方形边长为40米，相邻两棵树距离5米得知间隔数为40÷5＝8（个）。所以一条边（包含两个端点）能栽树的数量为8＋1＝9（棵）。 已知每条边能栽9棵树，而3条边直接相乘可得到不考虑顶点重复情况下的总棵数：9×3＝27（棵）。 正方形3条边栽树时，会有2个顶点处的树被重复计算，每个重复顶点的树多算1次，所以需要减去重复的2棵树：27－2＝25（棵）。 故答案为：C。 【点睛】解决这类在多边形边上栽树且求最多数量的问题，关键是让尽可能多的顶点栽树，利用“两端都栽树时，棵数＝间隔数＋1”的规律，同时注意顶点处树的重复情况，通过合理选择边并调整重复计算的部分来得到结果。 4．公园管理处准备在新建的月潭周围栽上一圈柳树，月潭的周长是330米，计划栽种55棵垂柳，每相邻的两棵垂柳之间距离相等，相邻的垂柳相距（    ）米。 A．6.1 B．6.2 C．5.9 D．6 【答案】D 【分析】分析题目，封闭路线植树问题：棵数＝段数，据此用月潭的周长除以栽的棵数即可得到相邻的两棵树之间的距离。 【详解】330÷55＝6（米） 公园管理处准备在新建的月潭周围栽上一圈柳树，月潭的周长是330米，计划栽种55棵垂柳，每相邻的两棵垂柳之间距离相等，相邻的垂柳相距6米。 故答案为：D 5．公交公司10路车早上7：00发第一班车，以后每隔半小时发一班车，最后一班车是晚上8：00，那么10路车一天共发了（    ）班车。 A．13 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】先把早上7：00换算成24时计时法即7时，晚上8：00换算成24时计时法即20时；已知每隔半小时发一班车，那么1小时发2班车，看7时到20时有几小时，就有几个2，再加上第一班车，就是一天共发几班车。 【详解】早晨7时＝7时，晚上8时＝20时。 20－7＝13（小时） 1小时＝60分 60÷30＝2（班） 2×13＋1 ＝26＋1 ＝27（班） 10路车一天共发了27班车。 故答案为：D 6．有一段长7分米2厘米的彩带，做一朵小花需要8厘米，这条彩带够做( )朵小花，需要剪( )次。 【答案】 9 8 【分析】1分米＝10厘米，则7分米＝70厘米，这段彩带长（70＋2＝72）厘米。彩带长度除以做一朵小花需要的长度，可以算出这段彩带够做几朵小花。 这段彩带够做几朵小花，就要将这段彩带平均剪成几小段。次数＝段数－1，小花朵数减1，即可算出需要剪几次。 【详解】7分米2厘米＝72厘米 72÷8＝9（朵） 9－1＝8（次） 有一段长7分米2厘米的彩带，做一朵小花需要8厘米，这条彩带够做9朵小花，需要剪8次。 7．一根粗细均匀的木头长15米，要把它平均锯成6段，每锯一次需要3.6分钟，锯完这根木头一共要用( )分钟，每段木头长( )米。 【答案】 18 2.5 【分析】锯木头，每锯一次锯成2段，那么锯成6段需锯（6－1）次，用每锯一次需要的时间乘锯的次数，求出锯完这根木头一共用的时间； 用这根木头的全长除以锯的段数，求出每段木头的长度。 【详解】3.6×（6－1） ＝3.6×5 ＝18（分钟） 15÷6＝2.5（米） 锯完这根木头一共要用（18）分钟，每段木头长（2.5）米。 8．在一条5千米的小路一旁栽树，每隔10米栽一棵树，如果两端不栽，要栽 棵树，如果一端栽，要栽 棵树，如果两端都栽，要栽 棵树。 【答案】 499 500 501 【分析】我们要在单位统一的情况下运用对应的栽树涉及到的变量进行关系转化，不同栽树情况对应不同的公式。间隔数＝总长÷间隔距离；两端不栽：棵数＝间隔数－1；一端栽：棵数＝间隔数；两端都栽：棵数＝间隔数＋1。 【详解】首先统一单位：5千米＝5000米 然后计算间隔数：因为每隔10米载一棵树，所以间隔数为：5000÷10＝500（个） 再根据实际栽树情况，如果两端都不栽，棵数＝间隔数－1，即棵数＝500－1＝499（棵）；如果一端栽，则棵数＝间隔数＝500棵；如果两端都栽，则棵数＝间隔数＋1，即棵数＝500＋1＝501（棵） 【点睛】无论哪种栽树情况，间隔数都是连接 “总长、间隔距离” 与 “棵数” 的桥梁，先算间隔数，再结合规则算棵数，思路更清晰。 9．3路公交车从起始站到终点站行驶路线全长，相邻两站之间的路程是，这条线路中途一共要设有( )个站。 【答案】11 【分析】因为两端是起点站和终点站，中间站的情况属于植树问题的两端都不植，棵数＝段数－1，站的个数＝全长÷间距－1，据此列式计算。 【详解】6÷0.5－1 ＝12－1 ＝11（个） 即这条线路中途一共要设有11个站。 10．在庆祝建党100周年时，工人在公路一旁挂灯笼（两端都挂），共挂了25个。原来每相邻两个灯笼之间的距离是40m，现在要改成60m，比原来减少了 个灯笼。 【答案】8 【分析】两端都挂灯笼时，灯笼的个数比间隔数多1，即间隔数＝灯笼个数－1。已知原来挂了25个灯笼，可得间隔数为25－1＝24个。每相邻两个间距40m，公路总长为40×24＝960m。已知新间距为60m，公路总长960m，新间隔数为960÷60＝16个，再根据“两端都挂”的规则（新灯笼个数＝新间隔数＋1）得到新的灯笼数量。最后用原来的灯笼个数减去新的灯笼个数即可。 【详解】25－1＝24（个） 40×24＝960（m） 960÷60＝16（个） 16＋1＝17（个） 25－17＝8（个） 比原来减少了8个灯笼。 11．学校有一条长60米的走道，计划在道路两边栽树，每隔5米栽一棵。如果两端都不栽，那么共需要栽( )棵树。 【答案】22 【分析】已知走道长60米，每隔5米栽一棵树，用总距离除以间隔长度可计算出道路一边树的间隔数，因为两端都不栽树，那么树的数量比间隔数少1，用间隔数减1计算出道路一边栽种的棵树；由于是在道路两边栽树，所以将道路一边栽种的棵树乘2，可计算出总共栽种的棵数。 【详解】60÷5－1 ＝12－1 ＝11（棵） 11×2＝22（棵） 所以共需要栽22棵树。 12．某小学的教学楼有三层，每一层走廊长15米，计划在走廊一侧悬挂励志标语，每3米悬挂一个（两端都要挂），三层一共需要悬挂( )个标语。 【答案】18 【分析】本题属于“植树问题”中的两端都栽的情况。每层走廊长15米，每隔3米悬挂一个标语，两端都要挂，因此每层的标语数量为间隔数加1。计算每层标语数量后，再乘3层即可得到总数。 【详解】15÷3＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 6×3＝18（个） 所以三层一共需要悬挂18个标语。 13．六（1）班分为6个小组打扫教室卫生，第1周一小组打扫，第2周二小组打扫，第3周三小组打扫……以此类推。不算放长假，一学期有19周，最后一周打扫卫生的是 小组，整个学期二小组打扫了 周。 【答案】 一 3 【分析】​​周期规律分析：6个小组按固定顺序循环值日，形成6周为一个完整周期。 每个周期内各小组值日1次，顺序为一、二、三、四、五、六小组。 ​​总周数分解：19周包含完整周期数和余数周：19÷6＝3个完整周期（18周），余1周。 余数1周表示第19周是第4个周期的第1周，对应一小组值日。 ​​二小组值日次数计算： 每个完整周期内二小组值日1次，3个周期共值日3次。 余数1周（第19周）由一小组值日，不影响二小组的总次数。 【详解】19÷6＝，余数是1，所以第19周是第一个小组打扫卫生。 （19－1）÷6 ＝18÷6 ＝3（周） 整个学期二小组打扫了3周。 最后一周打扫卫生的是一小组，整个学期二小组打扫了3周。 14．一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样计算，n张桌子并成一排可以坐多少人？（请用你喜欢的方法写出解答的过程） 【答案】（4n ＋ 2）人 【分析】 如图，一张桌子坐6人，6＝1×4＋2；两张桌子并起来坐10人，10＝2×4＋2；三张桌子并起来坐14人，14＝3×4＋2……由此可知，坐的人数＝桌子张数×4＋2，据此解答。 【详解】一张桌子：6人，1×4＋2＝4＋2＝6 两张桌子：10人，2×4＋2＝8＋2＝10 三张桌子：14人，3×4＋2＝12＋2＝14 …… n张桌子：n×4＋2＝（4n ＋ 2）人 答：n张桌子并成一排可以坐（4n ＋ 2）人。 15．有一块三角形地，三边长分别为156米、234米、186米，现在要在边上植树，每两棵相距6米，三个角上都有一棵。三角形三边共植树多少棵？ 【答案】96棵 【分析】三角形每个角都要植树，所以此题可以看成一个圆圈来思考，那么植树棵数＝间隔数，所以先求得这块地的周长，进而用周长除每两棵的距离即可算出。 【详解】（156＋234＋186）÷6 ＝（390＋186）÷6 ＝576÷6 ＝96（棵） 答：三角形三边共植树96棵。 16．小强家附近的公园里有一个周长为1500米的圆形池塘，要在这个池塘周围栽树，每隔3米种一棵树。一共需要栽树多少棵？ 【答案】500棵 【分析】封闭图形植树，棵数＝段数，段数＝封闭图形周长÷间隔长。由题意知：周长为1500米的池塘，每隔3米种一棵树，用1500除以3计算出段数，即可求出一共可以栽树的棵数。 【详解】1500÷3＝500（棵） 答：一共需要栽树500棵。 17．从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？ 【答案】39米 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，原来间距×原来段数＝总长度，据此先求出总长度；重新修改时，两端的2根不动，属于两端都不植，段数＝棵数＋1，总长度÷修改后的段数＝修改后的平均间距，据此列式解答。 【详解】30×（27－1） ＝30×26 ＝780（米） 780÷（19＋1） ＝780÷20 ＝39（米） 答：这时相邻两根电线杆之间的平均距离是39米。 【点睛】关键是掌握植树问题的解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 18．一个长方形花圃长20米，宽12米，沿这个长方形四周每隔4米栽一棵树，四个顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【答案】16棵 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出花圃周长，再根据封闭图形植树，棵数＝段数，花圃周长÷间距＝栽的棵数，列式解答即可。 【详解】（20＋12）×2÷4 ＝32×2÷4 ＝64÷4 ＝16（棵） 答：这个长方形花圃的四周一共栽了16棵树。 19．一条林阴路长135米，在路的一旁每隔9米种一棵香樟树，两端不种，在相邻两棵香樟中间放一个石椅，一共要放多少个石椅？ 【答案】13个 【分析】两端都不植，棵数＝段数－1，路的长度÷香樟树间距－1＝香樟树棵数，石椅放在香樟树的间隔处，香樟树棵数－1＝间隔数，据此求出石椅个数。 【详解】135÷9－1－1 ＝15－1－1 ＝13（个） 答：一共要放13个石椅。 20．桃源一路公交汽车从青林乡政府到尧河渡口，行驶路线全长是9千米，现要在公路的两边每隔0.6千米建一个上下客的站台，一共要建多少个站台？ 【答案】32个 【分析】此题可以看作是植树问题，青林乡政府和尧河渡口是两端，属于两端植树问题，然后根据树的棵数＝间隔数＋1，据此求出公路一边站台的个数，再乘2即可求出一共要建多少个站台。 【详解】（9÷0.6＋1）×2 ＝（15＋1）×2 ＝16×2 ＝32（个） 答：一共要建32个站台。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07：植树问题 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一：两端都栽的植树问题 1 知识点二：两端不栽的植树问题 2 知识点三：只栽一端的植树问题 3 知识点四：封闭图形的植树问题 3 知识点五：植树问题的变式应用 4 知识点六：易错点与培优技巧 4 易错点练习 5 易错点一：两端都栽的植树问题 5 易错点二：两端都不栽的植树问题 7 易错点三：一端栽一端不栽的植树问题 8 易错点四：封闭图形上的植树问题 9 拔尖训练 11 知识梳理 知识点一：两端都栽的植树问题 定义：在直线型路线上植树，两端都要栽树的问题。 核心公式： 棵数 = 间隔数 + 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 总长度 = 间隔长度 × 间隔数 公式推导： 假设在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，两端都栽。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5 + 1 = 6（棵） 图示：（树用"△"表示，间隔用"—"表示） △—△—△—△—△—△（共6棵树，5个间隔） 注意事项： 1.区分"总长度"与"间隔数"，间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度。 2.计算时先求间隔数，再根据"两端都栽"加1。 示例： 在一条20米长的小路两侧栽树，每隔4米栽一棵，两端都栽，共需栽多少棵树？ 单侧间隔数 = 20 ÷ 4 = 5（个） 单侧棵数 = 5 + 1 = 6（棵） 两侧总棵数 = 6 × 2 = 12（棵） 知识点二：两端不栽的植树问题 定义：在直线型路线上植树，两端都不栽树的问题（如道路两侧安装路灯，两端不装）。 核心公式： 棵数 = 间隔数 - 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 公式推导： 在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，两端不栽。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5 - 1 = 4（棵） 图示：—△—△—△—△—（共4棵树，5个间隔） 注意事项： 1.与"两端都栽"对比，避免混淆"加1"和"减1"。 2.常见场景：锯木头（次数=段数-1）、爬楼梯（楼层间隔数=楼层数-1）。 示例： 一根木头长15米，要锯成每段3米的小段，需要锯几次？ 段数（间隔数）= 15 ÷ 3 = 5（段） 次数（棵数）= 5 - 1 = 4（次） 知识点三：只栽一端的植树问题 定义：在直线型路线上植树，只在一端栽树（另一端不栽）。 核心公式： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 公式推导： 在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，只栽左端。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5（棵） 图示：△—△—△—△—△（共5棵树，5个间隔） 注意事项： 常见场景：一端靠墙植树、圆形池塘边植树（封闭图形可看作"只栽一端"的特殊情况）。 示例： 一个长方形操场长100米，在长边一侧栽树，从起点开始每隔10米栽一棵，终点不栽，共栽多少棵？ 间隔数 = 100 ÷ 10 = 10（个） 棵数 = 10（棵） 知识点四：封闭图形的植树问题 定义：在封闭图形（如圆形、正方形、三角形）上植树，首尾相接，无起点和终点之分。 核心公式： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 封闭图形周长 ÷ 间隔长度 公式推导： 在周长20米的圆形花坛边植树，每4米栽一棵。 间隔数 = 20 ÷ 4 = 5（个） 棵数 = 5（棵） 图示：△—△—△—△—△（首尾相连，5棵树，5个间隔） 注意事项： 1.封闭图形的"总长度"即周长。 2.与"只栽一端"结论相同，但需注意区分直线型和封闭型的场景描述。 示例： 一个正方形池塘，边长20米，沿池塘边每隔5米栽一棵树，共栽多少棵？ 周长 = 20 × 4 = 80（米） 间隔数 = 80 ÷ 5 = 16（个） 棵数 = 16（棵） 知识点五：植树问题的变式应用 常见类型： 1.锯木头问题：次数 = 段数 - 1（段数=总长度÷每段长度） 2.爬楼梯问题：楼层间隔数 = 到达楼层 - 起始楼层（如从1楼到5楼，间隔数=5-1=4） 3.敲钟问题：间隔数 = 敲钟次数 - 1（如敲6下，间隔数=5，时间=间隔数×每个间隔时长） 示例： 一根木头锯成4段需要6分钟，锯成7段需要几分钟？ 解：锯4段需3次，每次用时6 ÷ 3 = 2（分钟）；锯7段需6次，总时间=6 × 2 = 12（分钟）。 从1楼走到3楼需12秒，照这样速度，从1楼走到6楼需几秒？ 解：1楼到3楼间隔数=2，每层用时12 ÷ 2 = 6（秒）；1楼到6楼间隔数=5，总时间=5 × 6 = 30（秒）。 知识点六：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.混淆公式：两端栽树"加1"与两端不栽"减1"混淆（如将"两端不栽"的棵数误算为间隔数+1）。 2.单位换算错误：总长度单位与间隔长度单位不统一（如总长度用"米"，间隔长度用"厘米"）。 3.封闭图形与直线型混淆：误将封闭图形的棵数计算为"间隔数+1"。 培优技巧： 1.画图法：通过画简单示意图（如用"△"表示树，"—"表示间隔）直观理解棵数与间隔数关系。 2.公式逆用：已知棵数求总长度或间隔长度（如：棵数=间隔数+1 → 间隔数=棵数-1 → 总长度=间隔长度×（棵数-1））。 3.分类讨论：遇到复杂问题（如"一侧栽树，另一侧不栽"），先明确类型（两端栽/不栽），再分步计算。 易错点练习 易错点一：两端都栽的植树问题 例题：武汉建成长80.5公里的生态滨水绿道，计划在绿道两侧种植垂柳，每隔5米种一棵（两端都种），一共需要准备多少棵垂柳苗？ 【变式训练1】小敏爸爸的办公室在写字楼的第12层，他走到4层用了60秒。照这样计算，他如果步行还要走多少秒才能走到12层？ 【变式训练2】学校100周年校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔3米安装一盏投射灯，四个角都要安装（如图所示），一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少平方米？ 【变式训练3】李晓芳用彩纸制作了一条长41.6厘米的花边（如下图）。一共排列了8朵花，每朵花的宽是4.5厘米。每相邻两朵花之间的距离是多少厘米？ 易错点二：两端都不栽的植树问题 例题：将一根10米长的钢筋要全部截成0.6米长的小段，一共可以截成多少段这样的小段？若每截一段需要0.5分钟，截成这些小段一共要多少分钟？ 【变式训练1】某区大力推进新能源充电设施建设，幸福小区在某街道的一侧建了一处充电区（如图），共安装了40个充电桩（一个●表示一个充电桩），每隔2.4米安装一个充电桩（两端都不安装），这片充电区长多少米？ 【变式训练2】在一条长180米的公路的一侧植树，每隔3米植一棵。两端都不植，一共植树多少棵？ 【变式训练3】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 易错点三：一端栽一端不栽的植树问题 例题：一根木头长1.5米，一段一段地锯，把它锯成6段，每锯下一段需要4分钟，锯完这根木头一共要用( )分钟。 【变式训练1】一座别墅的门前有一条30米长的小路，现要在路旁栽一排树。每隔6米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽( )棵。 【变式训练2】在一条81米小路的一侧均匀地栽树（只栽一端），一共栽了9棵树，每相邻两棵树之间的距离是( )米。 【变式训练3】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 易错点四：封闭图形上的植树问题 例题：李叔叔在自家正方形菜地的边缘规划了三层环形种植区，用于种植不同蔬菜。最外层 4条边上每边种25棵白菜，第二层4条边上每边种15棵萝卜，最内层4条边上每边种5棵青菜。这三层种植区一共种了多少棵蔬菜？ 【变式训练1】植树节时，五年级同学在正方形空地上栽树（四个角都栽），最外层每边栽了10棵树苗，最外层一共栽了多少棵树苗？整个空地全部栽满，每两棵树的间隔相同，这块空地一共栽了多少棵树苗？ 【变式训练2】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上气球。教室长8米，宽6米，每隔2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气球？ 【变式训练3】学校开展文创作品设计活动，李红设计一个面积为81平方厘米的正方形杯子垫，每条边上要贴4张小贴画（间隔相等，每个角上都贴）。 ①共需要多少张小贴画？ ②每隔几厘米贴一张小贴画？ 拔尖训练 1．长江水质监测员每隔3.5小时记录一次数据，第四次记录时距离第一次记录经过了（    ）小时。 A．3.5 B．7 C．10.5 D．14 2．把一根粗细均匀的木料锯成4段，用了9.6分钟。照这样计算，把这根木料锯成7段，需（    ）分钟。 A．19.2 B．14.4 C．16.8 D．22.4 3．在一个边长为40米的正方形广场的3条边上栽树，若相邻两棵树的距离都为5米，则最多需要栽（    ）棵树。 A．21 B．23 C．25 D．28 4．公园管理处准备在新建的月潭周围栽上一圈柳树，月潭的周长是330米，计划栽种55棵垂柳，每相邻的两棵垂柳之间距离相等，相邻的垂柳相距（    ）米。 A．6.1 B．6.2 C．5.9 D．6 5．公交公司10路车早上7：00发第一班车，以后每隔半小时发一班车，最后一班车是晚上8：00，那么10路车一天共发了（    ）班车。 A．13 B．25 C．26 D．27 6．有一段长7分米2厘米的彩带，做一朵小花需要8厘米，这条彩带够做( )朵小花，需要剪( )次。 7．一根粗细均匀的木头长15米，要把它平均锯成6段，每锯一次需要3.6分钟，锯完这根木头一共要用( )分钟，每段木头长( )米。 8．在一条5千米的小路一旁栽树，每隔10米栽一棵树，如果两端不栽，要栽 棵树，如果一端栽，要栽 棵树，如果两端都栽，要栽 棵树。 9．3路公交车从起始站到终点站行驶路线全长，相邻两站之间的路程是，这条线路中途一共要设有( )个站。 10．在庆祝建党100周年时，工人在公路一旁挂灯笼（两端都挂），共挂了25个。原来每相邻两个灯笼之间的距离是40m，现在要改成60m，比原来减少了 个灯笼。 11．学校有一条长60米的走道，计划在道路两边栽树，每隔5米栽一棵。如果两端都不栽，那么共需要栽( )棵树。 12．某小学的教学楼有三层，每一层走廊长15米，计划在走廊一侧悬挂励志标语，每3米悬挂一个（两端都要挂），三层一共需要悬挂( )个标语。 13．六（1）班分为6个小组打扫教室卫生，第1周一小组打扫，第2周二小组打扫，第3周三小组打扫……以此类推。不算放长假，一学期有19周，最后一周打扫卫生的是 小组，整个学期二小组打扫了 周。 14．一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样计算，n张桌子并成一排可以坐多少人？（请用你喜欢的方法写出解答的过程） 15．有一块三角形地，三边长分别为156米、234米、186米，现在要在边上植树，每两棵相距6米，三个角上都有一棵。三角形三边共植树多少棵？ 16．小强家附近的公园里有一个周长为1500米的圆形池塘，要在这个池塘周围栽树，每隔3米种一棵树。一共需要栽树多少棵？ 17．从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？ 18．一个长方形花圃长20米，宽12米，沿这个长方形四周每隔4米栽一棵树，四个顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 19．一条林阴路长135米，在路的一旁每隔9米种一棵香樟树，两端不种，在相邻两棵香樟中间放一个石椅，一共要放多少个石椅？ 20．桃源一路公交汽车从青林乡政府到尧河渡口，行驶路线全长是9千米，现要在公路的两边每隔0.6千米建一个上下客的站台，一共要建多少个站台？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $