27.2.1相似三角形的判定第一课时教学设计2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的定义及“平行于一边的直线截其他两边所得三角形与原三角形相似”的判定定理。通过复习相似多边形定义、性质及相似比，衔接全等三角形“完全重合”到相似“形状相同”的认知，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于立足学情，通过“探究平行线分线段成比例”实验活动培养数学眼光，引导学生从度量归纳到逻辑证明，突破“边成比例”认知障碍。定理推导中作辅助线转化角与边的关系发展数学思维，例题规范推理表达强化数学语言，分层作业巩固应用，助学生提升逻辑推理与图形分析能力，为教师提供清晰教学流程与可操作的探究活动设计。

27.2.1相似三角形的判定第一课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第27章“相似”的第二节。内容包括：相似三角形的定义判定法，以及“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定定理，同时包含定理的简单应用。 （二）教学内容解析 相似三角形是全等三角形知识的延伸与拓展，是初中几何图形研究的核心内容之一，其判定方法是后续学习相似三角形性质、解直角三角形及几何综合应用的基础。从定义判定到平行模型判定，既衔接了全等三角形“完全重合”到相似三角形“形状相同”的认知过渡，又为后续推导其他判定定理提供了逻辑依据，在几何知识体系中起到承上启下的关键作用，同时能培养学生的图形转化、逻辑推理能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】 掌握相似三角形的判定定理，包括平行于一边的直线、三边成比例、两边成比例且夹角相等的判定方法。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 理解相似三角形的定义，能根据定义判断两个三角形是否相似，明确相似三角形的对应关系与相似比含义。 2. 掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”的判定定理，能规范书写定理应用的推理过程。 3. 通过定理推导与应用，提升逻辑推理、图形观察与分析能力，体会转化、类比的数学思想。 （二）教学目标解析 1. 达成目标1：学生能准确说出相似三角形的定义条件（对应角相等、对应边成比例），能正确标注相似三角形的对应顶点，写出相似表达式，且能根据已知边长计算相似比。 2. 达成目标2：学生能独立描述判定定理的条件与结论，面对含平行线的三角形图形，能快速识别相似三角形，并用定理完成简单的几何证明或边长计算，推理步骤完整规范。 3. 达成目标3：学生在定理推导中能类比全等三角形研究思路，将平行线条件转化为角相等、边成比例的关系，在解题中能主动分析图形结构，提炼关键条件，形成基本的几何解题思维。三、三、学生学情分析 九年级学生已掌握全等三角形的定义、判定方法及性质，对“完全重合”的图形关系有清晰认知，同时前期学习了相似图形的概念，知道相似图形是“形状相同、大小不同”的图形，具备基础的图形观察与简单逻辑推理能力。但学生对“形状相同”的本质（对应角相等、对应边成比例）理解不够深入，且从全等的“边相等”过渡到相似的“边成比例”存在认知障碍，在定理推导中，难以自主将平行线条件与角、边的关系关联，需要教师通过引导类比、直观演示逐步突破难点。基于以上分析，确定本节课的教学难点如下： 【教学难点】平行模型判定定理的逻辑推导过程，相似三角形对应关系的准确识别。 四、教学过程分析 （一）复习引入 1.什么是相似多边形？ 2.相似多边形的性质是什么？ 3.什么是相似比？ 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 知识点一　相似三角形的定义 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k， 即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，相似比为k. 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC 与△A′B′C′ 相似记作“ △ABC∽△A′B′C′ ”． 问题1：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系 知识点二 平行线分线段成比例 【探究】如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2 都相交的平行线 l3，l4，l5．分别度量 l3，l4，l5 在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度，与相等吗？ 问题2：任意平移 l5，与还相等吗？直线 l3，l4，l5 在直线 l1，l2 上截得的线段有什么关系？ 总结：平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 将这个结论应用到三角形中，如图所示： 可以得到一个重要结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 现在我们来思考图中的问题： 在中，，且分别交、于点、。通过严格的证明过程，我们发现与不仅对应角相等，而且对应边成比例，因此。 由此我们得到相似三角形的一个重要判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 【证明】先证明两个三角形的角分别相等. 在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． 再证明两个三角形的边成比例. 过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F． ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，＝． ∵四边形 DBFE 为平行四边形， ∴DE=BF. ∴=. ∴＝＝． 这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，边成比例，所以△ADE∽△ABC. 例1 如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝9，EB＝6，EF＝4． （1）求证：△AEF∼△ABC； （2）求BC的长． （1）证明：∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴△AEF∽△ABC； （2）解：∵△AEF∽△ABC， ∴， ∵AB＝9，EB＝6，EF＝4， ∴， ∴BC＝12． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（    ） A．4 B． C．5 D． 2．在中，D，E分别是边，上的点，，如图所示，且相似比为k，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．4 6．如图，已知，它们依次与直线交于点、、和点、、，则的对应线段是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，延长到E，连接交于F，若，，则长是（   ） A．4.5 B．3 C．2 D．1 8．如图，已知直线，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，，若，则的值为（   ） A．5 B．10 C．15 D．2.5 10．如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（　　）对. A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 11．如图，若，，，，则长为 ． 12．如图，在平行四边形中，交AD于E，交BD于F，，，则的长为 ． 13．如图，，如果，那么 ．    14．如图，已知，，，，，，求和的度数及的长度． 15．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，． （1）若BD=20，求BG的长； （2）求的值． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $