27.2.1相似三角形的判定第二课时教学设计2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形判定定理，涵盖三边成比例、两边成比例且夹角相等的推导与应用。通过复习全等三角形SSS判定、相似定义及已学判定方法，类比猜想引入新课，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料亮点在于以数学思维为核心，通过构造全等转化证明定理，结合多媒体分步展示辅助线构造过程，培养逻辑推理能力。分层练习设计兼顾不同学生，规范符号语言与解题步骤强化数学表达，助力教师高效教学，学生深化几何直观与应用意识。

27.2.1相似三角形的判定第二课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第27章“相似”的第二节。内容包括：三边成比例的两个三角形相似的判定定理，定理的推导证明、基础应用及简单综合运用。 （二）教学内容解析 本节课是相似三角形判定的关键课时，承接第一课时“平行线判定相似”，是脱离平行线背景的首个独立判定定理，为后续“两边成比例且夹角相等”“两角相等”判定定理学习奠定逻辑基础。从知识逻辑来看，定理推导依托“全等三角形判定（SSS）”与“相似三角形定义”，通过构造全等转化证明，体现“转化思想”；从应用价值来看，该定理无需依赖角的条件，可直接通过边长比例判定相似，是解决无角度信息的三角形相似问题的核心工具，衔接相似性质应用与复杂几何证明，对构建完整相似三角形知识体系至关重要。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】掌握三角形相似的判定定理，包括三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等及直角三角形斜边和一直角边成比例的判定方法。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 理解三边成比例的两个三角形相似的判定定理，能准确表述定理内容。 2. 掌握定理的推导过程，体会转化、类比的数学思想，提升逻辑推理能力。 3. 能运用定理解决三角形相似的判定问题，包括基础判断题、计算题及简单几何证明题。 （二）教学目标解析 1. 达成目标1：学生能清晰说出“若两个三角形的三组对应边的比相等，则这两个三角形相似”，明确定理的前提是“三组对应边成比例”，结论是“三角形相似”，能区分定理与全等三角形SSS判定的异同。 2. 达成目标2：学生能跟随推导思路，理解“在大三角形中构造与小三角形全等的三角形，再通过平行线判定相似，进而证明原两个三角形相似”的逻辑链，能自主梳理推导中的转化思路，类比全等判定推导相似判定的思维方法。 3. 达成目标3：学生能独立判断给定边长比例的两个三角形是否相似，能结合边长比例计算未知边长，能在简单几何图形中，通过找对应边、算比例，运用定理证明三角形相似。 三、学生学情分析 九年级学生已掌握全等三角形判定（含SSS）、相似三角形定义、比例性质及“平行线判定相似三角形”，具备基础的几何推理能力与类比思维，能通过旧知识迁移探索新知识。但学生对“构造辅助线转化问题”的思路不够熟练，定理推导中“构造全等三角形衔接相似判定”的逻辑链易断裂；同时，学生在应用定理时，易出现“对应边找错、比例关系列错”的问题，对无明确对应关系的三角形，需强化对应边匹配的引导。此外，学生个体差异明显，部分学生推理表达不规范，需通过示范与纠错规范解题步骤。 基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】三边成比例的两个三角形相似判定定理的推导证明。 四、教学策略分析 1. 旧知迁移策略：以全等三角形SSS判定为切入点，提问“全等需三边相等，相似需边满足什么条件？”，引导学生类比猜想三边成比例，快速建立新旧知识关联，降低课题引入难度。 2. 难点突破策略：定理推导分三步拆解，先让学生动手测量预设边长比例的两个三角形的角，直观感知相似，再通过多媒体分步展示辅助线构造（在大△ABC中作DE∥BC，使AD=A'B'）、全等证明（△ADE≌△A'B'C'）、相似推导（DE∥BC→△ADE∽△ABC→△A'B'C'∽△ABC），逐步梳理逻辑，化解构造辅助线与逻辑衔接的难点。 3. 分层练习策略：设计基础层（判断三角形是否相似、直接计算未知边）、提升层（结合比例性质找对应边、简单证明）两类习题，基础题全员过关，提升题兼顾中等生与优等生，同时针对易错点（对应边错误）设计对比练习，强化规范应用。 4. 表达规范策略：定理应用时先示范完整解题步骤（标注对应关系、列比例式、下结论），再让学生模仿书写，教师针对性纠错，规范几何推理的语言表达与步骤完整性。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1.回顾提问：①全等三角形SSS判定定理内容是什么？②相似三角形定义需满足什么条件（边、角）？③目前已学的相似三角形判定方法有哪些？ 2. 类比猜想：引导学生思考“全等是相似的特殊情况，SSS中‘三边相等’可看作‘三边比为1’，若三边比为任意相等的正数，两个三角形是否相似？”，引出课题“三边成比例的两个三角形相似”，激发学生探究兴趣。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 知识点一　三边成比例的两个三角形相似 首先，我们来探究如何通过三边判定两个三角形相似。观察图，在和中，如果，那么这两个三角形相似。 【证明】在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E． ∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴＝＝． 又＝＝，A′D＝AB， ∴＝，＝． ∴DE＝BC，A′E＝AC． ∴△A′DE≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′． 【归纳】由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 符号语言： ∵＝＝， ∴△ABC∽△A′B′C′. 知识点二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 接下来，我们思考能否通过两边和夹角判定相似性。观察图，如果，且，那么。 这个定理的证明思路与三边成比例的判定定理类似，通过构造辅助线和全等三角形完成证明。 【证明】在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E． ∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴＝． 又＝，A′D＝AB， ∴A′E＝AC． 又∠A′＝∠A， ∴△A′DE≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′． 【归纳】由此我们得到利用两边和夹角判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵＝，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 因此，特别提醒：两个三角形两边对应成比例，相等的角一定要是两条对应边的夹角才能证明相似！ 例1：根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1) cm， cm， cm，    cm， cm， cm； (2) ， cm， cm，   ， cm， cm。 分析： 可以看到，三个比值都相等： 根据三角形相似的判定定理1：三边成比例的两个三角形相似。 因此可以得出结论： （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．下列数据分别表示两个三角形的边，则两个三角形相似的是（    ） A．3，2，4与9，12，6 B．2，4，5与4，9，12 C．3，4，5与2，2.5，1 D．2.5，5，4与0.5，1.1，1.5 2．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 3．能说明△ABC∽△A′B′C′，的条件是(    ) A．或 B．且 C．且 D．且 4．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(    )    A．  B．   C．   D．   5．已知点、分别在的、边上，则下列判断正确的是（    ） A．若与相似，则EF∥BC B．若，则与相似 C．若，则与相似 D．若，则与相似 6．已知中，点D在边上．下列条件中，不能推断与相似的是（     ） A． B． C． D． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $