精品解析：辽宁省葫芦岛市兴城市2025-2026学年八年级上学期同步检测数学试卷

兴城市初中2025—2026年度第一学期同步检测 八年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 2025年9月3日在北京天安门广场举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式尽显大国威仪．这盛大的活动背后是国富民强的生动写照．“国富民强”这四个汉字中，从数学角度可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 8. 如图，，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 10. 如图，在中，点是边的中点，，，，若，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，，，，，，则的长为________． 12. 如图，在中，点为上一点，，，则度数为________． 13. 如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点，，，则的长是________． 14. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，，，，则的度数为________． 15. 如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出相应文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，中，，点在上，连接，是的角平分线，，，求的度数． 17. 如图，在中，，点，分别是边和延长线上的点，平分． （1）尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求证：． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）写出点关于轴对称点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点，使得与全等，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，说明理由． 19. 如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 20. 如图，在中，，平分，点，分别在边，上，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 21. 根据以下操作，探索完成任务． 探索生活中的全等三角形 素材背景 的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”，小英同学从风筝中抽象出“筝型”支架，完成了如下操作． 操作一 如图1，已知四边形，，，沿所在直线对折，经过观察发现左右两侧对折后能完全重合，可以得到． 操作二 对折后，小英将图1中的风筝纸片沿剪成两个三角形和，且，并将剪成的两个三角形摆放成了如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点，与相交于点． 操作三 根据以上操作，小英同学又有了新的想法，她又将剪成的两个三角形和，摆放成了如图3所示的图形，且点，，，在同一条直线上． 问题解决 任务一 （1）根据操作二，当，，时，求证：． 任务二 （2）根据操作三，连接，交于点，求证：． 22. 在等边三角形中，，点在射线上运动． （1）如图1，当点是的三等分点时，过点作交于点，则________； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，以点为圆心，为半径作弧，交于点，请你探究线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点是中点，点，分别在，上，且，当和周长之和最小时，直接写出的长． 23. 在数学活动课上，老师给出如下问题，如图1，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，连接．求证：． （1）小丹和小明两位同学从结论的角度分析，都认为通过证明三角形全等，就可以得出结论，但两位同学作了不同的辅助线； ①小丹同学的思路：过点作的垂线交于点，证明； ②小明同学的思路：过点作的垂线交延长线于点，证明； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）在（1）基础上，两名同学继续进行拓展探究，并提出了如下问题： ①如图2，当点在的延长线上运动时，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，若，，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴城市初中2025—2026年度第一学期同步检测 八年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，根据三角形的三边关系进行分析判断，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A、，∴能组成三角形； B、，∴不能组成三角形； C、，∴能组成三角形； D、，∴能组成三角形。 ∴不能组成三角形的是B， 故选：B． 2. 2025年9月3日在北京天安门广场举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式尽显大国威仪．这盛大的活动背后是国富民强的生动写照．“国富民强”这四个汉字中，从数学角度可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知， B是轴对称图形，A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 3. 如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 4. 如图，在中，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等判定与性质是解决问题的关键． 先由两个三角形全等判定得到，再由全等性质得到，，，即可确定答案． 【详解】解：， ， 在和中， ， ，，， 综上所述，A，B，C均是正确的，不正确的是D， 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据点的坐标确定原点位置，进而求出点的坐标，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出点的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如图， 由图可知：， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 故选C． 6. 如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的周长， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质和平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据，得，再根据全等三角形的性质可得，进而有则可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用、三角形的高和等腰直角三角形的性质和判定，熟知性质定理、准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 连接并延长，交于，证明，，即可求解． 【详解】解：连接并延长，交于， 、为的高， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，点是边的中点，，，，若，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及三角形全等的判定与性质、含直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质、含直角三角形性质是解决问题的关键． 延长，交于点，如图所示，先证明，得到，再证明，从而有，在中，由含直角三角形性质直接求解即可得到答案． 【详解】解：延长，交于点，如图所示： ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在中，，则，从而有， ， ， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，，，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及两个三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 先由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合表示出的长求值即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，是解题的关键． 根据可得，得，根据，得，即得． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 13. 如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点，，，则的长是________． 【答案】15 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质．先求出，再根据含角的直角三角形的性质得到，，则，即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵于点，于点， ∴都是直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：15 14. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的运用和等边对等角，理解作图的意义是解决本题的关键． 由图可知，分别是的垂直平分线，则，最后通过角的转换即可求解． 【详解】解：由作图可知，分别是的垂直平分线， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】证明，则，得到，则，求出，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为边向右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了全等三角形判定和性质、多边形内角和、等边对等角、等边三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出相应文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，中，，点在上，连接，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，根据三角形的外角的性质求出的度数，角平分线求出的度数，垂直得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，点，分别是边和延长线上的点，平分． （1）尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定，作的内错角，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质得到，推出，再由角平分线的定义得到，最后利用平行线的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵为平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）写出点关于轴对称的点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据全等三角形的判定定理画图即可解答． 【小问1详解】 解：根据对称性得； 【小问2详解】 解：如图，即为所作； 【小问3详解】 解：如图，与全等，此时点的坐标为或或 19. 如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定、等角对等边等知识，证明是关键．证明，得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵，， ∴是的平分线， 即平分． 20. 如图，在中，，平分，点，分别在边，上，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7.5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，然后根据等角对等边即可得证； （2）证明，得出，即可求解． 小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵． ∴ ∴， ， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴． 21. 根据以下操作，探索完成任务． 探索生活中的全等三角形 素材背景 的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”，小英同学从风筝中抽象出“筝型”支架，完成了如下操作． 操作一 如图1，已知四边形，，，沿所在直线对折，经过观察发现左右两侧对折后能完全重合，可以得到． 操作二 对折后，小英将图1中的风筝纸片沿剪成两个三角形和，且，并将剪成的两个三角形摆放成了如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点，与相交于点． 操作三 根据以上操作，小英同学又有了新的想法，她又将剪成的两个三角形和，摆放成了如图3所示的图形，且点，，，在同一条直线上． 问题解决 任务一 （1）根据操作二，当，，时，求证：． 任务二 （2）根据操作三，连接，交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． （1）证明，得到，，再证明，得到，，最后根据在中，，即可得到结论； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ∴ ∴，， ∵在中，， ∴ ∴ （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 22. 在等边三角形中，，点在射线上运动． （1）如图1，当点是的三等分点时，过点作交于点，则________； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，以点为圆心，为半径作弧，交于点，请你探究线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点是中点，点，分别在，上，且，当和周长之和最小时，直接写出的长． 【答案】（1）8 （2），见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． （1）先求出，再证出是等边三角形，则可得，然后根据线段的和差求解即可得； （2）过点作，交于点，先证出是等边三角形，则可得，根据线段和差可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，最后根据和等量代换即可得证； （3）过点作，交于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的周长公式可得和周长之和为，根据垂线段最短可得当时，的长最小，利用含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵点是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：8． 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形，点是中点，， ∴，，， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴由三角形的外角性质可知，点在线段上， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴和周长之和为 ， ∴当的长最小时，和周长之和最小， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， 此时在中，，则， 即当和周长之和最小时，的长为3． 23. 在数学活动课上，老师给出如下问题，如图1，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，连接．求证：． （1）小丹和小明两位同学从结论的角度分析，都认为通过证明三角形全等，就可以得出结论，但两位同学作了不同的辅助线； ①小丹同学思路：过点作的垂线交于点，证明； ②小明同学的思路：过点作的垂线交延长线于点，证明； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）在（1）基础上，两名同学继续进行拓展探究，并提出了如下问题： ①如图2，当点在的延长线上运动时，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，若，，直接写出长． 【答案】（1）小丹的思路，见详解（或小明的思路，见详解） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①小丹的思路：利用等腰直角三角形的性质和判定，得出，，，证明，进而得出． ②小明的思路：利用等腰直角三角形的性质和判定，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，进而得出，可证． （2）①根据等腰直角三角形得性质和判定，可得，是等腰直角三角形，进而得出，，证明，得出，从而求得，． ②根据等腰直角三角形的性质可得，，，再利用三线合一可得，，，进而得出，，再利用等腰三角形的性质可得． 【小问1详解】 解：①小丹的思路； 证明：过点作的垂线交于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ②小明的思路； 证明：过点作的垂线交延长线于点， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图，当点在的延长线上运动时，过点作，交 延长线于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $