专题3.2 排列与排列数七大题型（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题3.2 排列与排列数 教学目标 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列（数学抽象）。 2.会用排列数公式进行求值或证明。 教学重难点 1.重点 （1）排列数的概念； （2）排列数方程与排列数不等式； （3）全排列问题。 2.难点 （1）有限制的排列问题； （2）相邻与不相邻的排列问题。 知识点01 排列的概念 从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 知识点02 排列的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列 知识点03 排列数公式及其推导 由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴= 由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=， 求以按依次填个空位来考虑， 排列数公式： （） 说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数； （2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列 全排列数：（叫做n的阶乘） 另外，我们规定 0! =1 . 1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 知识点04 排列的一些常用结论 1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种． 2、错位排列公式 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 （1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 题型01 排列的概念及简单计算 【典例1】．（24-25高二上·山东东营·阶段练习）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 【变式1】．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答）. 【答案】24 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为：24 【变式2】．（24-25高二下·吉林·期中）计算 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算 【分析】应用排列数公式求值即可. 【详解】. 故答案为： 【变式3】．（多选题）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【详解】对于A， ，显然，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 题型02 排列数方程与不等式 【典例2】．（24-25高二下·吉林·期末）若，则 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】应用排列公式解排列数方程即可. 【详解】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3 【变式1】．（24-25高三·上海·课堂例题）若，则 . 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为：6 【变式2】．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，又，， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：D. 【变式3】．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【详解】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 题型03 全排列问题 【典例3】．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】全排列问题 【分析】根据全排列规则，计算结果即可. 【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 【变式1】．（2025·江苏南通·模拟预测）一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全排列问题 【分析】根据排列的意义结合排列数的计算，即可得答案. 【详解】由于4个数互不相同，故将这4个数全排列共有种排序方法， 而一个数阵有m行4列，要使任意两行的顺序都不相同，故m的值最大为24， 故选：C. 【变式2】．（24-25高二下·河南·阶段练习）现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有 种. 【答案】60 【难度】0.94 【知识点】全排列问题 【分析】根据全排列公式计算即可求解. 【详解】由题意知，一个7，两个3，三个5共6个数字全排列，共种方法， 又因为6个数字中有两个3和三个5是重复的， 所以共有种方法. 故答案为：60. 【变式3】．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有 种排法. 【答案】504 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、全排列问题 【详解】依题意，六门课程的全排列为，其中“礼”排在第一周有种，“数”排在最后一周有种， “礼”排在第一周且“数”排在最后一周有种， 所以符合要求的排法种数为. 故答案为：504 题型04 元素（位置）有限制的排列问题 【典例4】．（25-26高二上·全国·单元测试）学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的"．从这个回答分析，5人的名次排列情况共有 种． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分冠军为甲、乙两人中的一人；冠军为戊，丁为第二名；冠军为戊，丁为第三名；冠军为戊，丁为第四名．共四种情况，结合相邻问题及特殊元素法分别求解即可． 【详解】由题意可知，冠军不会是丙、丁且丁不是第5名，当冠军为甲、乙两人中的一人时，由于甲、乙两人名次相邻， 所以第二名一定是两人中的另一人，丁就只能是第三或第四名，丙和戊两个人名次就只能是剩余两个名次全排列，此时共有种情况； 当冠军为戊，丁为第二名时，将甲、乙捆绑在一起，内部排列共种，此时丙只能是第三或第五名，故共有种情况； 当冠军为戊，丁为第三名时，由于甲、乙两人名次相邻，所以第二名只能是丙，第四名和第五名只能是甲、乙，所以此时共有种情况； 当冠军为戊，丁为第四名时，由于甲、乙两人名次相邻，所以第五名只能是丙，第二名和第三名只能是甲、乙，所以此时共有种情况． 所以共有种情况． 故答案为：16. 【变式1】．（2025高二·全国·专题练习）9人排成3行，每行3人，其中甲、乙、丙3人要排在同一行，有 种不同的排法.（用数字作答） 【答案】12960 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先对甲、乙、丙3人特殊考虑，然后对剩余6人全排列即可. 【详解】从3行中任取1行给甲、乙、丙三人，有种方法； 余下的6人排6个位置，有种方法. 因此符合条件的排法有种. 故答案为：12960 【变式2】．（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 【变式3】．（25-26高二上·全国·单元测试）在一次大型运动会的火炬传递中．某路段的传递活动由共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（    ） A．60 B．54 C．120 D．114 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】以第一棒完成人分类计数，当A完成第一棒时，最后一棒没有限制条件，从剩下5人中选2人，再排中间三棒即可；当B完成第一棒时，最后一棒不能是A，C完成，故最后一棒完成方案有种，再排中间三棒即可． 【详解】当完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当完成第一棒时，有种不同的传递方案． 故共有种不同的传递方案． 故选：D. 题型05 相邻问题的排列问题 【典例5】．（24-25高一下·广东广州·期中）在华南师大附中社团开放日的展示活动中，辩论社，国学社，摄影社，魔方社，天文社5个社团的摊位排成一列，其中辩论社与国学社必须相邻，那么不同的排法有（    ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题 【分析】将辩论社与国学社捆绑，看成一个社团，与其他3个社团排成1列，再考虑辩论社与国学社的顺序，据此可得不同排法. 【详解】将辩论社与国学社捆绑，看成一个社团，与其他3个社团排成1列，有种排法. 又辩论社与国学社的先后顺序有2种情况，则满足题意的排法有种. 故选：B 【变式1】．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【详解】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B 【变式2】．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）某天文兴趣小组开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为 ．（用数字作答） 【答案】2880 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题、排列数的计算 【分析】相邻问题排列，先将4名女生排在一起，作为一个整体再与剩下男生全排列可得. 【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为． 故答案为：2880. 【变式3】．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种（要求：用数字填空，用式子填空不给分） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】由相邻问题捆绑法求解排列问题即可. 【详解】由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到， 当“立春”和“惊蛰”、“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧， 此时再用捆绑法，将三者捆在一起即， 所以最终满足题意的排法为. 故答案为： 题型06 不相邻问题的排列问题 【典例6】．（24-25高二下·北京·期中）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有 种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有 种．（用数字作答） 【答案】 48 36 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】利用捆绑法计算第一问，利用间接法计算第二问. 【详解】若必修一与必修二相邻，则这两本书看成一个元素，则不同的方法有种方法； 若必修一与必修二和必修三都相邻，则这三本书看成一个元素，必修一在中间，则有种方法， 根据间接法，满足条件的方法种数为种方法. 故答案为：48；36 【变式1】．（24-25高二下·天津滨海新·期中）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有 种. 【答案】144 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】本题需要分步处理排列条件，首先将“射”与“御”捆绑为一个整体，然后结合插空法求解可得. 【详解】由题意知：“乐”与“书”不能相邻，“射”与“御”要相邻， 可将“射”与“御”进行捆绑看成一个整体，共有种. 然后与“礼”、“数”进行排序，共有种. 最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种. 由于是分步进行，所以共有种. 故答案为：144. 【变式2】．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6位角色制作宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（   ）种不同的排版方式． A．120 B．240 C．480 D．720 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】不相邻排列问题 【分析】不相邻问题用插空法，先将其余位角色全排列，再将哪吒和敖丙插空. 【详解】首先将李靖、殷夫人、太乙真人、申公豹这位角色全排列，有种排法， 再将哪吒和敖丙插入到所形成的个空中的个空，有种排法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的排版方式． 故选：C 【变式3】．（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（    ） （    ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，结合分步乘法计数原理可得. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，共有种， 再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，有种， 按照分步乘法计数原理可知，不同的放置方式有种. 故选：C. 题型07 数字的排列问题 【典例7】．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型、计算古典概型问题的概率 【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解. 【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种； 要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除， 所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种； 数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种. 所以该三位数能被3整除的概率为. 故选：D 【变式1】．用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（    ） A．2300 B．2301 C．2302 D．2303 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】其他排列模型、数字排列问题 【分析】依次计算首位为、前两位为、前两位为的有多少个数，然后可得答案. 【详解】首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个， 因而第个数字是前两位为的最小数，即为， 故选：B 【变式2】．从1、2、3、4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为 ． 【答案】12 【难度】0.94 【知识点】其他排列模型 【分析】 利用排列知识进行求解. 【详解】 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即． 故答案为：12 【变式3】．从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到 个不同的对数值． 【答案】53 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型 【分析】分取的两个数中有一个是1、取的两个数不含有1两种情况讨论，注意排除对数值相等的情况. 【详解】①当取的两个数中有一个是1时，则1只能作真数， 此时，或3或4或5或6或7或8或9； ②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个，分别作为底数与真数，有个对数， 但是其中，，，． 综上可知：共可以得到（个）不同的对数值． 故答案为：53 一、选择题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数的计算公式进行判断. 【详解】中总共有个数连乘， 故． 故选：A 2．（24-25高二下·河北衡水·期中）（多选题）满足不等式的的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】利用排列数计算即可得到结果. 【详解】由已知得：， 又因为，且,所以， 故选：AB. 3．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得，结合，即可求解. 【详解】由，可得，整理得，解得， 又因为，解得， 综上可得，又由 所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．432种 B．420种 C．176种 D．7种 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、全排列问题 【分析】先对各年级同学作全排，再把三个年级作为三组作全排，应用分步乘法求不同排法数. 【详解】先将各年级同学作全排有种，再把三个年级同学作全排有种，故共有种. 故选：A 5．（24-25高二下·江西·期末）小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（    ） A．18种 B．27种 C．36种 D．54种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】应用分步计数及排列数求不同的乘坐方式数. 【详解】爸爸和妈妈选一人在驾驶座有2种，小华在后排3个座位选一个座位有3种，余下人作全排种. 所以不同乘坐方式有种. 故选：C. 6．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（      ） A．12 B．24 C．48 D．120 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据捆绑法、间接法求解即可. 【详解】先甲、乙相邻，有种不同排法， 其中丁站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丁不能站在两端的站法有种， 故选：B 7．（24-25高二下·山西·阶段练习）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】先选出中转站，在对南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻进行排序，即可求解. 【详解】第一步：先从3个城市中各选1个仓储点作为中转站，有种选法， 第二步：南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，故中间排合肥，南京和杭州的仓储点在两段，排列方式有种， 所以符合条件的仓储点的排列种数为种． 故选：B. 8．在如图所示的表格中填写，，三个数字，要求每一行、每一列均有这个数字，则不同的填法种数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】其他排列模型、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】从第一行开始依次确定每行的填法数，由分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】先填第一行，有种填法；再填第二行，有种填法；最后填第三行，只有种填法； 不同的填法种数为种. 故选：C. 9．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】所有可能的借阅顺序总数为：， 最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》， 所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有种情况， 最后一本已经确定是《孙子算经》，中间本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有种情况， 设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件， 则， 故选：D. 10．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）如图，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关控制着3，4，5号灯，开关控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】先由排列数确定总的基本事件个数，再分两类情况按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，或按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，讨论2号灯亮的情况，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】先后按动这四个开关中两个不同的开关，有=12种方法. 2号灯亮有两类情形.第一类，按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，此时对应的方法有=2种（两个开关进行全排列）； 第二类，按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，此时对应的方法有=2种（两个开关进行全排列）. 故所求事件的概率为. 故选：B 11．（2025高三·全国·专题练习）为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（    ） A．120 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】相邻节目捆绑，然后捆绑的节目与器乐固定顺序，其余三个节目选三个位置排列，再按固定顺序插入捆绑的节目与器乐节目，再由分步乘法原理计算． 【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序； 歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共种排列顺序， 所以满足题意的排列顺序种数为， 故选：A． 12．（24-25高二下·四川遂宁·期中）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．可表示为 B．若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C．若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、排列数的计算、排列数方程和不等式 【分析】根据排列数公式，以及相间问题的排列数的应用问题，即可判断. 【详解】A.根据排列数的定义可知，可表示为，故A正确； B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，可能的错误共有种，故B正确； C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数种方法，故C正确； D. 不等式，则，即， 即，得， 且满足，解得， 综上可知，，故D错误. 故选：ABC 13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）（多选题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】用排列数公式证明、排列数的计算 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 二、填空题 14．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为： 15．（2025·上海·三模）互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有 组（结果用数值表示）. 【答案】48 【难度】0.4 【知识点】全排列问题 【分析】设，由已知得，可得或，从而可求解. 【详解】设， 由，可得， 因为是互不相同的正整数，故是互不相同的整数， 因为乘积为6，可得负因数的个数为偶数个， 可得或， 则对应的也有两组， 故符合条件数有2组，故符合条件的的所有有序实数对是这两个组的数的全排列， 即. 故答案为：. 16．（2025高三·全国·专题练习）三对夫妇去参观上海世博会，在中国馆前拍照留念，六人排成一排，若每名女士的旁边不能是其他女士的丈夫，则不同的排法有 种. 【答案】60 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分有两名女士连排、有三名女士连排两种情况，采用捆绑法可得答案. 【详解】将这六个人依次编号为1，2，…，6，设奇数（如1，3，5）为女士， 偶数（如2，4，6）为男士，连续数（如12，34，56）为夫妻. 根据题意可知，至少有两名女士连排在一起. ①当有两名女士连排时， 若连排的女士排在两端，如134265，则有（种）； 若连排的女士不排在两端，如213465，则有（种）. ②当有三名女士连排时， 若女士在两端，如135624，则有（种）； 若女士不在两端，如213564，则有（种）. 由分类加法原理知，不同的排法种数为（种）． 故答案为：60. 17．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有 种（用数字作答）. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙. 【详解】当甲排在第一位时，共有种发言顺序， 当甲排在第二位时，共有种发言顺序， 所以一共有种不同的发言顺序. 故答案为：6. 18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空计算求解. 【详解】高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . 故答案为：. 19．（24-25高二下·北京东城·期中）用、、、、、这六个数字，能组成 个没有重复数字的五位数. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】其他排列模型、数字排列问题 【分析】分析可知五位数的首位不能排，然后从剩余个数字选择个数字排剩余个数位，结合分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】由题意可知，五位数的首位不能排，有种选择， 然后从剩余个数字选择个数字排剩余个数位， 因此，满足条件没有重复数字的五位数的个数为. 故答案为：. 20．（25-26高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排， 则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故答案为： 21．（25-26高三上·陕西西安·阶段练习）现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种. 【答案】420 【难度】0.65 【知识点】涂色问题 【分析】分使用五种染料、四种染料、三种染料求解，最后相加即可. 【详解】五个顶点涂五种不同的颜色，有（种）涂法； 五个顶点涂四种不同的颜色，其中同色不同色或不同色同色，有（种）涂法； 五种顶点涂三种不同的颜色，其中同色且同色，有（种）涂法. 综上，共有120＋240＋60=420（种）涂色方法. 故答案为：420 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 排列与排列数 教学目标 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列（数学抽象）。 2.会用排列数公式进行求值或证明。 教学重难点 1.重点 （1）排列数的概念； （2）排列数方程与排列数不等式； （3）全排列问题。 2.难点 （1）有限制的排列问题； （2）相邻与不相邻的排列问题。 知识点01 排列的概念 从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照 排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 知识点02 排列的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列 知识点03 排列数公式及其推导 由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中 去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴= 由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=， 求以按依次填个空位来考虑， 排列数公式： （） 说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数； （2）全排列：当时即个不同元素 的一个排列 全排列数：（叫做n的阶乘） 另外，我们规定 0! = . 知识点04 排列的一些常用结论 1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种． 2、错位排列公式 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 （1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 题型01 排列的概念及简单计算 【典例1】．（24-25高二上·山东东营·阶段练习）（    ） A． B．3 C． D． 【变式1】．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答）. 【变式2】．（24-25高二下·吉林·期中）计算 . 【变式3】．（多选题）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 排列数方程与不等式 【典例2】．（24-25高二下·吉林·期末）若，则 . 【变式1】．（24-25高三·上海·课堂例题）若，则 . 【变式2】．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型03 全排列问题 【典例3】．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式1】．（2025·江苏南通·模拟预测）一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【变式2】．（24-25高二下·河南·阶段练习）现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有 种. 【变式3】．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有 种排法. 题型04 元素（位置）有限制的排列问题 【典例4】．（25-26高二上·全国·单元测试）学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的"．从这个回答分析，5人的名次排列情况共有 种． 【变式1】．（2025高二·全国·专题练习）9人排成3行，每行3人，其中甲、乙、丙3人要排在同一行，有 种不同的排法.（用数字作答） 【变式2】．（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式3】．（25-26高二上·全国·单元测试）在一次大型运动会的火炬传递中．某路段的传递活动由共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（    ） A．60 B．54 C．120 D．114 题型05 相邻问题的排列问题 【典例5】．（24-25高一下·广东广州·期中）在华南师大附中社团开放日的展示活动中，辩论社，国学社，摄影社，魔方社，天文社5个社团的摊位排成一列，其中辩论社与国学社必须相邻，那么不同的排法有（    ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 【变式1】．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【变式2】．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）某天文兴趣小组开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为 ．（用数字作答） 【变式3】．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种（要求：用数字填空，用式子填空不给分） 题型06 不相邻问题的排列问题 【典例6】．（24-25高二下·北京·期中）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有 种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有 种．（用数字作答） 【变式1】．（24-25高二下·天津滨海新·期中）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有 种. 【变式2】．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6位角色制作宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（   ）种不同的排版方式． A．120 B．240 C．480 D．720 【变式3】．（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（    ） （    ） A．24 B．48 C．144 D．240 题型07 数字的排列问题 【典例7】．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（    ） A．2300 B．2301 C．2302 D．2303 【变式2】．从1、2、3、4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为 ． 【变式3】．从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到 个不同的对数值． 一、选择题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北衡水·期中）（多选题）满足不等式的的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．432种 B．420种 C．176种 D．7种 5．（24-25高二下·江西·期末）小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（    ） A．18种 B．27种 C．36种 D．54种 6．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（      ） A．12 B．24 C．48 D．120 7．（24-25高二下·山西·阶段练习）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 8．在如图所示的表格中填写，，三个数字，要求每一行、每一列均有这个数字，则不同的填法种数为（    ）． A． B． C． D． 9．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）如图，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关控制着3，4，5号灯，开关控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为（ ） A． B． C． D． 11．（2025高三·全国·专题练习）为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（    ） A．120 B．360 C．180 D．90 12．（24-25高二下·四川遂宁·期中）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．可表示为 B．若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C．若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D．不等式的解集为 13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）（多选题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知，则 . 15．（2025·上海·三模）互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有 组（结果用数值表示）. 16．（2025高三·全国·专题练习）三对夫妇去参观上海世博会，在中国馆前拍照留念，六人排成一排，若每名女士的旁边不能是其他女士的丈夫，则不同的排法有 种. 17．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有 种（用数字作答）. 18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序． 19．（24-25高二下·北京东城·期中）用、、、、、这六个数字，能组成 个没有重复数字的五位数. 20．（25-26高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ． 21．（25-26高三上·陕西西安·阶段练习）现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $