精品解析：河北省保定市定州市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量监测九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 4. 如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ） A. 顺时针旋转 B. 逆时针旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案． 【详解】解：根据图形可知：将绕点A逆时针旋转可得到． 故选：B． 5. 已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，再根据题意得出，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 6. 对于抛物线，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线开口向上 ②图像的对称轴为直线 ③当时，y随x的增大而增大 ④当时，y有最小值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象和性质；由可得出开口方向、对称轴、增减性、最小值，据此判断即可． 【详解】解：∵开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为 ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y有最小值， ∴①②④正确，正确的个数是3个， 故选：C． 7. 如图，是半圆的直径，弦，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角等于． 先根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，旋转的性质；由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则，故． 【详解】解：由题意以及旋转的性质知，， ， ， ， 故为等边三角形，即 ， 则， 故选：B． 9. 有甲、乙两种说法，甲：直径是弦； 乙：长度相等的两条弧是等弧，其中正确的是 （ ） A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、 乙均对 D. 甲、 乙均不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关说法，根据等弧的定义，直径、弦的定义进行分析，解答即可． 【详解】解：直径是弦，甲说法正确， 长度相等的两条弧一定是等弧，乙说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； 故甲对，乙错， 故选A． 10. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 11. 如图，是由绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（ ） A. 点与点是对应点 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．旋转后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中与不是对应角，不能判断相等． 【详解】解：根据旋转的性质可知， 点与点是对应点，，，． 故选：C． 12. 如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，同角的补角相等，由四边形是圆内接四边形，则有，由，，所以，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 15. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 16. 对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述一元二次方程求解方法． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 即，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 所以， 所以或， 解得：，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 19. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）将绕点旋转得到，作出； （2）将向上平移4个单位得到，作出； （3）已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2） 解：如图所示，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点． （1）分别作出 的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移分别作出点的对应点再顺次连接即可； （3）根据所画图形，写出对应坐标的变化规律即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是内一点，其坐标为， ∵上的点是由上的点横纵坐标都乘以，然后横坐标不变，纵坐标得到的， ∴中的对应点的坐标为． 20. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． （1）若矩形花园的面积为300平方米，求x的值； （2）能围成面积为500平方米的矩形花园吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）x的值为10或30 （2） 不能围成面积为500平方米的矩形花园，理由如下： 由题意得：， 即， ， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为500平方米的矩形花园． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用： （1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可； （2）根据题意列出方程，求出该方程的根的判别式，即可解答． 【小问1详解】 解：∵米， ∴米， 由题意得：， 即， 解得：，， 即x的值为10或30． 【小问2详解】 略 21. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】（1）5米 （2）25盏 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； 【小问2详解】 解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求b的值； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键； （1）依据题意，由点是抛物线上一点，则，从而计算可以得解； （2）依据题意，由，从而可以判断得解； （3）依据题意可得直线的解析式为，设这束红外线的长度为，则，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：点是抛物线上一点， ． ． 【小问2详解】 解：， 抛物线最高点的坐标为． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为：， 将代入中， 得，解得：， 直线的解析式为． 设这束红外线的长度为，则． ， 小球飞行过程中这束红外线的最大长度为． 23. 如图，在长方形中，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接． （1）当时，求证：； （2）求的面积： （3）当的面积是的面积的倍时，直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点Q作于H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点Q作于H，由旋转的性质可得，可证明，得到，再由线段中点的定义得到，则，再证明，即可证明； （2）延长交于G，先证明，，由全等三角形的性质得到，则，； （3）分点Q在点C右侧和点Q在点C左侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于G， ∵， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作交延长线于H， 由（2）可得， ∵的面积是的面积的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴； 如图所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于H， 同理可得， ∴， 同理可证明， ∴； 综上所述，的长为或． 24. 如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． （1）求a，m的值及点的坐标； （2）将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】（1），，； （2）①3，；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和动点问题． （1）先根据点，求出对称轴，再利用对称轴公式即可求出和解析式，将代入解析式中即可求出，将解析式化成顶点式即可求出； （2）①根据抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为即可求出结果； ②先求出抛物线的表达式，再令，代入解析式求解，再结合点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，即可求出结果． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， 对称轴为直线， ， ， 的解析式为． 将代入，得， 即． ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：①抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为． ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． 点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量监测九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ） A. 顺时针旋转 B. 逆时针旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 5. 已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 6. 对于抛物线，下列说法正确的个数是（ ） ①抛物线开口向上 ②图像的对称轴为直线 ③当时，y随x的增大而增大 ④当时，y有最小值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，是半圆的直径，弦，的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 有甲、乙两种说法，甲：直径是弦； 乙：长度相等的两条弧是等弧，其中正确的是 （ ） A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、 乙均对 D. 甲、 乙均不对 10. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是由绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（ ） A. 点与点是对应点 B. C. D. 12. 如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为___________． 14. 已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 15. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______． 16. 对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 19. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）将绕点旋转得到，作出； （2）将向上平移4个单位得到，作出； （3）已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 20. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． （1）若矩形花园的面积为300平方米，求x的值； （2）能围成面积为500平方米的矩形花园吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 21. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求b的值； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 23. 如图，在长方形中，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接． （1）当时，求证：； （2）求的面积： （3）当的面积是的面积的倍时，直接写出线段的长． 24. 如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． （1）求a，m的值及点的坐标； （2）将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $