21-5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 1 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 2 PART 01 新知学习 探究 3 一 正、余弦函数的单调性与最值 观察正弦函数，， 的图象，回答问题： 思考1 上述函数图象有什么特征？函数值是怎样变化的？ 提示：当由增大到时，曲线逐渐上升，的值由 增大到1. 当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由1减小到 . 返回导航 4 思考2 指出上述函数的单调性. 提示：在，上单调递增，在， 上单调递减. 返回导航 ［知识梳理］ 函数 图象 _________________________________________ ________________________________________________ 值域 单调 性 单调递增区间 ①_______________________ __ ②________________ _____ 单调递减区间 ③_______________________ _ ④________________ ___ ,, , ,, , 返回导航 6 函数 最值 , ⑤_______________ ⑥____________________ , 续表 , , 返回导航 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）正弦函数在 上是增函数．( ) × （2）余弦函数的一个单调递减区间是 ．( ) √ （3），满足 .( ) × （4）当时，函数 取得最大值1.( ) × 2.使得函数 单调递减，且值为负数的区间为( ) A.， B.， C. ， D.， 解析：选C.由的图象与性质可知，当 ， 时，函数单调递 减，且函数值为负数. √ 返回导航 8 3.函数，， 的值域为______. 解析：因为， ， 所以 ， 所以 . 返回导航 9 对正、余弦函数单调性的理解 （1）正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数. （2）正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点. （3）写正弦、余弦函数的单调区间时，必须标注<m></m>,这里的每一个<m></m>值， 都对应着一个单调递增区间及单调递减区间，且这些区间是断开的. 返回导航 10 二 比较三角函数值的大小 ［例1］ （对接教材例4）不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）与 ； 返回导航 11 【解】由题得 , ， 又，且函数在, 上单调递增， 所以 ， 即 . 返回导航 12 （2） 与 ； 【解】由题得 , ,又 , 且当 时， 单调递增， 所以 ， 即 ， 所以 . 返回导航 13 （3）与 . 【解】因为 , , 由于函数在上单调递减， , 所以 ， 即 . 返回导航 14 比较三角函数值大小的方法 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同 一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较. （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函 数，后面步骤同上. 返回导航 15 ［跟踪训练1］ （多选）下列不等式中成立的是( ) A. B. C. D. √ √ 返回导航 16 解析：选.对于A,因为 ， 且在, 上单调递增， 所以 ,故A正确； 对于B，, ，故B错误； 对于C，因为 ，且在, 上单调递减，所以 ,故C错误； 对于D, ，故D正确. 返回导航 17 三 求正弦、余弦函数的单调区间 ［例2］ （对接教材例5）求函数 的单调递减区间. 【解】 令 ， 则.因为 是增函数， 所以当 单调递减时， 函数 单调递减， 由，得 ， 所以函数的单调递减区间为 . 返回导航 18 解：方法一：由例题可得，函数 的单调递减区间为 ， 记 ， 则 ， 所以当时，函数的单调递减区间为 . 母题探究1 本例中，若，求函数 的单调递减区间. 返回导航 19 方法二：令，，则 ， 因为，的单调递减区间为 ，所以 ， 解得 ， 所以函数的单调递减区间为 . 返回导航 20 母题探究2 本例中，若函数 ，求其单调递减区间. 解：函数 ， 欲求函数的单调递减区间，即求函数 的 单调递增区间， 所以 ， 得 ， 所以函数的单调递减区间是 . 返回导航 21 （1）用整体代换法求函数或 的单调区 间时，如果式子中的系数为负数，先利用诱导公式将 的系数变为正数； 然后整体代换，将“ ”看成一个整体“ ”，利用正（余）弦函数的单 调性，求原函数的单调性. （2）求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，并注明 . 返回导航 22 ［跟踪训练2］ 已知函数，，则 的单 调递增区间是( ) A. B. C.， D.， √ 返回导航 23 解析：选D.因为， ， 令 ， ， 解得， ， 令，则 ， 令，则 ， 又，所以的单调递增区间是， . 返回导航 24 四 正弦、余弦函数的最值（值域） ［例3］ （1）函数， 的值域为 ( ) A. B. C. D. √ 返回导航 25 解析：因为 ， 所以 ， 则 ， 故，故的值域为 . 返回导航 26 （2）已知函数,，则函数 的值域为 ________. 解析：因为 ，所以 ， 又，所以 ， 当时， ； 当时， ， 可得函数的值域为 . 返回导航 27 正弦、余弦函数最值（值域）问题的求解方法 <m></m>（或<m></m>）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性， 注意对<m></m>的正负进行讨论. <m></m>或<m></m>型，可先由定义域求得 <m></m> 的范围，然后求得<m></m>或<m></m>的范围，最后求得 最值（值域）. <m></m>型，可利用换元思想，设<m></m>,转化 为二次函数求最值（值域）<m></m>的范围需要根据定义域来确定. 返回导航 28 ［跟踪训练3］ （1）函数 的最大值与最小值分别是 ( ) A.最大值是，最小值是 B.最大值是2，最小值是 C.最大值是，最小值是 D.最大值是2，最小值是 解析：选C.由正弦函数性质可知 ， 所以 ， 所以，所以函数的最大值是 ，最 小值是 . √ 返回导航 29 （2）已知函数的定义域为，值域为 ，则 实数 的取值范围是__________． 解析：因为，则 ， 且 ， 则，解得 . 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.函数 的最大值是( ) A.0 B.1 C. D.7 解析：选B.易知，当且仅当 时取 等号，所以最大值是1. √ 返回导航 32 2.（多选）（教材PT 改编）下列大小关系中正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.因为，又 ，所以 ；且 . √ √ 返回导航 33 3.函数 的值域为______. 解析：由 ，而 ， 当时，；当时， .综上，函数的值域 为 . 返回导航 34 4.（教材PT改编）已知函数,求在 上的单 调递增区间. 解：令 , ， 则 , ， 又，所以在上的单调递增区间为,,, . 返回导航 35 课堂小结 1.已学习：正弦函数、余弦函数的单调性与最值；比较三角函数值的大小. 2.须贯通：求解函数<m></m>或<m></m>的单调性时， 往往把<m></m> 看成一个整体，借助正弦（余弦）函数的单调性解关于“ <m></m> ”的不等式. 3.应注意：（1）正弦、余弦函数在<m></m>上并不单调，存在无数个单调区间， 单调区间必须注明<m></m>； （2）利用配方或换元求函数值域时，<m></m>，<m></m>本身具有范围. 返回导航 36 $