27-4.5.2 用二分法求方程的近似解-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，通过“维修线路故障排查”实例导入，结合“猜价格”情境引出二分法概念，衔接函数零点存在定理，以思考问题、即时练、例题构建学习支架，帮助学生逐步掌握原理与步骤。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过“验证-求中点-计算-判断”的步骤化教学发展数学思维，用表格化例题和跟踪训练强化数学语言表达。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学流程和分层巩固素材。

4.5 函数的应用（二） 4.5.2 用二分法求方程的近似解 1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生 了一处故障，如果沿着线路一小段一小段查找，每查一个点要爬一次电线 杆， 长的线路大约有200根电线杆.事实上，维修线路的工人师傅只要 至多爬7次电线杆就能把故障排除了.你知道他是如何做到的吗？ 返回导航 新课导入 2 1.了解二分法的原理及其适用条件． 2.掌握二分法的实施步骤． 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 二分法的概念 在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若 猜中了，就把物品奖励给选手.某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一 款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”， 主持人说“低了”. 思考1 如果是你，你知道接下来如何竞猜吗？ 提示：接下来应猜“600”，即区间 的中点值. 思考2 通过这种方法能猜到具体价格吗？ 提示：可以，通过不断地缩小价格所在的区间，能猜到手机的价格. 返回导航 6 ［知识梳理］ 对于在区间上图象连续不断且的函数 ,通过 不断地把它的零点所在区间①__________,使所得区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点②________的方法叫做二分法. 点拨 二分法的依据是函数零点存在定理，仅适用于函数的变号零点 （函数图象通过零点时函数值的符号改变，如求函数 的零 点近似值就不能用二分法）. 一分为二 近似值 返回导航 7 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）任何函数都可以用二分法求零点.( ) × （2）二分法求出的函数零点是精确值.( ) × （3）用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右 侧区间内.( ) × （4）达到精确度后，所得区间内任意数均可视为零点的近似值.( ) √ 返回导航 8 2.（多选）下列函数图象与 轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似 值的有( ) A. B. C. D. 解析：选.根据二分法的定义，知函数在区间 上的图象连续不 断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间 一分为 二，逐步得到零点的近似值.对于A，因为零点左右两侧的函数值不变号， 所以不能用二分法求函数零点的近似值，故A不符合题意.对于B，C，D， 三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故B，C，D符合题意. √ √ √ 返回导航 9 3.已知函数的零点，对区间 利用一次“二分法”， 可确定 所在的区间为______. , 解析：设，则 , ，取区间的中点为 ， ，所以可确定所在的区间为, . 返回导航 10 运用二分法求函数的零点应具备的条件 （1）函数图象在零点附近连续不断. （2）在该零点左右函数值异号. 注意只有同时满足上述两个条件，才可以用二分法求函数零点. 返回导航 11 二 用二分法求函数零点的近似值 ［例1］ 判断函数在区间 内有无零点，如果有， 求出一个近似零点（精确度为0.1）. 返回导航 12 【解】 因为， ，且函数 的图象是连续不断的曲线，由函数零点存在定理可知它 在区间 内有零点，用二分法逐步计算，列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 1.25 1.375 0.22 0.08 由于，所以函数 的一个 近似零点为（答案不唯一，只要在区间 内即可）. 返回导航 13 用二分法求函数<m></m>零点<m></m>的近似值的步骤 返回导航 14 ［跟踪训练1］ （1）用二分法求函数 的一个正零点的近 似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据： , ,, ，则下列说法正确的是 ( ) A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求，应该接着计算 D.没有达到精确度的要求，应该接着计算 解析：选C.由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小， ，又 ，故没 有达到精确度的要求，应该接着计算 的值. √ 返回导航 15 （2）在用二分法求函数在 上的近似零点时，经计算， ，，，即可得出函数 的一个近 似零点为_________________________________________________. （精确度为0.1） （答案不唯一，只要在区间内即可） 解析：因为， ，且 ，所以0.75可作为函数 的一个近似零点. 返回导航 16 三 用二分法求方程的近似解 ［例2］ （对接教材例2）用二分法求方程在 内的近似解 （精确度为0.1）.参考数据： 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 返回导航 17 【解】 令，则 , ，列表如下， 零点所在区间 中点的值 中点函数 近似值 1.5 0.33 1.25 1.375 0.15 由于 , 所以在内的近似解可取为 （答案不唯一，只要在区间 内即可）. 返回导航 18 由于函数零点就是相应方程的解，所以用二分法求方程的近似解与用 二分法求函数的近似零点的过程相似：首先要选好计算的初始区间，这个 区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度， 及时检验所得区间的长度是否达到给定的精确度，以决定是停止计算还是 继续计算. 返回导航 19 ［跟踪训练2］ （1）新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法 研究方程在 上的近似解时，经过两次二分后，可确定 近似解 所在的区间为( ) A. B. C. D. 解析：选B.令，可知， . 又，则，所以 ，根据二分法结合函数 零点存在定理可知，近似解所在的区间为 . 又，所以 ，根据二分法结合函数零点存在定 理可知，近似解所在的区间为 . √ 返回导航 20 （2）用二分法求方程的近似解，求得 的部分函数值数 据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 3 则当精确度为0.1时，方程 的近似解可取为______________ __________________________________. 1.8（答案不唯 一，只要在区间内即可） 解析：根据题表中数据可知 ， ， 由，达到了精确度为 ，故方程的一个近 似解为1.8. 返回导航 21 PART 02 课堂巩固 自测 22 1.用二分法求函数在 内的唯一零点时，当精确度为0.002时，结束 计算的条件是( ) A. B. C. D. 解析：选B.根据二分法的步骤知当区间长度 小于精确度时，便可结 束计算.所以当 时，便可结束计算. √ 返回导航 23 2.（多选）（教材PT 改编）某同学利用二分法求函数 的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数 的零点的近似值可取为（精确度为0.1） ( ) A.2.49 B.2.52 C.2.55 D.2.58 √ √ 返回导航 24 解析：选.因为函数 在其定义域上为增函数，结合题 中表格可知，函数的零点在， ， ，内，又精确度为 ， ,所以函数 的零点可取 为， . 返回导航 3.（教材PT改编）若用二分法求方程在区间 内的 近似解，第一次取区间的中点为，那么第二次取区间的中点为 __. 解析：当时， ， 当时， ， 当时，，故下一次应取区间, 的中点， 即 . 返回导航 26 4.若函数 有零点，但不能用二分法求其零点， 求实数 的值. 解：当时，得，函数 ，能用二分法求出零 点，不符合题意； 当时，得，函数 为二次函数， 因为函数有零点，且不能用二分法求其零点，所以函数 的图象与 轴有1个公共点，所以关于的一元二次方程 有两 个相等的实根，即，解得或 . 综上，或 . 返回导航 27 课堂小结 1.已学习：二分法的概念、利用二分法求函数零点的近似值及方程的近似 解的步骤. 2.须贯通：二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点 逐步逼近零点的方法. 3.应注意：二分法并不适合所有零点，只能求连续函数的变号零点. 返回导航 28 $