01-3.1.1 第1课时 函数的概念（一）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦函数的概念、三要素、函数值、定义域及问题情境构建，通过太阳升起、气温变化等动态现象导入，衔接初中变量依赖关系，过渡到高中用集合语言和对应关系刻画函数，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实情境，通过初中与高中定义对比的思考问题链、图象法与对应法判断函数等发展数学思维，用矩形面积、利润增长案例构建问题情境培养数学语言表达。采用分层练习和小结强调“三性”及函数符号多元表示，帮助学生发展抽象能力和应用意识，为教师提供结构化教学资源和清晰教学流程。

第三章 数的概念与性质 1 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 2 许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化.早晨,太阳从东 方冉冉升起;气温随时间悄悄地改变;小树随着时间的变化不断长高……在 这些变化的现象中都存在着两个变量,当一个变量变化时，另一个变量也随 之发生变化.这两个变量之间存在着函数关系. 返回导航 新课导入 3 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关 系刻画函数，建立完整的函数概念． 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和函数值． 4.能正确使用区间表示数集． 5.会判断两个函数是否为同一个函数． 返回导航 学习目标 4 第1课时 函数的概念（一） 5 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 6 PART 01 新知学习 探究 7 一 函数的概念 思考1 初中时,我们已经学习过函数，当时是如何定义的呢？ 提示：设在一个变化过程中有两个变量和,如果对于的每一个值, 都有 唯一确定的值与它对应,那么就说是的函数.其中叫自变量, 叫因变量. 思考2 对于坐标平面内的点,若,,是否是 的函数? 提示：是. 思考3 对于坐标平面内的点,若,,是否是 的函数? 提示：不是. 返回导航 8 ［知识梳理］ 概念 一般地，设， 是非空的实数集，如果 对于集合中的任意一个数 ，按照某种 确定的对应关系，在集合 中都有唯一 确定的数和它对应，那么就称 为从集合到集合 的一个函数 三 要 素 对应关系 定义域 ___的取值范围 值域 与的值相对应的值的集合 返回导航 9 提醒：（1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非 空实数集中的任意一个（任意性）元素，在非空实数集 中都有 （存在性）唯一（唯一性）的元素与之对应；（2）函数符号“ ” 是数学符号之一，不表示等于与的乘积， 也不一定是解析式，还 可以是图象或表格，或其他的表示方法；（3）除 外，有时还用 ，，， 等符号表示函数. 返回导航 10 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）根据函数的定义，定义域中的任意一个可以对应着值域中不同的 . ( ) × （2）已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.( ) √ （3）在函数的定义中，集合 是函数的值域.( ) × （4）相同函数的自变量符号一定一样.( ) × 返回导航 11 2.若函数的定义域为 ，值域为 ，则函数 的图象可能是( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题知选项A中图象定义域不满足条件；选项B中图象不满足函 数的定义域和值域；选项C中图象满足题目要求；选项D中图象，不是函数 的图象. √ 返回导航 12 3.（多选）下列从集合到集合 的对应关系中是函数的是( ) A. B. C. D. 解析：选.结合函数定义可知，对于A，B，集合 中任意一个元素在集 合 中都有唯一确定的元素与之对应，符合函数定义，故A，B正确； 对于C，集合中元素7在集合 中没有元素与之对应，不符合函数定义， 故C错误； 对于D，集合中元素3在集合 中有两个元素与之对应，元素4没有元素与 之对应，不符合函数定义，故D错误. √ √ 返回导航 13 判断一个对应关系是否为函数的方法 （1）图象法：作一条垂直于<m></m>轴的直线，在定义域范围内任意平移直线， 若与图象有且只有一个交点则是函数，否则不是函数. （2）对应法：非空实数集<m></m>与<m></m>是一对一或多对一的关系，且<m></m>中不能有 剩余元素，<m></m>中可以有. 返回导航 14 二 求函数值 ［例1］ （对接教材例2）已知， . （1）求， 的值； 【解】因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 . 返回导航 15 （2）求， 的值； 【解】由（1）知， ， . （3）当时，求， . 【解】当时，， 有意义， ， . 返回导航 16 函数的求值方法 （1）已知<m></m>的解析式，只需用<m></m>替换解析式中的<m></m>即得<m></m>的值. （2）求<m></m>的值应遵循由里往外的原则. 提醒用来替换解析式中<m></m>的数<m></m>必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 返回导航 17 ［跟踪训练1］ （1）已知函数，则 ( ) A. B. C.1 D. 解析：选A.由 ， 得 ， , 所以 . √ 返回导航 18 （2）已知函数，当时， __. 解析：由题得 ， 解得 . 返回导航 19 三 求具体函数的定义域 ［例2］ 求下列函数的定义域： （1） ； 【解】由题意得且，即且 ，故所求定义域 为且 . （2） . 【解】由题意得 解得且 ， 故所求定义域为且 . 返回导航 20 关于函数定义域的求法 （1）依据：分式分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数 不为0等. （2）应用：如果解析式中含有多个式子，则将所有<m></m>满足的条件列成不等 式组，求交集. 返回导航 21 ［跟踪训练2］ （1）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. √ 返回导航 22 解析：选D.对于 ， 有 解得且 ， 所以函数 的定义域为 . 返回导航 23 （2）函数 的定义域是________________. 解析：由题意得 解得 . 返回导航 24 四 构建问题情景 ［例3］ 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描 述下列变量关系. （1） ; 【解】设矩形的长为，宽为 ， 那么 ， 其中的取值范围，的取值范围 ，对 应关系把每一个矩形的长，对应到唯一确定的宽 . 返回导航 25 （2） . 【解】设矩形的长为，周长为 ， 那么 . 其中的取值范围，的取值范围 ， 对应关系把每一个矩形的长，对应到唯一确定的周长 . 返回导航 26 根据函数关系构建问题情境的策略 （1）分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应 关系. （2）从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时可适当限制<m></m>的取 值范围. （3）既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系. 返回导航 27 ［跟踪训练3］ 试构建一个问题情境，当时，变量与 的关系用 描述. 解：当 时，那么可以构建如下情境： 某电商2025年利润为15万元，设利润的年平均增长率为 ，预计2028年利 润为万元，那么，其中 的取值范围是 ，的取值范围是 ， 对应关系把每一个年平均增长率，对应到唯一确定的利润 . 返回导航 28 PART 02 课堂巩固 自测 29 1.（教材PT改编）已知，则 ( ) A.1 B. C. D. 解析：选C.因为 ， 所以 . √ 返回导航 30 2.（多选）下列能够表示集合,0,到集合,0,1,2, 的函数关 系的是( ) A. B. C. D. √ √ 返回导航 31 解析：选.对于A，在中，当 ,0,1时，对应的函数值为4,0, ，与集合 不对应，故A错误； 对于B，在中，当 ,0,1时，对应的函数值为2,0,1，都属于集合 ，故B正确； 对于C，在中，当,0,1时，对应的函数值为0,2,3，与集合 不对应，故C错误； 对于D，在中，当 ,0,1时，对应的函数值为4,0,1，都属于集合 ，故D正确. 返回导航 32 3.（教材习题（3）改编）函数 的定义域为_______ __________. 或 解析：由题意可得，即，解得 或 ， 所以函数的定义域为或 . 返回导航 33 4.已知函数 . （1）若函数满足，求实数 的值； 解：已知，，解得 . （2）求当时， 的值. 【解】当时， ， 所以 . 返回导航 34 课堂小结 1.已学习：函数的概念、函数求值、函数的定义域、如何构建问题情境. 2.须贯通：函数定义中的“三性”：任意性、存在性、唯一性，只要有一个 不满足，便不能构成函数. 3.应注意：函数符号“<m></m>”不一定是解析式，还可以是表格或图象， 它仅为<m></m>是<m></m>的函数的数学表示. 返回导航 35 $