07-2.2 第2课时 基本不等式的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，涵盖求最值的配凑法、常数代换法、消元法等技法，结合实际应用案例及基本不等式链知识。以已学基本不等式为基础，通过例题解析、感悟提升构建学习支架，衔接知识脉络。 其亮点是技法分类清晰，例题含解析与母题探究，如常数代换法中“2x+y=1求2/x+1/y最小值”，培养数学思维。实际应用如蓄水池造价问题，引导用数学眼光观察现实，课堂巩固自测强化应用，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用 1 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 2 PART 01 新知学习 探究 3 一 利用基本不等式求最值的常用变形技法 角度1 配凑法求最值 ［例1］ （1） 的最大值为( ) A.3 B. C. D. 解析： ，当且仅当 ， 即 时，等号成立. √ 返回导航 4 （2）的最小值为___，此时 的值是___． 4 1 解析：因为,所以 ， 当且仅当，即时，等号成立.故所求最小值为4，此时 的 值是1. 返回导航 5 配凑法的应用技巧 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件 采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等 式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 返回导航 6 角度2 常数代换法求最值 ［例2］ （1）已知，，且，则 的最小值为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.18 解析：因为，，且 ， 则 ， 当且仅当，即当时，等号成立，故 的最小值为9. √ 返回导航 7 （2）已知，则 的最小值为____． 25 解析：因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即 时不等式取等号. 返回导航 8 母题探究1 本例（1）中，条件“”变为“”，则 的 最小值为___. 3 解析：因为，所以，， ， 则 ， 当且仅当，即当时，等号成立，故 的最小值为3. 返回导航 9 母题探究2 本例（1）中，若，，且，则 的 最小值为___. 9 解析：由,且 可得 ， 所以 ， 当且仅当，即 时，等号成立. 返回导航 10 常数代换法的应用技巧 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值 的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把 “常数”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 返回导航 11 角度3 消元法求最值 ［例3］ （1）已知正实数，满足，则 的最大值为__． 解析：依题意正实数，满足，，则 ， ，当且仅当 ，即， 时，等号成立． 返回导航 12 （2）已知正数，满足，则 的最小值为___． 3 解析：因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即， 时，等号成立． 返回导航 13 对于含有两个变量或多个变量的问题，从简化问题的角度来思考，消 去一个或几个变量，转化为只含有一个变量的代数式，然后再利用基本不 等式或函数的观点求解，注意所保留变量的取值范围． 返回导航 14 ［跟踪训练1］ （1）已知,为正实数，则 的最小值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析：选A.因为, 为正实数，所以 ，当且仅当 ，即时，等号成立.故 的最小值为6. √ 返回导航 15 （2）已知,，且，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.由得 ，即 ， 当且仅当，即， 时,等号成立. √ 返回导航 16 （3）已知正数，满足，则 的最小值为__. 解析：由题知， , 所以，当且仅当，即， 时,等号成立. 返回导航 17 二 基本不等式的实际应用 ［例4］ 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为 ，高 为，底面一条边长为，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/ ， 底面造价为80元/ . （1）设此蓄水池的总造价为元，求关于 的函数关系式； 【解】长方体蓄水池的底面面积为 ， 长方体底面的另一条边长为 ， 故， . 返回导航 18 （2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体 的数据参考. 【解】因为 ，故由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时 ， 故当蓄水池的高为，底面长宽分别为和 时，总造价最低. 返回导航 19 利用基本不等式解决实际问题的步骤 返回导航 20 ［跟踪训练2］ （1）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加 入药品后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位： ）的变 化关系为 ，则池水中药品的浓度达到最大需经过( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题知，故，当且仅当 ， 即时，等号成立，因此经过 池水中药品的浓度达到最大． √ 返回导航 21 （2）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后， 除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润 （单位：万元）与生产 线运转时间（单位：年）满足二次函数关系： ，则 该新生产线年平均利润最大为____万元． 30 解析：由题意年平均利润为 ， 当且仅当，即 时，等号成立. 返回导航 22 拓视野 基本不等式链 若实数，，则有，当且仅当 时 取等号．其中，叫做正实数，的调和平均数，叫做正实数， 的 几何平均数，叫做正实数，的算术平均数，叫做正实数， 的平方平均数． 返回导航 23 证明：若实数， . （1），所以即证，即证，即证 ， 即证，显然上式成立．所以（当且仅当 时取等 号）. （2）由基本不等式得，成立（当且仅当 时取等号）. （3）要证 ， 即证 ， 返回导航 24 即证 ， 即证 ， 即证 ， 即证 ，显然上式成立． 所以（当且仅当 时取等号）. 综上可得，若实数， ， 则有 成立， 当且仅当 时取等号． 返回导航 ［典例］ （多选）若，满足 ，则( ) A. B. C. D. 解析：由基本不等式链: , 可得 . 对于A，B， 可变形为 ， 即，即 ， √ √ 返回导航 26 从而 ， 当且仅当时， ， 当且仅当时， ，所以A错误，B正确； 对于C，由可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所以C正确； 对于D，当,时，满足， ，所以 D错误. 返回导航 基本不等式链丰富了基本不等式的内涵，实现了正实数， 的倒数和、 乘积、和、平方和之间的转化，对于一些不等式的证明和最值问题提供了 更多思路，注意各不等式中等号成立的条件仍然是当且仅当 . 返回导航 28 ［练习1］ 若正实数,满足，则 的最大值为( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为，， , 所以 ， 即 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 . √ 返回导航 29 ［练习2］ 已知,,,都是正实数，且，,则与 的大小关系是_________． 解析：因为，所以，当且仅当 时，等号成 立．而，所以，当且仅当 时，等号成 立．所以 ． 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.已知，则 的最小值为( ) A.7 B.9 C.11 D.10 解析：选B.因为 ，所以 ，当且仅当 ，即时，等号成立，所以 的最小值为9. √ 返回导航 32 2.已知正数，满足，则 的最大值为( ) A. B. C.1 D.2 解析：选B.因为正数，满足，所以 解得 ， 故，当且仅当，即 时，等 号成立，所以的最大值为 . √ 返回导航 33 3.某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买 吨.若每次的运费 为5 000元，一年的储存费用为 元，则每次购买____吨原材料，总 费用（运费和储存费之和）最低，且最低的总费用为____万元. 10 10 解析：由题意可得总费用为 ， ， 所以 ， 当且仅当，即 时，等号成立.即每次购买10吨原材料， 总费用最低，且最低的总费用为10万元． 返回导航 34 4.已知正数,满足, . （1）求 的最大值； 解：由，得，当且仅当 时，等号成立， 则，得，即 的最大值为1. 返回导航 35 （2）求 的最小值. 解：由，得 ， 得 ，当且仅当，即 时， 等号成立. 故的最小值为 . 返回导航 36 课堂小结 1.已学习：利用基本不等式求最值的各种技巧及方法、解决实际问题． 2.须贯通：（1）利用基本不等式求最值时能根据条件选择合适的方法技巧； （2）能把实际问题转化为数学问题，再利用基本不等式解决． 3.应注意：解决实际问题时，忽略变量的实际意义对取值范围的限定． 返回导航 37 $