17-1.5.1 全称量词与存在量词-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦全称量词、存在量词及相关命题，通过“罗素理发师悖论”导入激发兴趣，对比含变量语句与加量词后的命题，引导学生从非命题到命题的转化，搭建具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合实例观察培养数学眼光，通过命题真假判断训练数学思维，用符号表示强化数学语言。如例1判断全称命题真假，跟踪训练含多选与解答题，助力学生提升抽象能力与逻辑推理，教师可借清晰结构与分层训练提高教学效率。

1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 1 某位理发师的广告词是这样写的:“我将为本城所有不给自己刮脸的人 刮脸,我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢?这就是著名 的“罗素理发师悖论”问题！ 返回导航 新课导入 2 1.通过已知的数学实例，理解全称量词、存在量词的定义． 2.理解全称量词命题、存在量词命题的定义，并会用符号表示． 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真 假． 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 全称量词与全称量词命题 观察下列四个语句： （1） ； （2） 是整数； （3）对所有的， ； （4）对任意一个， 是整数. 思考1 语句（1）（2）是命题吗？ 提示：语句（1）（2）中虽然含有变量，由于不知道变量 代表什么数， 无法判断它们的真假，所以它们不是命题. 返回导航 6 思考2 语句（3）与（1），（4）与（2）有何关系，（3）（4）能判定真 假吗？ 提示：语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量 进行限定构 成假命题，如取，不满足 ；语句（4）在（2）的基础上，用短 语“任意一个”对变量 进行限定构成真命题. 返回导航 7 ［知识梳理］ 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号 ①___ 全称量词命题 含有②__________的命题 形式 “对中任意一个, 成立”，可用符号简记为“③______ _______” 全称量词 , 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例1）判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. （1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对 都对应一点； 【解】含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中， 任意有序实数对 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题 是真命题. （2）自然数的平方大于或等于零； 【解】省略了全称量词，可以表示为, .故是全称量词命题， 为真命题. 返回导航 9 （3），有 . 【解】是全称量词命题，当时，不满足，所以“ ， 有 ”为假命题． 返回导航 10 （1）判断全称量词命题的方法 判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一 个”“一切”“每一个”“任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏 的，要仔细辨别，求解时需要把它补充出来. （2）全称量词命题的真假判断 判断真假时用直接法或间接法，直接法就是集合中的每一个元素都要使结 论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）（多选）下列全称量词命题中真命题有( ) A.负数不能开根号 B.对任意的实数，，都有 C.二次函数的图象与 轴恒有交点 D.，，都有 √ √ 返回导航 12 解析：选 .对于A，在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇 次方根，故A为假命题； 对于B，对任意的实数，， ，即 ，故B为真命题； 对于C，因为 ，所以二次函数 的图象与 轴恒有交点，故C为真命题； 对于D，当时， ，故D为假命题. 返回导航 13 （2）命题“对任意一个实数， 都不小于零”，用数学符号表示 为________________________. ， 解析：含有全称量词“任意一个”，用符号“ ”表示，“不小于零”就是“ ”， 因此该命题用数学符号表示为“， ”. 返回导航 14 二 存在量词与存在量词命题 观察下列四个语句： （1） ； （2） 能被2和3整除； （3）存在一个，使 ； （4）至少有一个， 能被2和3整除. 返回导航 15 思考1 比较语句（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ 提示：容易判断，语句（1）（2）不是命题.语句（3）在（1）的基础上， 用短语“存在一个”对变量 的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上， 用“至少有一个”对变量 的取值进行限定，从而使（3）（4）变成了可以判 断真假的陈述句，因此（3）（4）是命题. 思考2 对于语句（3）（4），你能判断它们的真假吗？ 提示：（3）是真命题，（4）是真命题. 返回导航 16 ［知识梳理］ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ①___ 存在量词命 题 含有②__________的命题 形式 “存在中的元素， 成立”，可用符号简记为“③_____ _________” 存在量词 ， 返回导航 17 ［例2］ （多选）（对接教材例2）下列命题中，是存在量词命题且是真 命题的是( ) A.有些菱形是正方形 B.若，则 C., D.， 解析：对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该 条件，故A符合题意； 对于B，等价于，则 ，这是全称量词命题，故B不符合题意； 对于C，对有 ，故C符合题意； 对于D，对有 ，故D符合题意. √ √ √ 返回导航 18 （1）判断存在量词命题的方法 ①含有存在量词“存在一个”“至少有一个”等的命题是存在量词命题. ②虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在一个”“至少有一个”等特征 的命题是存在量词命题. （2）存在量词命题的真假判断 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合中，找到一个 ,使 成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题. 返回导航 19 ［跟踪训练2］ （1）（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是 ( ) A., B.存在一个实数，它的绝对值不是正数 C.有些自然数是偶数 D., √ √ 返回导航 20 解析：选.对于A，， ，故A为假命题； 对于B，存在一个实数0，它的绝对值不是正数，故B为真命题； 对于C，有些自然数是偶数，如2，故C为真命题； 对于D，由可得 ， 因为，解得，即， ,故D为假命题. 返回导航 21 （2）命题“存在正实数，使得大于 ”，用符号语言可表示为________ ____________，该命题为____命题．（填“真”或“假”） ， 假 解析：命题“存在正实数，使得大于 ”，用符号语言可表示为“ ， ”. 因为时， ，所以该命题为假命题. 返回导航 22 三 由含量词命题的真假求参数 ［例3］ 已知命题，.若 为真命题，求实 数 的取值范围. 【解】 命题为真命题，转化为对任意 恒成立，因 此，即 . 母题探究1 本例中“”改为“ ” 其他条件不变，求实数 的取值范围. 解：由例题解析可得对任意恒成立， ，但 没有最小值，所以 . 返回导航 23 母题探究2 本例中“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数 的取值范围． 解：由题得命题，，命题 为真命题，转 化为在上有解，因此，即 返回导航 24 利用含量词命题的真假求参数取值范围的方法 （1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有 关代数恒等式<m></m>如<m></m>，确定参数的取值范围. （2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来 处理，可借助根的判别式解决. 返回导航 25 ［跟踪训练3］ 若命题“，使得 ”为真命题，则实 数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析：选C.当时， ，符合题意； 当时，只要即可，解得，即 且 . 综上，实数的取值范围为 .故选C. √ 返回导航 26 PART 02 课堂巩固 自测 27 1.下列命题中是存在量词命题的是( ) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析：选D.存在量词命题指含有存在量词的命题，故“一定存在没有最大值 的二次函数”为存在量词命题，故D正确；其他选项中的“任何”“任意一个” “每一个”都是全称量词，故A，B，C错误. √ 返回导航 28 2.（多选）已知集合， ，则( ) A., B., C., D., 解析：选.依题意知，所以，；， ，即A， D正确，B，C错误. √ √ 返回导航 29 3.对任意，等式成立，则实数 ____. 解析：因为对任意，等式 成立， 所以 ， 则 解得 . 返回导航 30 4.（教材PT、T 改编）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题， 并判断其真假． （1）末位是零的整数，可以被5整除; 解：全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以“末 位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （2）有的集合中不含有任何元素; 解：存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”是真命题． 返回导航 31 （3）存在对角线不互相垂直的菱形; 解：存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对 角线不互相垂直的菱形，因此“存在对角线不互相垂直的菱形”是假命题． （4），满足 . 解：存在量词命题，，满足，因此“ ，满足 ”是真命题． 返回导航 32 课堂小结 1.已学习：全称量词（命题）、存在量词（命题）的概念. 2.须贯通：含量词命题的真假问题往往转化为集合间的关系或函数的最值 问题，体现了转化思想. 3.应注意：有些命题量词可省略；全称量词命题强调“全部、任意性”；存 在量词命题强调“个别、存在性”. 返回导航 33 $